Re: Dia da semana
From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Dia da semana Date: Mon, 21 Aug 2000 10:38:47 -0300 Ecass Dodebel wrote: From: "Wellington Ribeiro de Assis" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "discusspio de problemas" [EMAIL PROTECTED] Subject: Dia da semana Date: Fri, 18 Aug 2000 23:59:17 -2:00 Prezados amigos Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? Bons estudos e abraco a todos, Wellington Olá, eu tenho uma idéia. Conseguiremos descobrir em que dia da semana cai o dia D do mês M do ano A, se soubermos que dia da semana foi 1/1/1 (por exemplo), e quantos dias já se passaram até o dia D/M/A desde 1/1/1, e fazer o resto da divisão por 7, o resto 0 nos dirá que D/M/A é o mesmo dia da semana de 1/1/1, o resto 1 que D/M/A é um dia depois, e assim por diante. Vou apresentar uma possível solução. Defino o seguinte: - DA(A) = número de dias dos anos entre o ano 1 e A-1 (inclusive), para A0, não vou considerar os casos com o ano negativo. - DM(M) = número de dias dos meses entre 1 e M-1, do ano A. - DD(D) = número de dias anteriores a D, no mês M do ano A. O resto procurado é o da divisão de ND(D/M/A)=DA(A)+DM(M)+DD(D)-ND(1/1/1) por 7. Eu não vou falar muitos detalhes (para não ficar muito chato). Tomando a função [x], menor inteiro, que diz o natural N, tal que N=xN+1, daí, [x]=N, temos DA(A) = 365(A-2) + [(A-1)/4], se A0 DM(M) = 31([M/2] + [M/9] - [M/10] + [M/11] - [M/12]) + 30([M/5] + [M/7] + [M/12]) + 28([M/3] - [M/6] - [M/9] - [M/12]) + [1 - A/4 + [A/4]]([M/3] - [M/6] - [M/9] - [M/12]) DD(D) = D Agora podemos fazer algumas simplicações módulo 7. ND(D/M/A) = (A-2)+[(A-1)/4]+3([M/2]+[M/9]-[M/10]+[M/11]-[M/12])+2([M/5]+[M/7]+[M/12])+[1-A/4+[A/4]]([M/3]-[M/6]-[M/9]-[M/12])+D (mod 7) Hoje, ND(20/8/2000) = 0 (mod 7), domingo. Primeiro dia da era cristã, ND(1/1/1) = 0 (mod 7), domingo. Proclamação da Independência, ND(7/9/1922) = 5 (mod 7), sexta-feira. Proclamação da República, ND(15/11/1889) = 4 (mod 7), quinta-feira. Eu tenho quase certeza de que para anos A negativos, uma expressão válida é a seguinte: ND(D/M/A) = A-[(|A|+3)/4]+3([M/2]+[M/9]-[M/10]+[M/11]-[M/12])+2([M/5]+[M/7]+[M/12])+[1-(A+1)/4+[(A+1)/4]]([M/3]-[M/6]-[M/9]-[M/12])+D (mod 7), ela deixa os restos similares aos da expressão com o A0, ou seja, 0 continua sendo domingo, e assim por diante. Eu não uni os dois casos (A0 e A0) numa expressão só, por que não existe o ano 0, e isso complicou tudo para mim, talvez eu até conseguisse, mas ficaria algo tão comprido que prefiro nem tentar. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Eduardo: Nao examinei com cuidado o que voce fez. Mas a primeira impressao eh que nao esta correto porque me parece que voce esta considerando que todos os anos multiplos de 4 sejam bissextos, o que nao eh verdade. Em suma, parece que a matematica eh boa mas os anos bissextos infelizmente nao sao os multiplos de 4. Anos bissextos sao todos os que sao multiplos de 4 sem ser de 100; os multiplos de 100 so sao bissextos se forem multiplos de 400. Morgado Olá prof. Morgado, eu não sabia desse dado sobre os anos bissextos, pensei, como você bem citou, que os múltiplos de 4 eram bissextos. Bom, com o dado que você passa, acho que não fico muito difícil de corrigir a minha fórmula, mas vou pensar melhor. Tenho uma dúvida: e quanto aos anos AC? como ficam os bissextos? Obrigado pela correção! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Dia da semana
From: "Wellington Ribeiro de Assis" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "discusspio de problemas" [EMAIL PROTECTED] Subject: Dia da semana Date: Fri, 18 Aug 2000 23:59:17 -2:00 Prezados amigos Alguem sabe dizer como eh o algoritmo usado para se descobrir que dia da semana cai uma determinada data de um ano qualquer? Bons estudos e abraco a todos, Wellington Olá, eu tenho uma idéia. Conseguiremos descobrir em que dia da semana cai o dia D do mês M do ano A, se soubermos que dia da semana foi 1/1/1 (por exemplo), e quantos dias já se passaram até o dia D/M/A desde 1/1/1, e fazer o resto da divisão por 7, o resto 0 nos dirá que D/M/A é o mesmo dia da semana de 1/1/1, o resto 1 que D/M/A é um dia depois, e assim por diante. Vou apresentar uma possível solução. Defino o seguinte: - DA(A) = número de dias dos anos entre o ano 1 e A-1 (inclusive), para A0, não vou considerar os casos com o ano negativo. - DM(M) = número de dias dos meses entre 1 e M-1, do ano A. - DD(D) = número de dias anteriores a D, no mês M do ano A. O resto procurado é o da divisão de ND(D/M/A)=DA(A)+DM(M)+DD(D)-ND(1/1/1) por 7. Eu não vou falar muitos detalhes (para não ficar muito chato). Tomando a função [x], menor inteiro, que diz o natural N, tal que N=xN+1, daí, [x]=N, temos DA(A) = 365(A-2) + [(A-1)/4], se A0 DM(M) = 31([M/2] + [M/9] - [M/10] + [M/11] - [M/12]) + 30([M/5] + [M/7] + [M/12]) + 28([M/3] - [M/6] - [M/9] - [M/12]) + [1 - A/4 + [A/4]]([M/3] - [M/6] - [M/9] - [M/12]) DD(D) = D Agora podemos fazer algumas simplicações módulo 7. ND(D/M/A) = (A-2)+[(A-1)/4]+3([M/2]+[M/9]-[M/10]+[M/11]-[M/12])+2([M/5]+[M/7]+[M/12])+[1-A/4+[A/4]]([M/3]-[M/6]-[M/9]-[M/12])+D (mod 7) Hoje, ND(20/8/2000) = 0 (mod 7), domingo. Primeiro dia da era cristã, ND(1/1/1) = 0 (mod 7), domingo. Proclamação da Independência, ND(7/9/1922) = 5 (mod 7), sexta-feira. Proclamação da República, ND(15/11/1889) = 4 (mod 7), quinta-feira. Eu tenho quase certeza de que para anos A negativos, uma expressão válida é a seguinte: ND(D/M/A) = A-[(|A|+3)/4]+3([M/2]+[M/9]-[M/10]+[M/11]-[M/12])+2([M/5]+[M/7]+[M/12])+[1-(A+1)/4+[(A+1)/4]]([M/3]-[M/6]-[M/9]-[M/12])+D (mod 7), ela deixa os restos similares aos da expressão com o A0, ou seja, 0 continua sendo domingo, e assim por diante. Eu não uni os dois casos (A0 e A0) numa expressão só, por que não existe o ano 0, e isso complicou tudo para mim, talvez eu até conseguisse, mas ficaria algo tão comprido que prefiro nem tentar. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Problema
