[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações

[Prof. Douglas Oliveira]

Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução.

Douglas Oliveira

Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara 
escreveu:

> Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) *
> x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus
> no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos.
> z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z
> Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0
> Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1  (multiplicar os coeficientes
> por -1 não altera as raízes).
> f(-1) = 4*raiz(2) > 0
> f(0) = -1 < 0
> f(raiz(2)) = -5 < 0
> f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma
> entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2.
> Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z
> < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que
> estas são as únicas raízes reais de f.
> Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no
> sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta
> Im(z) = -Re(z).
> Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva,
> isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o
> quadrante.
>
> Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a
> segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no
> 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0.
> Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0.
>
> Chame as outras duas raízes da equação original de a e b.
> Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um
> ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z)   (1)
> Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo
> imaginário negativo
> A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números
> complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) =
> -Re(z)   (2)
> (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R
>
> (2) também implica que, sobre a e b:
> OU ambos pertencem ao 2o quadrante
> OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante
> OU ambos pertencem ao 4o quadrante.
>
> De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que
> a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso.
>
> Resta eliminar a 1a alternativa.
> Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante.
>
> Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 >
> 2*R^2
> E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2
>
> Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==>
> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==>
> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==>
> 1/q - q + 2p^2 = 0
> 1/q - q + 2R^2 < 0 ==>
> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem
> ao 2o quadrante.
>
> Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma
> pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
>> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
>> percebi que existe uma em cada quadrante.
>>
>> Mas não consigo achar uma saída.
>>
>> Obrigado.
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] polígono regular - 13 lados

[Ralph Costa Teixeira]

Hm... Fiz um raciocínio aqui, confiram se errei algo. Vou chamar os
vértices de P1, P2, ..., P13.

Primeiro: o enunciado tinha que deixar mais claro como contar triângulos...
Por exemplo, triângulos congruentes em si contam apenas uma vez? P1P2P6
conta igual a P2P3P7? Normalmente, eu diria que eles são **distintos**, mas
neste caso a resposta seria muito mais que 36 (e seria um múltiplo de 13,
pois, para cada triângulo válido, teríamos suas 13 rotações também, que
seriam distintas).

---///---

Mas vamos supor que o enunciado considera triângulos congruentes como um
único triângulo. Neste caso, o triângulo ABC (suponha A-B-C no sentido
anti-horário) fica completamente determinado pelos comprimentos dos 3 arcos
AB, AC e BC no círculo circunscrito (e vice-versa: dados os 3 arcos, em
qualquer ordem, eles determinam os comprimentos dos lados, e portanto
determinariam um único triângulo). Escrevendo os arcos como AB=x.2pi/13,
BC=y.2pi/13 e CA=z.2pi/13, um triângulo ABC corresponde exatamente a uma
tripla ***desordenada*** de inteiros positivos {x,y,z} satisfazendo
x+y+z=13.

Para que o circuncentro esteja no interior do triângulo, basta que ele seja
acutângulo, ou seja, x,y,z<=6. Então agora temos um problema combinatório:

"Determinar o número de soluções inteiras de x+y+z=13 satisfazendo
1<=x,y,z<=6, onde a ordem das variáveis não importa."
Fazendo a=6-x, b=6-y e c=6-z, o problema vira
"Determinar o número de soluções inteiras distintas de a+b+c=5 satisfazendo
0<=a,b,c<=5 (sem ordem)"
Opa, assim o "<=5" fica desnecessário, pois a+b+c=5 e a,b,c>=0 implicam
a,b,c<=5! Então agora é (quase) um problema clássico daqueles com bolinhas
e barrinhas para separar bolinhas... "Quase" porque dissemos que a ordem
não importa! Como os números sao pequenos, melhor fazer logo no braço...
Suponha s.p.d.g que a>=b>=c, e teste a=5, depois a=4... e liste os casos:
{a,b,c}={{5,0,0},{4,1,0},{3,2,0},{3,1,1},{2,2,1}}
Ou seja, sao apenas 5 triangulos:
{x,y,z} = {1,6,6},{2,5,6},{3,4,6},{3,5,5},{4,4,5}

---///---

Agora, se você quiser a minha interpretação original onde cada posição de
cada vértice importa... Bom, basta notar que:
a) Cada uma das triplas (1,6,6), (3,5,5) e (4,4,5) gera 13 triângulos (tome
um triângulo desse tipo e rode sucessivamente de ângulo 2pi/13)
b) Cada uma das triplas (2,5,6) e (3,4,6) gera 2x13=26 triângulos... Isto
ocorre aqui pois (2,5,6) gera um triângulo "distinto" de (2,6,5) (e um não
pode ser obtido do outro por rotações, pois estas mantêm a ordem circular
dos números).
(Note que esta "duplicação" não ocorria em (a) por conta dos números
repetidos! Por exemplo, se você tentasse montar um triângulo (6,6,1),
digamos, P1-P7-P13, ele seria uma das rotações do (1,6,6) que eu jah tinha
contado (a saber: P13-P1-P7). Ou seja, temos que contar todas as
permutações de cada tripla, dividindo por 3 por conta das
3 permutações circulares que não geram nada de novo.)
Então com a minha interpretação original a resposta seria (3x1+2x2) x 13 =
91? Errei algo?

Abraço, Ralph.




