Assunto: Re: [obm-l] f(x + y) = f(x) + f(y)

[Artur Costa Steiner]

Se vc adicionar a hipótese de que f é contínua em algum real x0, a conclusão 
desejada torna-se válida.
Se vc quiser elocubrar um pouco, pode seguir os seguintes passos,:
Mostre que continuidade em x0 implica continuidade em 0 que, por sua vez, 
implica continuidade em toda a reta real.
Mostre que f(x) = ax vale para todo inteiro x.
Mostre  que f(x) = ax vale para todo x da forma x = 1/n, n inteiro não nulo. 
Disso conclua que vale para todo racional x
Veja wue g(x) = ax é contínua e coincide com f nos racionais, que são densos em 
R. Logo, f = g em R.
Se a hipótese adicionada for de monotonicidade, então o conjunto das 
descontinuidades de f é enumerável, o que implica que o conjunto das 
continuidades seja não enumerável, logo não vazio. E o caso anterior se aplica.
AbrsArtur


Enviado do Yahoo Mail no Android 
 
  Em qua., 5 5e mai. 5e 2021 às 11:45, Claudio 
Buffara escreveu:   f(x) = ax + b só satisfaz isso 
se b = 0.
Tente com x+1, por exemplo.
E mais: sem alguma outra condição (do tipo continuidade ou monotonicidade) 
ainda assim a expressão não implica que f(x) = ax.

Abs,
Cláudio.


Enviado do meu iPhone

> Em 5 de mai. de 2021, à(s) 09:13, joao pedro b menezes 
>  escreveu:
> 
> Eu estava fazendo um exercício de equações funcionais e me deparei com 
> essa expressão. Não sei o que aconteceu, mas tive uma crise existencial e 
> decidi provar que isso implica f(x) = ax + b( ou pelo menos acho que 
> implica). Essa prova estaria certa?:
> (obs: a função é definida nos racionais)
> f(x + 0) = f(x) + f(0) => f(0) = 0.
> f(x + h) = f(x) + f(h) ->
> (f(x + h) - f(x))/h = f(h)/h = (f(h) - f(0))/h
> agora basta fazer lim h -> 0 e obtemos 
> f’(x) = f’(0) . Mas f’(0) é uma constante, logo f(x) = ax + b
> (obs: tenho quase certeza que ela seria válida para os reais, porém como a 
> função é limitada aos racionais, estou em dúvida)
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
  

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] f(x + y) = f(x) + f(y)

[Claudio Buffara]

f(x) = ax + b só satisfaz isso se b = 0.
Tente com x+1, por exemplo.
E mais: sem alguma outra condição (do tipo continuidade ou monotonicidade) 
ainda assim a expressão não implica que f(x) = ax.

Abs,
Cláudio.


Enviado do meu iPhone

> Em 5 de mai. de 2021, à(s) 09:13, joao pedro b menezes 
>  escreveu:
> 
> Eu estava fazendo um exercício de equações funcionais e me deparei com 
> essa expressão. Não sei o que aconteceu, mas tive uma crise existencial e 
> decidi provar que isso implica f(x) = ax + b( ou pelo menos acho que 
> implica). Essa prova estaria certa?:
> (obs: a função é definida nos racionais)
> f(x + 0) = f(x) + f(0) => f(0) = 0.
> f(x + h) = f(x) + f(h) ->
> (f(x + h) - f(x))/h = f(h)/h = (f(h) - f(0))/h
> agora basta fazer lim h -> 0 e obtemos 
> f’(x) = f’(0) . Mas f’(0) é uma constante, logo f(x) = ax + b
> (obs: tenho quase certeza que ela seria válida para os reais, porém como a 
> função é limitada aos racionais, estou em dúvida)
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] f(x + y) = f(x) + f(y)

[joao pedro b menezes]

Eu estava fazendo um exercício de equações funcionais e me deparei com essa
expressão. Não sei o que aconteceu, mas tive uma crise existencial e decidi
provar que isso implica f(x) = ax + b( ou pelo menos acho que implica).
Essa prova estaria certa?:
(obs: a função é definida nos racionais)
f(x + 0) = f(x) + f(0) => f(0) = 0.
f(x + h) = f(x) + f(h) ->
(f(x + h) - f(x))/h = f(h)/h = (f(h) - f(0))/h
agora basta fazer lim h -> 0 e obtemos
f’(x) = f’(0) . Mas f’(0) é uma constante, logo f(x) = ax + b
(obs: tenho quase certeza que ela seria válida para os reais, porém como a
função é limitada aos racionais, estou em dúvida)

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.