DE FATO a#93/a#49 NÃO é inteiro, como se vê abaixo. (3^93 + 4^93) $ 3 (mod 7) (3^49 + 4^49) $ 4 (mod 7) $ representa congruência Novamente desculpem-me pela asneira anterior Olá Alexandre, O fato de dois números (x e y) serem incongruentes módulo algum n, não garante que a divisão x/y não seja inteira. Por exemplo: Suponhamos que x = 3 (mod 7), e y = 4 (mod 7) Podemos escrever y = 7k + 4, e para x/y ser inteiro, x = 0 (mod y), logo queremos que x = 0 (mod 7k+4), e x = 3 (mod 7) Escrevendo x = q(7k+4), q(7k+4) = 4q = 3 (mod 7), se q=6+7q. Portanto os pares (x,y) = ( (7q+6)(7k+4) , 7k+4 ) para k,q naturais, são tais que x = 3 (mod 7) y = 4 (mod 7) x/y é inteiro Exemplos concretos são os pares (x,y) = (24,4), (66,11), (143,11),... Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. PS. Alexandre Terezan, não me leve a mal por ter feito duas correções no que você disse para a lista, ok? Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Problema
From: "Alexandre F. Terezan" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "OBM" [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Problema Date: Sat, 19 Aug 2000 15:16:27 -0300 Encontrei uma resposta genérica pra esse problema (q aliás foi proposto há muito tempo na lista) mas vou enunciar o caso particular abordado. A resposta genérica é de fácil deduçao. Utilizarei a#n como notaçao para a índice n, uma vez que * representará multiplicacoes. a#n = 6^n + 8^n a#93/a#49 = (6^93 + 4^93)/(6^49 + 4^49) = = [2^93 (3^93 + 4^93)] / [2^49 (3^49 + 4^49)] = = 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] (1) Seja a#93/a#49 = a#49 * k + R, onde k é natural e R é o resto procurado. Olá Alexandre, perceba que a#49 é inteiro, e portanto a#49*k somado a R é inteiro, ou seja, você está supondo que a#93/a#49 é inteiro. Um jeito de fazer a divisão euclidiana é a#93 = a#49*k + R, com Ra#49 Obrigado! Assim 2^44 [(3^93 + 4^93)/(3^49 + 4^49)] = 2^49 * (3^49 + 4^49)k + R (2) Seja 3^49 + 4^49 = a e 3^93 + 4^93 = b. Dessa forma, R = 2^44 * (b/a) - 2^49 * a * k Ou, R = 2^44 * [ (b/a) - 32ak ] -- R = 2^44 * [ (b - 32k * a^2) / a] Ora, a é um natural ímpar. Portanto, a nao divide 2^44. Portnato, para que R seja natural, o natural a necessariamente divide (b - 32k * a^2). Como b é ímpar e (32k * a^2) é par, (b - 32k * a^2) é ímpar. Numa divisao exata, se dividendo e divisor sao ambos ímpares, entao o quociente também será ímpar. Assim sendo, deve haver um natural ímpar p, tal que R = 2^44 * p Substituindo R por 2^44 * p em (2), temos: 2^44 * (b/a) = 2^49 * ak + 2^44 * p Daí, 2^44 * [ (b/a) - p ] = 2^49 * ak Ou, [ 2^44 * (b - ap) ] / a = 2^49 * ak Como 2^29 * ak é um inteiro postivo, a deve dividir [ 2^44 * (b - ap) ]. 2^44 nao é divisível por a, uma vez que a é um natural ímpar. Daí, conclui-se que a deve dividir (b - ap). Para isso, é necessario e suficiente que a divida b. (CONCLUSAO 1) Mas, de (1), a#93/a#49 = 2^44 * [ (3^93 + 4^93) / (3^49 + 4^49) ] = = 2^44 * (b/a) Como b é divisível por a (conclusao 1), entao [ 2^44 * (b/a)] é um inteiro positivo, o que nos mostra que a#93 é divisível por a#49. Assim sendo, o resto de a#93 / a#49 é ZERO. Resposta: ZERO. Espero ter ajudado, apesar da demora. Saudaçoes Tricolores, Alexandre Terezan. - Original Message - From: "Eduardo Quintas da Silva" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sexta-feira, 4 de Agosto de 2000 22:21 Subject: Problema Seja a*n = 6^n + 8^n. Calcule o resto de a*93 / a*49. Entende-se por a*n : a índice n. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Bijeção entre NxN e N
From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Bijeção entre NxN e N
Date: Thu, 10 Aug 2000 13:13:22 -0300 (BRT)
On Thu, 10 Aug 2000, Ecass Dodebel wrote:
Problema clássico:
Existe algum polinômio em duas variáveis que defina uma bijeção
entre NxN e N?
Aqui N = {0,1,2,3,...} é o conjunto dos naturais
e NxN é o produto cartesiano de N com N, i.e.,
é o conjunto dos pares ordenados de naturais.
Para encontrar uma bijeção entre N^2 e N, devemos ordenar os
elementos
de
N^2, um modo de ordená-los é o seguinte:
- (x,y) vem antes de (z,w) se x#y z#w
- (x,y) vem antes de (z,w) quando x#y = z#w se xz
Exemplificando, em ordem (do primeiro elemento) temos:
(0,0) ;
(0,1) ; (1,0) ;
(0,2) ; (1,1) ; (2,0) ;
(0,3) ; (1,2) ; (2,1) ; (3,0) ;
...
De modo que (x,y) é o elemento que vem depois dos elementos (z,w)
onde
z#w
x#y que são 1 # 2 # 3 # ... # (x#y) e depois de x elementos (z,w)
com
soma
z#w=x#y e xz, donde:
(x,y) |- 1 # 2 # 3 # ... # (x#y) # x = (x#y)(x#y#1)/2 # x
é uma bijeção da forma pedida, em outras palavras, para o polinômio
em
duas
variáveis P definido por
P(x,y) = (x#y)(x#y#1)/2 # x
Não existem dois pares diferentes (x,y); (z,w) de forma que
P(x,y) = P(z,w)
E mais, para todo o k dos naturais, existe um par (x,y), tal que
P(x,y) = k
Boa solução. Pergunta: existem outros polinômios com a mesma
propriedade
além deste e da troca trivial de x por y?
Eu ACHO que não. Até por que não existe um polinômio que defina bijeção
entre N e N, daí esse raciocínio talvez se estenda, mas não sei provar.
Bem, esta é difícil, fica para todos pensarem mais.
Lanço uma outra questão.
Existe algum polinômio em duas variáveis que defina uma bijeção
entre RxR e R? (onde R é o conjunto dos Reais)
Esta é muito mais fácil. E entre QxQ e Q?
Eu consigo mostrar que existe bijeção entre R e RxN, de forma que
deveria
haver bijeção entre RxR e RxN, e para isso, eu ACHO que deveria haver
alguma
bijeção entre R e N, o que sei que não existe, mas não sei demonstrar
que
não existe bijeção entre RxR e R. Quanto ao segundo, eu sei fazer uma
bijeção entre QxQ e Q, mas sem encontrar um polinômio que defina alguma
bijeção.
Os conjuntos N, Z, Q, NxN, N^k, Q^k, ... são todos infinitos enumeráveis.