On Thu, Jun 18, 2020 at 9:31 PM Vitório Batista Lima da Silva <
vitorio.si...@trf1.jus.br> wrote:

> 3 vértices distintos de um polígono regular de 13 lados formam um
> triângulo. Quantos desses triângulos contém o centro do círculo
> circunscrito ao polígono?
>
> A resposta é 36???
>
> At.te,
>
> Vitório
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polígono regular - 13 lados

[Daniel Jelin]

Pra mim deu 91 também: C(13,3) - 13*C(6,2).
Acho que dá pra generalizar para polígonos regulares de 2n+1 lados: serão
C(2n+1,3) - (2n+1)*C(n,2) triângulos, que significa o total de triângulos
menos aqueles cujos vértices estão todos de uma mesma 'banda' do polígono.
abs,
Daniel


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<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

On Thu, Jun 18, 2020 at 11:48 PM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> Hm... Fiz um raciocínio aqui, confiram se errei algo. Vou chamar os
> vértices de P1, P2, ..., P13.
>
> Primeiro: o enunciado tinha que deixar mais claro como contar
> triângulos... Por exemplo, triângulos congruentes em si contam apenas uma
> vez? P1P2P6 conta igual a P2P3P7? Normalmente, eu diria que eles são
> **distintos**, mas neste caso a resposta seria muito mais que 36 (e seria
> um múltiplo de 13, pois, para cada triângulo válido, teríamos suas 13
> rotações também, que seriam distintas).
>
> ---///---
>
> Mas vamos supor que o enunciado considera triângulos congruentes como um
> único triângulo. Neste caso, o triângulo ABC (suponha A-B-C no sentido
> anti-horário) fica completamente determinado pelos comprimentos dos 3 arcos
> AB, AC e BC no círculo circunscrito (e vice-versa: dados os 3 arcos, em
> qualquer ordem, eles determinam os comprimentos dos lados, e portanto
> determinariam um único triângulo). Escrevendo os arcos como AB=x.2pi/13,
> BC=y.2pi/13 e CA=z.2pi/13, um triângulo ABC corresponde exatamente a uma
> tripla ***desordenada*** de inteiros positivos {x,y,z} satisfazendo
> x+y+z=13.
>
> Para que o circuncentro esteja no interior do triângulo, basta que ele
> seja acutângulo, ou seja, x,y,z<=6. Então agora temos um problema
> combinatório:
>
> "Determinar o número de soluções inteiras de x+y+z=13 satisfazendo
> 1<=x,y,z<=6, onde a ordem das variáveis não importa."
> Fazendo a=6-x, b=6-y e c=6-z, o problema vira
> "Determinar o número de soluções inteiras distintas de a+b+c=5
> satisfazendo 0<=a,b,c<=5 (sem ordem)"
> Opa, assim o "<=5" fica desnecessário, pois a+b+c=5 e a,b,c>=0 implicam
> a,b,c<=5! Então agora é (quase) um problema clássico daqueles com bolinhas
> e barrinhas para separar bolinhas... "Quase" porque dissemos que a ordem
> não importa! Como os números sao pequenos, melhor fazer logo no braço...
> Suponha s.p.d.g que a>=b>=c, e teste a=5, depois a=4... e liste os casos:
> {a,b,c}={{5,0,0},{4,1,0},{3,2,0},{3,1,1},{2,2,1}}
> Ou seja, sao apenas 5 triangulos:
> {x,y,z} = {1,6,6},{2,5,6},{3,4,6},{3,5,5},{4,4,5}
>
> ---///---
>
> Agora, se você quiser a minha interpretação original onde cada posição de
> cada vértice importa... Bom, basta notar que:
> a) Cada uma das triplas (1,6,6), (3,5,5) e (4,4,5) gera 13 triângulos
> (tome um triângulo desse tipo e rode sucessivamente de ângulo 2pi/13)
> b) Cada uma das triplas (2,5,6) e (3,4,6) gera 2x13=26 triângulos... Isto
> ocorre aqui pois (2,5,6) gera um triângulo "distinto" de (2,6,5) (e um não
> pode ser obtido do outro por rotações, pois estas mantêm a ordem circular
> dos números).
> (Note que esta "duplicação" não ocorria em (a) por conta dos números
> repetidos! Por exemplo, se você tentasse montar um triângulo (6,6,1),
> digamos, P1-P7-P13, ele seria uma das rotações do (1,6,6) que eu jah tinha
> contado (a saber: P13-P1-P7). Ou seja, temos que contar todas as
> permutações de cada tripla, dividindo por 3 por conta das
> 3 permutações circulares que não geram nada de novo.)
> Então com a minha interpretação original a resposta seria (3x1+2x2) x 13 =
> 91? Errei algo?
>
> Abraço, Ralph.
>
>
>
>
> On Thu, Jun 18, 2020 at 9:31 PM Vitório Batista Lima da Silva <
> vitorio.si...@trf1.jus.br> wrote:
>
>> 3 vértices distintos de um polígono regular de 13 lados formam um
>> triângulo. Quantos desses triângulos contém o centro do círculo
>> circunscrito ao polígono?
>>
>> A resposta é 36???
>>
>> At.te,
>>
>> Vitório
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] polígono regular - 13 lados

[Vitório Batista Lima da Silva]

3 vértices distintos de um polígono regular de 13 lados formam um triângulo. 
Quantos desses triângulos contém o centro do círculo circunscrito ao polígono?

A resposta é 36???

At.te,

Vitório

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.