[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números, trigonometria e racionalidade
Em dom., 11 de dez. de 2022 às 10:32, Anderson Torres escreveu: > > Em sáb., 10 de dez. de 2022 às 22:08, marcone augusto araújo borges > escreveu: > > > > Seja p um número primo tal que p = = 3 (mod4) e @ um ângulo tal que tan@ é > > racional. Prove que tan((p+1)@) também é racional com numerador múltiplo de > > p > > Desde já agradeço por algum esclarecimento ou solução. > > Bem, o que eu consigo pensar é em algo desse tipo. > > Sabemos que tan(m+n) = (tan(m) + tan(n))/(1-tan(m)* tan(n)) > > Escrevamos tan(nX)=p(n)/q(n), onde p e q são polinômios em t=tan(X). > Temos então a seguinte recorrência: > > p(1)=t; p(n+1)=p(n)+tq(n) > q(1)=1; q(n+1)=-tp(n)+q(n) > > Jogando aqui e ali, temos > > p(1)=t; p(2)=2t; p(n+2)=2p(n+1)-(t^2+1)p(n) > q(1)=1; q(2)=1-t^2; q(n+2)=2q(n+1)-(t^2+1)q(n) > > De cara, se nota que p sempre será múltiplo de p, e que q sempre deixa > resto 1 módulo t, o que já dá uma pista do que procurar... > Decerto, vai aparecer alguma coisa do tipo x^2+1, e com isso se usa o > fato de p ser primo da forma 4k-1... > Acho que dá para melhorar. Suponha tan(nX)=A(n)/B(n). Assim, A(n+1) = B*A(n) + A*B(n) B(n+1) = -A*A(n) + B*B(n) E portanto A(n+2) = 2B*A(n+1) - (A^2+B^2)*A(n), A(1)=A, A(2)=2AB B(n+2) = 2B*B(n+1) - (A^2+B^2)*B(n), B(1)=B, B(2)=B^2-A^2 A ideia então seria demonstrar que A(p+1) é múltiplo de p para p primo da forma 4k-1, e B(p+1) não é múltiplo de p para p primo da forma 4k-1. Dessa forma, ao menos em princípio seria possível verificar a segunda premissa, pois a primeira é óbvia. > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] OBM e Olímpiadas internacionais
Em qua., 7 de dez. de 2022 às 03:39, Obindinachukwu Desire Yema escreveu: > > Bom dia a todos, > Nesse ano eu despertei um interesse em matemática pura, pensando um pouco > decidi que iria tentar no próximo ano fazer a OBM nivel universitário. > Pesquisando no site da OBM, eu não achei nada relacionado com o conteúdo que > cai na prova. > Eu queria perguntar para vocês como que me preparo para a prova, no sentido > de: conteúdo que devo saber. > Desde já agradeço a atenção. De fato tem pouca coisa além das provas. Então, te sugiro pegar pesado: estude a PUTNAM e a IMC. Com isso você vai ter mais material. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números, trigonometria e racionalidade
Em sáb., 10 de dez. de 2022 às 22:08, marcone augusto araújo borges escreveu: > > Seja p um número primo tal que p = = 3 (mod4) e @ um ângulo tal que tan@ é > racional. Prove que tan((p+1)@) também é racional com numerador múltiplo de p > Desde já agradeço por algum esclarecimento ou solução. Bem, o que eu consigo pensar é em algo desse tipo. Sabemos que tan(m+n) = (tan(m) + tan(n))/(1-tan(m)* tan(n)) Escrevamos tan(nX)=p(n)/q(n), onde p e q são polinômios em t=tan(X). Temos então a seguinte recorrência: p(1)=t; p(n+1)=p(n)+tq(n) q(1)=1; q(n+1)=-tp(n)+q(n) Jogando aqui e ali, temos p(1)=t; p(2)=2t; p(n+2)=2p(n+1)-(t^2+1)p(n) q(1)=1; q(2)=1-t^2; q(n+2)=2q(n+1)-(t^2+1)q(n) De cara, se nota que p sempre será múltiplo de p, e que q sempre deixa resto 1 módulo t, o que já dá uma pista do que procurar... Decerto, vai aparecer alguma coisa do tipo x^2+1, e com isso se usa o fato de p ser primo da forma 4k-1... > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: Teoria dos números
Correção: não é (@+1)p, é (p+1)@ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br em nome de marcone augusto araújo borges Enviado: sábado, 10 de dezembro de 2022 07:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Teoria dos números Seja p = = 3(mod4) um número primo e @ um ângulo tal que tan@ é racional. Prove que tan((@+1)p) é também racional com numerador múltiplo de p. Se alguém puder resolver eu agradeço -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