Os conjuntos R, RxN, R^k, ... são todos infinitos não enumeráveis com
o mesmo cardinal.
Isto é, existe bijeção entre quaisquer dois conjuntos da primeira lista
ou entre quaisquer dois conjuntos da segunda lista, mas não existe bijeção
entre um conjunto da primeira e um conjunto da segunda lista.
Os problemas que discutíamos têm a dificuldade extra de exigir que a
bijeção
tenha uma cara muito especial...
PS. podemos encontrar bijeções entre N^p e N^q para p e q inteiros
positivos, seguindo um raciocínio análogo, mas o polinômio, se é que
sempre
existe, não deve ser tão simples quanto o caso p=2, q=1.
Acho que uma pergunta primeiro seria para que valores de p e q *existe*
um tal polinômio.
Eu ACHO que *existe* um polinômio que seja bijeção entre N^p e N^q,
somente
nos casos (p,q)=(k,k) ou (k,1), com k natural, também não sei demostrar.
Esta afirmação é falsa.
Sem certeza diria que
(z,x,y)|- (x#y#z)(x#y#z#1)(x#y#z#2)/6 # z(z#1)/2 # z(x#y) # (x)
é uma bijeção entre N^3 e N, definida por um polinômio.
Com este exemplo, f(0,0,1) = f(1,0,0) = 2.
Mas acho que você tem uma idéia boa; pense mais.
[]s, N.
Acho que agora eu achei uma bijeção entre N^3 e N
(x,y,z)|- (x#y#z)(x#y#z-1)(x#y#z#4)/6 # (2x#y#z) # (x#y#z#1)(x#y#z#2)/2 -
(x#y#1)(x#y#2)/2
Não está na forma expandida, os primeiros termos são:
(0,0,0)
(0,0,1);(0,1,0)
(1,0,0)
(0,0,2);(0,1,1);(0,2,0)
(1,0,1);(1,1,0)
(2,0,0)
(0,0,3);(0,1,2);(0,2,1);(0,3,0)
(1,0,2);(1,1,1);(1,2,0)
(2,0,1);(2,1,0)
(3,0,0)
...
Estou tentando generalizar o polinômio.
Obrigado!
Eduardo Casagrande Stabel.
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Re: curiosidade
From: Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: curiosidade
Date: Tue, 08 Aug 2000 15:52:36 -0300
From: "Fabio Jose Brandimarte Ariano" [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: curiosidade
Date: Tue, 8 Aug 2000 15:53:27 -0300
X-MSMail-Priority: Normal
X-Mailer: Microsoft Outlook Express 4.72.3110.5
X-MIMEOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V4.72.3110.3
Em primeiro lugar, meus parabéns pelo trabalho e pelo site
www.obm.org.br. Meu nome é José Ricardo Ariano. Sou Engenheiro Civil,
formado pela Escola de Engenharia de Lins, no ano de 1.974. Naquela
época,
não dispúnhamos de calculadoras científicas do tipo HP ou similares.
Utilizávamos calculadoras comuns com raiz quadrada e nos foi passado uma
dica de como efetuar calculos exponenciais, utilizando as mesmas. É um
cálculo empírico, que dá certo, porém nunca ficamos sabendo quais as
bases
matemáticas para que os mesmos funcionassem. Vou passar um exemplo para
vocês, e se alguém puder explicar como e porque, eu ficaria agradecido.
Exemplo: Calcular o valor de 8 elevado de 1/3 ( o que seria o mesmo que
raiz cubica de 8 e o resultado é 2) passo 1: Digita-se 8 e extrai-se a
raiz quadrada várias vezes (por exemplo 15 vezes) e teremos o resultado
1,6346. passo 2: Subtrai-se o número 1 (temos o resultado
0,6346) passo 3: Multiplica-se este resultado pelo expoente (1/3) e
teremos 0,21153 passo 4: soma-se o numero 1 (teremos 1,21153)
resultado 1,40565 o que é uma aproximação excelente para cálculos
de
engenharia NB: a aproximação na quarta casa é determinada pela
quantidade
de zeros após a unidade no passo 1. Curioso, não é? Funciona para
qualquer base e para qualquer expoente. Espero ter sido útilJosé
Ricardo H. Ariano [EMAIL PROTECTED]
Considerando o cálculo de a^b pelo método acima, com um detalhe: no final
devemos elevar o resultado da soma com 1 a 2^m, onde m é a quantidade de
raizes quadradas que haviamos extraído no começo. Considero n, em vez de
2^m, dá no mesmo.
Seja a constante 'e' a base dos logaritmos naturais. Vale:
e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...
Queremos mostrar que
[ b(a^(1/n) - 1) + 1 ]^n = a^b(i)
Chamarei, por comodidade, k = b(a^(1/n) - 1), o qual tende a 0 quando n se
aproxima do infinito, (i) fica (com o n muito grande)
[ k + 1 ]^n = 1 + kn/1! + k^2n(n-1)/2! + k^3n(n-1)(n-2)/3! + ...
= 1 + kn/1! + (kn)^2/2!+ (kn)^3/3! + ...
= e^(kn)
= { e^[ n(a^(1/n) - 1) ] }^b (ii)
Basta mostrar que e^[ n(a^(1/n) - 1) ] = a. Para isso vemos que
n(a^(1/n) - 1) =
n(e^(lna/n) - 1) = n( 1 + lna/n + (lna/n)^2/2! + ... - 1)
= lna + 1/n( lna^2/2! + lna^3/n3! + ...)
= lna
O termo com o 1/n é desprezível, pois o n é muito grande. Com isso (ii) fica
{ e^[ n(a^(1/n) - 1) ] }^b = { e^lna }^b
= { a }^b
= a^b
O que demonstra a fórmula. Essa prova não é rigorosa, mas nos sugere
fortemente que o cálculo resulta em a^b. Todos os cálculos deveriam ser
feitos com o limite de n tendendo ao infinito.
Obrigado!
Eduardo Casagrande Stabel.
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Re: Alguem pode ajudar?
From: "nautilus" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Alguem pode ajudar? Date: Tue, 1 Aug 2000 18:25:47 -0300 Não consigo fazer os dois exercícios abaixo sobre divisores positivos de um inteiro, será que alguém poderia me ajudar?. Acredito que sejam até bastante parecidas as suas soluções, pois os enunciados são similares. 1) Demonstrar que existem infinitos inteiros positivos n tais que a quantidade de divisores positivos que tem 2^n - 1 é maior que n. 2) Seja d(n) o número de divisores positivos de um inteiro positivo n (incluindo 1 e n). Sejam a 1 e n 0 inteiros tais que a^n + 1 é um primo. Prove que d(a^n - 1) = n. Olá Nautilus, demorou para alguém responder a sua mensagem, mas aí vai a solução que eu encontrei para a sua questão. Vou usar # para indicar soma, para que todos possam ler, e MDC(a,b) para indicar o maior divisor comum a "a" e "b". Vou por etapas (1,2,...) e depois trato dos seus problemas. 1) Se a1 e n,m0 inteiros, então MDC(a^n - 1,a^m - 1)=a^MDC(n,m) - 1 Demonstração. Supondo m n, temos MDC(a^n - 1,a^m - 1) = MDC(a^n - 1,a^(m-n)*(a^n - 1) # a^(m-n) - 1) = MDC(a^n - 1,a^(m-n) - 1) = De forma que se (m-n) n reaplicamos o processo até (pela divisão euclidiana m = qn # r, com rn) MDC(a^n - 1,a^(m-qn) - 1) = MDC(a^n - 1,a^r - 1) = Ressalto que MDC(m,n)=MDC(n,r). Fazendo o mesmo processo, para n r, vendo que pela divisão euclidiana n = pr # r', veremos que MDC(a^r' - 1,a^r - 1) Ressalto novamente que MDC(n,r)=MDC(r,r'). Repetindo o processo, claramente estamos tratando do precesso de obtenção do MDC de Euclides, veremos que MDC(a^n - 1,a^m - 1)= MDC(a^MDC(m,n) - 1,a^0 - 1) = a^MDC(m,n) - 1 2) Se a1 e n,m0 inteiros, então MDC(a^(2^n) # 1,a^(2^m) # 1) = 1 Demonstração. Vemos primeiramente que MDC(a # 1,a - 1) = MDC((a - 1) + 2, (a - 1) = MDC(a - 1,2) Ou seja, se a é par, MDC(a # 1,a - 1)=1; se a é ímpar MDC(a # 1,a - 1)=2. Já que 2^(2^n) é par MDC(2^(2^n) # 1, 2^(2^n) - 1)=1 E ainda 2^(2^n) - 1 = (2 - 1)(2 # 1)(2^2 # 1)...(2^(2^(n-1)) # 1) Donde tiramos que 2^(2^n) # 1 não tem nenhum fator comum com os números da forma 2^(2^m) # 1 com mn, o que conclui a demonstração. 3) Se a1 e n0 e a^n # 1 é primo, então n é uma potência de 2. Escrevendo n=p*2^m, onde p é impar, temos a^n # 1 = (a^(2^m))^p # 1 = (a^(2^m))^p - (-1)^p = X^p - Y^p É fácil de ver que X - Y divide X^p - Y^p, de forma que a^n # 1 não é primo, e portanto p deve ser igual a 1, e n uma potência de 2. Agora vamos aos problemas. Problema 2. Se a^n # 1 é primo, escrevemos n=2^m por (3), e a^(2^m) - 1 = (a - 1)(a # 1)...(a^(2^(m-1)) # 1) De forma que todos esses fatores (os m últimos) são primos entre si, por (2), e maiores que 1, logo cada um contribui com pelo menos 1 número primo para a^(2^m) - 1, o número de divisores é dado por (1#i1)...(1#ik) para as potências iq dos primos, donde d(a^(2^m) - 1)= (1#1)...(1#1) = 2^m. Problema 1. Tomamos n=2^m 2^(2^m) - 1 tem 2^m divisores ou mais, pelo problema 2. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. PS. o (1) que eu inclui no meu e-mail é inútil para o problema, mas acabei conseguindo prová-lo pensando que era necessário para resolver a questão, já que é relacionado ao assunto e é bastante conhecido, eu inclui. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Bijeção entre NxN e N
From: "Nicolau C. Saldanha" [EMAIL PROTECTED]
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Subject: Bijeção entre NxN e N
Date: Thu, 3 Aug 2000 14:01:41 -0300 (BRT)
Problema clássico:
Existe algum polinômio em duas variáveis que defina uma bijeção
entre NxN e N?
Aqui N = {0,1,2,3,...} é o conjunto dos naturais
e NxN é o produto cartesiano de N com N, i.e.,
é o conjunto dos pares ordenados de naturais.
[]s, N.
Olá pessoal!
Para encontrar uma bijeção entre N^2 e N, devemos ordenar os elementos de
N^2, um modo de ordená-los é o seguinte:
- (x,y) vem antes de (z,w) se x#y z#w
- (x,y) vem antes de (z,w) quando x#y = z#w se xz
Exemplificando, em ordem (do primeiro elemento) temos:
(0,0) ;
(0,1) ; (1,0) ;
(0,2) ; (1,1) ; (2,0) ;
(0,3) ; (1,2) ; (2,1) ; (3,0) ;
...
De modo que (x,y) é o elemento que vem depois dos elementos (z,w) onde z#w
x#y que são 1 # 2 # 3 # ... # (x#y) e depois de x elementos (z,w) com soma
z#w=x#y e xz, donde:
(x,y) |- 1 # 2 # 3 # ... # (x#y) # x = (x#y)(x#y#1)/2 # x
é uma bijeção da forma pedida, em outras palavras, para o polinômio em duas
variáveis P definido por
P(x,y) = (x#y)(x#y#1)/2 # x
Não existem dois pares diferentes (x,y); (z,w) de forma que
P(x,y) = P(z,w)
E mais, para todo o k dos naturais, existe um par (x,y), tal que
P(x,y) = k
Lanço uma outra questão.
Existe algum polinômio em duas variáveis que defina uma bijeção
entre RxR e R? (onde R é o conjunto dos Reais)
Obrigado!
Eduardo Casagrande Stabel.
PS. podemos encontrar bijeções entre N^p e N^q para p e q inteiros
positivos, seguindo um raciocínio análogo, mas o polinômio, se é que sempre
existe, não deve ser tão simples quanto o caso p=2, q=1.
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Re: Canal de IRC
From: "Jorge Peixoto Morais" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Canal de IRC Date: Sat, 05 Aug 2000 15:52:07 EST EU criei um canal de IRC na Brasnet, de nome OBM. É bem interessante poder conversar em tempo real. Para quem não sabe, IRC é uma parte da Internet especializada em chat e qualquer um pode criar uma sala de chat com comandos como /chanserv register #canal senha descricao e /chanserv identify #canal senha.Eu estarei lá boa parte do final de semana. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com Qual o endereço da Brasnet? E em qualquer porta? Não existe nenhum canal #OBM em irc.brasnet.org Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Variacao do Morgado
Oi Gente, O que vou falar nao eh uma critica, mas uma opniao, que possivelmente possa NAO ser compartilhada por outros. Venho notando que em algumas mensagens aparecem referencias ao uso do Maple V, e me pergunto: numa lista de discussao eh adequado apresentar solucoes utilizando-se de software matematico, ou seja, as solucoes nao perdem um pouco (ou muito) de sua graca e beleza ao se introduzir um software para, por exemplo, verificar se existem ou nao solucoes para uma equacao? Entendam o que quero dizer: acho que em algumas situacoes o uso destes softwares poupa muito tempo e trabalho (e ai seu uso e profundamente necessario), mas em outras situacoes ele limita a busca por solucoes melhores, e assim os nossos conhecimentos nao sao treinados e melhorados. Volto a dizer que nao estou criticando ninguem e muito menos os softwares. []'s Alexandre Vellasquez Olá, Vellasquez! Eu não me sinto de modo algum ofendido com o seu comentário, e aprecio a sinceridade. Vejamos as três ocasiões onde eu sitei o Maple: 1) Aquele problema solto que eu enviei foi algo que eu supus que fosse verdade pelos cálculos que eu havia feito no Maple. 2) lim(1/1+...1/x -ln(x), x-inf) = gamma = 0.527.. só usei para calcular o valor da constante. 3) Mostrei que 2^z==36(mod 36^2-1) não tem solução z inteira. Detalhes 1) Eu não usei para encontrar uma solução ou provar algum resultado, foi algo que eu percebi enquanto fazia alguns cálculos. 2) Achar esse limite aproximado no braço é trabalho muito chato, e acho que só vai me ajudar a aprender a dividir 1/n e usar uma tábua de logaritmos. 3) Para mostrar que só se tratava de trabalho manual basta ver que após descobrir a ordem de 36^2-1 na base 2, ou seja, o menor inteiro t tal que 2^t-1 é múltiplo de 36^2-1, eu teria que testar os valores 2^0-36; 2^1-36; ...; 2^(t-1)-36 e verificar se algum deles é divisível por 36^2-1, por isso eu usei o Maple. Bem justificado, acho, o uso do Maple, eu peço desculpas pelo uso "excessivo" e referências demasiadas ao programa. Realmente acho que exagerei um pouco, mas ressalto que não houve prejuizo na lógica matemática, por causa do uso do programa. Foi mal! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Pergunta solta
From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Pergunta solta Date: Sun, 30 Jul 2000 12:00:34 -0300 Augusto Morgado wrote: Ecass Dodebel wrote: From: "Edmilson" [EMAIL PROTECTED] Olá pessoal tudo bem ? Caro Ecass, Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6 , como s(n) é monótona crescente, temos s(n) Pi^2/6 , para todo n natural. Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) n^(-1) , para todo n natural. Temos que 2.Pi n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 0 , completando o quadrado temos : (n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 (n^2)*(Pi^2), assim, como (n.Pi -1)^2 (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos : Caro Edmilson, nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem n².6.Pi²/6 (n^2)*6*s(n), ou seja Pi^2/6 s(n) mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao? Eduardo Casagrande Stabel. (n.Pi -1)^2 6*(n^2)*s(n), ou seja, n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) 1 , dividindo ambos os lados por n, finalmente : Pi - (6*s(n))^(1/2)) n^(-1) , para todo n natural. Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando n tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que está bem próximo de 1. Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não consegui). Atenciosamente, Edmilson Aleixo. - Original Message - From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM Subject: Pergunta solta Olá, Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi por essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: Pi - (6*s(n))^(1/2) n^(-1) E também acho que o quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] tende para 1 quando n tende para o infinito. Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia dar uma idéia? Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Carissimos: A soma dos valores de 1/(n^2) com n variando de k ate infinito sera chamada de Sk. Se voces desenharem a curva y=1/(x^2), pensem no problema de calcular a area Ak entre essa curva e o eixo dos x, a partir (a direita) de x=k. A area esta compreendida entre uma aproximaçao inferior e uma superior obtidas do jeito que vou descrever: Vamos calcular a area de k a infinito como soma das areas de k a k+1, mais a de k+1 a k+2 etc. Na aproximaçao inferior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+2))^2 etc. Na aproximaçao superior, trocamos a area de k a k+1 pela area de um retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/k)^2, trocamos a area de k+1 a k+2 por um retangulo obtido trocando nesse intervalo a curva por uma horizontal y=(1/(k+1))^2 etc. Obtemos Sk - 1/(k^2) Ak Sk. Muito bem. Vamos calcular agora a soma dos valores de 1/n^2 com n variando de 1 a infinito. Quando aproximamos essa soma, que sabemos ser igual a pi ao quadrado sobre 6, pela soma com n variando de 1 ate k, o erro cometido eh a soma dos valores de 1/n^2 com n variando de k+1 a infinito, ou seja eh S(k+1). Pelo resultado do paragrafo anterior, Ak Sk 1/(k^2)+ Ak, ou o que eh o mesmo, A(k+1) S(k+1) 1/((k+1)^2)+ A(k+1). Acontece que A(k+1) = 1/(k+1) (isso eh uma integral facil de calcular). Logo, S(k+1) esta compreendido entre 1/(k+1) e 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 = (k+2)/(k+1)^2. Portanto, X=1+1/4+...+1/n^2 eh menor que pi ao quadrado sobre 6 com erro menor que (n+2)/(n+1)^2. X (pi^2)/6 X +(n+2)/(n+1)^2. Dai se obtem (raiz de 6X) pi raiz de [6X+ (6(n+2)/(n+1)^2)]. Esta ultima expressao se prova com certa facilidade que e menor que a soma de raiz de 6X com 1/n, que eh o que voces estavam querendo provar. Para provar isso basta provar, ja que sao positivos, que o quadrado do primeiro, isto eh, 6X+ (6(n+2)/(n+1)^2), eh menor que o quadrado do segundo, isto eh, 6X + 1/n^2 + 2(raiz de 6X)/n. Isso equivale a mostrar que (6(n+2)/(n+1)^2) -1/n^2 eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o mesmo que [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.n.(n+1)(n+1)] eh menor que 2(raiz de 6X)/n ou o que eh o mesmo que [6n^3+11n^2-2n-1]/[n.(n+1
Pergunta solta
Olá, Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi por essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: Pi - (6*s(n))^(1/2) n^(-1) E também acho que o quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] tende para 1 quando n tende para o infinito. Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia dar uma idéia? Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Pergunta solta
From: "Edmilson" [EMAIL PROTECTED] Olá pessoal tudo bem ? Caro Ecass, Eu também dei uma olhada no Maple nesta série e fiz assim, Seja s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 , temos que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6 , como s(n) é monótona crescente, temos s(n) Pi^2/6 , para todo n natural. Devemos mostrar que Pi - (6*s(n))^(1/2) n^(-1) , para todo n natural. Temos que 2.Pi n^(-1) , para todo n natural, assim, -2.Pi.n +1 0 , completando o quadrado temos : (n^2)*(Pi^2) - 2.Pi.n +1 (n^2)*(Pi^2) , ou seja , (n.Pi -1)^2 (n^2)*(Pi^2), assim, como (n.Pi -1)^2 (n^2)*(Pi^2) = n².6.Pi²/6 (n^2)*6*s(n)=6*(n^2)*s(n), temos : Caro Edmilson, nesse ponto eu acho que há um pequeno erro, você está fazendo a passagem n².6.Pi²/6 (n^2)*6*s(n), ou seja Pi^2/6 s(n) mas lá em cima, você havia dito justamente o contrário, que a s(n) era inferior a Pi^2/6. Isso invalida a prova, nao? Eduardo Casagrande Stabel. (n.Pi -1)^2 6*(n^2)*s(n), ou seja, n.Pi - (6*(n^2)*s(n))^(1/2)) 1 , dividindo ambos os lados por n, finalmente : Pi - (6*s(n))^(1/2)) n^(-1) , para todo n natural. Agora sobre o limite do quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2))] / [n^(-1)] quando n tende para o infinito, eu fiz no Maple e este me deu a resposta 3 / Pi que está bem próximo de 1. Esta parte eu deixo para os nossos colegas mostrarem (porque eu ainda não consegui). Atenciosamente, Edmilson Aleixo. - Original Message ----- From: Ecass Dodebel [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, July 29, 2000 3:23 AM Subject: Pergunta solta Olá, Eu tenho uma pergunta meio solta, estava vendo no Maple V a funcao s(n) = 1/1^2 + ... + 1/n^2 Sabe-se que lim(n-+inf) s(n) = Pi^2/6, eu estava tentando calcular pi por essa funcao, e cheguei a um resultado bem interessante: Pi - (6*s(n))^(1/2) n^(-1) E também acho que o quociente [Pi - (6*s(n))^(1/2)] / [n^(-1)] tende para 1 quando n tende para o infinito. Não tenho idéia alguma de como provar esses resultados, alguém poderia dar uma idéia? Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Qual o erro?
From: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED] Subject: Qual o erro? Date: Tue, 25 Jul 2000 14:54:41 -0300 Alô caros amigos, tudo ok?. tenho uma questão boba que está me intrigando por isso gostaria que alguém me ajudasse. A questão é a seguinte: Se numa prova de 5 testes, cada um com 4 alternativas, uma pessoa sai "chutando" aleatóriamente qual a probabilidade dessa pessoa: a) acertar os 5 testes b)errar os 5 testes. Ora, é claro que a probabilidade de acertar os 5 testes é 1/4 . 1/4 . 1/4 . 1/4 . 1/4 = 1/1024 e por outro lado a propabilidade da pessoa errar os 5 testes é 3/4 .3/4 . 3/4 . 3/4 . 3/4 = 243/1024. Ok? Mas minha dúvida é a seguinte: por que não posso calcular a probabilidade da pessoa errar os 5 testes pelo complementar, isto é, 1-probabilidade de acertar os 5 testes, o que nos daria como resposta 1023/1024? Alguém pode me ajudar?(com certeza deve ser uma bobagem, mas não estou enxergando!) Um abraço a todos, Carlos A. Gomes Existem outros casos que você não está considerando. Por exemplo. acertar 3 testes e errar 2. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Problema
From: "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Problema Date: Sat, 22 Jul 2000 21:19:00 GMT Oi! Problema. Dados a,n naturais, não nulos. A sequencia x[k] é definida por x[0]=a, e x[k+1]=a^x[k]. Provar que existe N tal que todo o kN satisfaz x[k]=x[k+1](mod n). Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com Minha solução é a seguinte: Fato1. x[k]=x[k+1](mod n), similar a a^x[k-1]=a^x[k](mod n), se e somente se x[k-1]=x[k](mod ord_a(n)) mas ord_a(n)=phy(n)n Agora é só provar por indução completa. - x[k]=x[k+1](mod n) para kN, para n=1 - se x[k]=x[k+1](mod n), para kN, valer pra n=1,...,q vale para q+1. Prova. o enunciado vale para n=q+1 se e somente se vale para n=ord_a(q+1)q+1 (pelo fato1), o que é verdade pela hipótese de indução. - daí vale para qualquer n... PS. ord_a(n) é o menor natural t tal que a^t=1(mod n), ou seja, n divide a^t-1 PS2. eu li esse problema, pela primeira vez, no começo do ano passado (eu estava no segundo ano do segundo grau). Desde quando eu li, venho tentando resolvê-lo, e só agora consegui uma solução, que não tenho certeza se está correta. Por favor, comentem! Muito Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Problema
Oi! Problema. Dados a,n naturais, não nulos. A sequencia x[k] é definida por x[0]=a, e x[k+1]=a^x[k]. Provar que existe N tal que todo o kN satisfaz a[k]=a[k+1](mod n). Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Combinatoria
"De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16 bolas verdes, 24 bolas amarelas?" O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para serem rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que vocês entendem). Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Questao da Moldavia
From: "Alexandre Gomes" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Questao da Moldavia
Date: Sun, 16 Jul 2000 20:14:55 PDT
Achei na internet uma questao bastante interessante. Alguem me ajudaria
a
resolver?
Encontre todas as funcoes f:R-R que verifiquem a relacao
x*f(x)=[x]*f({x})+{x}*f([x]), para todo x pertencente a R, onde [x]
representa a parte inteira de x e {x} representa a parte fracionaria de x.
Obrigado!
Alexandre S. Gomes
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Eu achei uma resposta estranha.
Escolha x inteiro, diferente de zero.
x*f(x)=x*f(0)+0*f(x), logo f(x)=f(0)
Escolha x entre 0 e 1.
x*f(x)=0*f(x)+x*f(0), logo f(x)=f(0)
Agora para um x real qualquer, temos
x*f(x)=[x]*f({x})+{x}*f([x])=[x]*f(0)+{x}*f(0)=f(0)*([x]+{x}), ou seja
x*f(x)=f(0)*x, daí f(x)=f(0)
Para um k qualquer f(x)=k satisfaz o enunciado, e essas são todas as
soluções.
Algo deve estar errado.
Eduardo Casagrande Stabel.
obs. claramente x=[x]+{x}
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Re: Dúvida cruel...
From: "Rodrigo Villard Milet" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "Obm" [EMAIL PROTECTED] Subject: Dúvida cruel... Date: Thu, 13 Jul 2000 15:24:00 -0300 Será que alguém podia me ajudar nesse problema ??? Verificar se existe primo p tal que p(n+1)! e (2n)!/(n-1)! = (n+1)! mod p *a igualdade deve ser lida como congruência...(é claro !) ¡ Villard ! Olá, (2n)!/(n-1)! = (n+1)! (mod p) já que mdc( (n+1)! , p )=1, pois p é primo maior que (n+1)!, podemos dividir ambos os lados da congruência por p (2n)!/(n-1)!(n+1)!=1 (mod p) Se o lado esquerdo não for 1, ele deve ser maior do que p, e, consequentemente, maior que (n+1)!. No entanto para n=2,3,4,5 se ve, manualmente, que o lado esquerdo da congruencia acima é menor que (n+1)!, e para n maior do que 5, use o seguinte: Na expansão de (1+1)^(2n) aparecem dois termos (2n)!/(n-1)!(n+1)!, logo (2n)!/(n-1)!(n+1)! 2^(2n) E como 2^(2n) (n+1)! para n5 (verifica-se para n=5, e depois se prova por indução em n, já de de um lado aparece o produto 4, e do outro (n+2)4). Unindo as duas desigualdes, temos: (2n)!/(n-1)!(n+1)! 2^(2n) (n+1)! para n5, o que conclui a demonstração. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Obs. percebi que o Ralph Costa Teixeira já respondeu algo semelhante, mas já que eu estou aqui, mando... Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: contratempo
Ola Duda, Tudo Legal ? Alguem ja disse - e creio que com acerto - que "Um Leao se conhece pela pata", vale dizer, que um verdadeiro talento inevitavelmente se revela naquilo que ele produz ... Em verdade, quem tem que lhe agradecer somos nos, pela(s) belissima(s) solucao(oes) com que voce nos tem brindado. Parabens ! Paulo Santa Rita 2,1436,10072000 Caro amigo Paulo Santa Rita, acho que o adjetivo 'belissima(s)' é um tanto exagerado, mas fico muito feliz em receber seu elogio. Nao sou bom com elogios, mas voce, que ja foi confundido inumeras vezes com um professor, contribui enormemente para a lista e dá muita personalidade a ela. Voce une o grupo. Muito Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: ajuda(correção)
From: "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: ajuda Date: Mon, 10 Jul 2000 17:24:42 GMT From: "Filho" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "discussão de problemas" [EMAIL PROTECTED] Subject: ajuda Date: Sun, 9 Jul 2000 22:21:40 -0300 Demonstrar que quaisquer que sejam os inteiros positivos x e y, o produto (36x+y).(36y+x) não pode ser uma potência de 2. Valeu Stabel pela questão anterior. É só fazer a diferença dos fatores, dá 35(x-y), a diferença de duas potências de 2 não pode ser múltipla de 35, que não é um primo de Mersenne. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. ___ Desculpem-me, eu disse besteira, pensei mal. A minha outra sugestão é a seguinte. Escolhemos a solução que tem o menor x, deve existir uma. Só que para (36y # x) não ser ímpar, x deve ser múltiplo de 4, diremos x=4X. E para (36x # y) não ser ímpar, y deve ser múltiplo de 4, diremos y=4Y. Temos (36x # y)(36y # x)=16(36X # Y)(36Y # X) potência de 2. Então o par (X,Y) também é solução do problema, mas X=4xx, absurdo, pois supomos x o menor possível. Logo não há solução. Isso seria a descida de Fermat para (36x # y)(36y # x)=2^z ? Acho que sim. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: apreciação
Eu mesmo tenho dificuldade de ler os sinais das minhas mensagens. Vou substituir o sinal de mais por #, assim talvez todos consigam ler: Seja (a,b)=g, e a=gA, e b=gB (a^2 # b^2)/ab = (A^2 # B^2)/AB Agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1. Mas veja que - se (A,B)=1 então (A # B,B)=(A # B,A)=1 - se (A # B,B)=(A # B,A)=1 então (A # B,AB)=1 - se (A # B,AB)=1 então ((A # B)^2,AB)=1 Logo (A # B)^2/AB = (A^2 # B^2)/AB + 2 é inteiro somente se AB=1, portanto A=1 e B=1, logo a=b=g. Tudo perfeitamente certo? Meus comentários: na solução do amigo Marcos Eike Tinen dos Santos, me PARECE que ele admite algo como: para (a # b)/c ser inteiro a/c e b/c precisam ser inteiros, o que não é verdade. (1 # 3)/2 é inteiro. Na solução do amigo Filho, que me PARECE perfeita, há o uso da fórmula das raízes da equação de segundo grau, o que, apesar de não ser tão artificial, já não é tão "simples" quanto à solução que eu dou acima. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: dígitos
From: "Marcelo Souza" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: dígitos Date: Sat, 08 Jul 2000 21:01:37 GMT Olá Gostaria de saber como faço para calcular por exemplo, o número de dígitos de 4^4^4? Obrigado abraços marcelo Olá, considere # como o sinal de soma ( e [x] a parte inteira de x ). Em geral "n" tem [log_10(n)]#1 dígitos, só para "n" positivos, é claro. [log_10(4^4^4)]#1=[512*log_10(2)]#1=155. Mas acho que podemos estimar no seu caso, com desiguldades simples, por exemplo: 4^(4^4)=2^512=(2^10)^(51.2)(10^3)^(51.2)=10^(153.6), pela fórmula esse lado tem 154 dígitos, portanto 4^(4^4) deve ter 154 ou mais dígitos. E também: 4^(4^4)(2^3)^(170)(10^1)^170, que tem 171 dígitos. (essa última estimativa é mais grosseira) Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: contratempo
From: "Filho" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "discussão de problemas" [EMAIL PROTECTED] Subject: contratempo Date: Sat, 8 Jul 2000 22:38:46 -0300 Contratempos.Desculpem!!! ok Agora, vamos ao trabalho. Preciso de ajuda. Demonstrar que a equação x^2 + y^2 - z^2 = 1997 tem infinitas soluções inteiras. Caro colega Filho, Vou usar novamente # como sinal de soma x^2 # y^2 - z^2 = x^2 # (y # z)(y - z) = "faça (y # z)=1 " x^2 # 1 * (1 - 2z) = x^2 - (2z - 1) Agora fica fácil de ver que se "x" for par, existirá sempre um "z" de modo que a diferença acima seja 1997. Tome x=2k 4k^2 - (2z - 1) = 1997, tiramos que z = 2k^2 - 998, logo (2k , 999-2k^2 , 2k^2-998) = (x,y,z) são infinitas soluções para k natural. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: apreciação
Olá, Olha o que eu acho. Seja (a,b)=g, e a=gA, e b=gB (a^2 + b^2)/ab = (A^2 + B^2)/AB Agora basta ver o que ocorre para (A,B)=1. Mas veja que - se (A,B)=1 então (A+B,B)=(A+B,A)=1 - se (A+B,B)=(A+B,A)=1 então (A+B,AB)=1 - se (A+B,AB)=1 então ((A+B)^2,AB)=1 Logo (A+B)^2/AB é inteiro somente se AB=1, portanto A=1 e B=1, logo a=b=g. Tudo certo? Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. From: "José Paulo Carneiro" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: apreciação Date: Thu, 6 Jul 2000 21:13:14 -0300 -Mensagem original- De: Filho [EMAIL PROTECTED] Para: discussão de problemas [EMAIL PROTECTED] Data: Quarta-feira, 5 de Julho de 2000 22:50 Assunto: apreciação 1.Sejam a e b inteiros positivos. Se a^2 + b^2 é divisível por ab, mostre que a=b. Comentários: Melhorando idéias a ^2 + b^2 = ( a + b ) ^2 - 2ab Veja: 1. Como ab divide a ^2 + b^2 (hipótese), então, ab deverá dividir ( a + b ) ^2 . 2. Se a for par e b for ímpar então ab é par e ( a + b ) ^2 é ímpar ( absurdo: par não divide ímpar) 3. Se a for ímpar e b for par (análogo) 4. Se a for ímpar e b for ímpar (absurdo: ímpar não divide par) Então, só resta a possibilidade (ambos são pares). Veja: Se a e b forem pares, então, a é da forma 2m e b é da forma 2n. Temos, agora: [2m.2n divide ( 2m + 2n ) ^2] implica [4mn divide 4m^2 + 4n^2 + 8mn] implica [m/n + n/m + 2] é inteiro. A última sentença só ocorre quando m = n (evidente). == Sem querer ser chato: m/n+n/m+2 eh inteiro se e so se m/n+n/m=(m^2+n^2)/(mn) eh inteiro, ou seja, se e so se mn divide m^2+n^2. Voce disse que eh evidente que isto so ocorre quando m=n. Mas isto eh exatamente o problema inicial, com m e n no lugar de a e b. E agora? JP Portanto, podemos concluir a = b . Valeu Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Nicolau
Nicolau, em que endereço da internet posso procurar aqueles seus dois livros: um sobre teoria dos números, e o outro, acho, sobre teoria dos jogos? Obrigado! Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Questão
From: "Ecass Dodebel" [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Questão
Date: Tue, 20 Jun 2000 18:40:35 GMT
Olá, novamente!
Queria propor este problema para a lista.
Seja F[n] o conjunto de todas as bijeções f de {1,...,n} em {1,...,n}
satisfazendo:
i. f(k) = k+1 para k=1,2,...,n
ii. f(k) k para k=2,...,n
Determine a probabilidade de que f(1)1 para um f arbitrário em F[n]
Valeu!
Eduardo Casagrande Stabel.
obs. = menor ou igual ; diferente
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Já que ninguém respondeu à minha mensagem, respondo eu. Eu achei a resposta
para essa questão em termos dos números de Fibonacci. Será que eu fiz de
modo certo? E eles aceitam a resposta nesses termos?
Eu tentei achar o número de funções de F[n] e chamei I[n] o conjunto das
funções em F[n] onde f(1)=1. Daí tentei calcular
1 - #I[n]/#F[n]
Para #F[n] encontrei o n-ésimo número de Fibonacci, e para #I[n] encontrei o
(n-2)-ésimo número de Fibonacci ( considerei o -2 e o -1 ésimos números de
Fibonacci como 1 e 0, isso segundo a recursão ).
Obrigado aos que leram!
obs. os números de Fibonacci são {1,1,2,3,5,8,13,21,...} onde cada termo é a
soma dos dois imediatamente anteriores. Existe uma expressão para o n-ésimo
número de Fibonnaci, é a seguinte:
Sejam x1 e x2 a maior e menor raízes x de x^2 = x + 1, então o n-ésimo
número de Fibonacci é dado por:
([x1]^n - [x2]^n)/([x1] - [x2])
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Re: ajuda-fatoração
From: "Filho" [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "discussão de problemas" [EMAIL PROTECTED] Subject: ajuda-fatoração Date: Thu, 22 Jun 2000 10:51:50 -0300 É possível fatorar a expressão? 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4 obs: n^2 (significa:n elevado a 2) Segundo o "Maple V": factor(-a^4+2*a^2*b^2+2*a^2*c^2-b^4+2*b^2*c^2-c^4); -(a + b - c) (b + a + c) (a - b + c) (a - b - c) Um outro jeito de ver é: -[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2] Perdõem-me se digo besteira, mas eu acho que não há muito mérito em saber fatorar "no braço" uma coisa dessas. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Algoritmo para permutar
Olá!
100 = 4020 = 4*4! + 0*3! + 2*2! + 0*1!
E também
4! = 1000
6! = 10
4!-1 = 321
De modo geral, eu defino:
a[n]a[n-1]...a[1] = a[n]*n! + a[n-1]*(n-1)! + ... + a[1]*1!, sendo
0=a[i]=i
Cada número só pode ser representado de um modo. Para quem se interessa por
algoritmos, eu inventei um para achar rapidamente todas as permutações de n
elementos, vejam:
São dados n elementos, vou simplificar por {1,2,...,n}. Existem n!
permutações desses elementos. A k-ésima permutação é feita da seguinte
maneira:
Algoritmo. tomamos a[n-1]...a[1] = k. (achar os a[i] é fácil, similar a
achar 1, 3 e 5 em 135)
Nós temos n espaços vazios onde vamos colocando os elementos que queremos
permutar. Começamos da esquerda para direita, a primeira casa é o primeiro
espaço em branco, e contamos a[k] espaços em branco para a direita, é onde
colocamos o elemento k+1 (o 1 é posto no espaço que sobrar). Sendo que
devemos colocar os elementos na ordem n,(n-1),...,1.
Exemplo. Para n=4, queremos descobrir a 15a. permutação k = 15 = 2*6+1*2+1*1
= 211, daí usamos o algaritmo e vamos preenchendo os espaços em branco.
XX4X ( 2 espaços em branco a partir do primeiro )
X34X ( 1 espaço em branco a partir do primeiro )
X342 ( 1 espaço em branco a partir do primeiro )
1342, e essa é a 15a. permutação
Se variarmos k de 0 até 23, teremos todas as permutações possíveis,
calculadas de um jeito bem rápido (com o auxílio de um computador).
Obrigado!
Eduardo Casagrande Stabel.
Obs. a ordem das permutações eu inventei
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Questão
Olá, novamente!
Queria propor este problema para a lista.
Seja F[n] o conjunto de todas as bijeções f de {1,...,n} em {1,...,n}
satisfazendo:
i. f(k) = k+1 para k=1,2,...,n
ii. f(k) k para k=2,...,n
Determine a probabilidade de que f(1)1 para um f arbitrário em F[n]
Valeu!
Eduardo Casagrande Stabel.
obs. = menor ou igual ; diferente
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Re: Um estranho limite
Caro Carlos Gomes, olha o que eu pensei sobre o que voce falou. Pegue uma sequencia infinita, x[0], x[1], x[2], ..., de modo que: x[n + 1] = R ^ x[n] Ainda nao vamos nos importar por quanto vale x[0] (no seu caso vale R). A suposicao que fazemos para calcular o limite de x[n] com n no infinito e': lim(n-infinito) x[n] = x[n - 1] = R ^ x[n] donde vem que x[n] = R ^ x[n] (n-infinito) Agora, se supormos que x[n]=2 ou x[n]=4, acharemos para R o valor 2^(1/2). Por que dois valores para o mesmo R? Simples, pois depende do x[0] que escolhermos. É fácil de verificar que se 0 x[0] 4 então x[n]-2. Agora se x[0] = 4, vemos que x[0]=x[1]=x[2]=... e assim por diante, então x[n]-4. Já para x[0]4, o limite do x[n] tende para o infinito. Obs. equivalente a dizer que R^R^...^R=2 e R^R^...^R^4=4 , onde os pontinhos representam infinitos "^R". Eu cheguei a um resultado que nao sei provar bem, e'algo assim: x[0] = R x[n+1] = R ^ x[n] Existe o lim(n-infinito) x[n] (quero dizer que ele e' finito) somente se R = e^(1/e) (onde esse "e" e' a base dos logaritmos naturais). Eu tirei isso da curva x = R^x, que tera solucao so se o R=e(1/e). E onde se R=e^(1/e) há somente uma solução x, mas se Re^(1/e) há mais de uma, e só uma é verdadeira para o x[0]=R. O fato é que sendo o R=e^(1/e), lim(n-infinito) x[n] = e, e esse e' o maior limite de x[n] que encontraremos; se pegarmos um R maior, o limite tende ao infinito, por isso y^y^y^... = 4 nào tem solução y real. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. From: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED] Subject: Um estranho limite Date: Thu, 18 May 2000 00:03:52 -0300 Olá, carps amigos, como vai tudo bem?. Estou enviando-lhes este e-mail para que ajude-me numa questão que está engasgada a muito tempo aqui na minha garganta. Eis a questão: Resolva as equações: x^x^x^x^ =2 e y^y^y^y^=4 . Esta questão (principalmente a primeira equação) é bastante conhecida e usamos o fato que x^x^x^x^ =2 para obter x^2=2 e portanto x=sqtr(2) , por outro lado se usarmos o mesmo artifício na segunda equação temos que y^4=4 e portanto y=sqrt(2) o que gera um paradoxo sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^=2=4 ??. É um fato bastente conhecido que ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^=2 e não 4 , pois tem a história da convergência da série. Eu já li um artigo na RPM 26 ou 27 ,se não me engano, escrito pelo prof. Vicenzzo Bongiovanni sobre isto e também já li no livro do Paul Halmos - Problems for Young and old mathematicians da MAA um artigo sobre isto, mas o grande problema é que em ambos artigos o intervalo de convergência da série não é demonstrado é apenas citado, Se eu não estou enganado ele afirma que a série só converge quando 0xe^(1/e). Como faço para mostrar isto? Vocês poderiam citar alguma referência em que posso encontrar a discurssão deste problema?. Muito grato pela vossa atenção, um abraço, Carlos A. Gomes - Natal/RN Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Um estranho limite
Caro Carlos Gomes, olha o que eu pensei sobre o que voce falou. Pegue uma sequencia infinita, x[0], x[1], x[2], ..., de modo que: x[n + 1] = R ^ x[n] Ainda nao vamos nos importar por quanto vale x[0] (no seu caso vale R). A suposicao que fazemos para calcular o limite de x[n] com n no infinito e': lim(n-infinito) x[n] = x[n - 1] = R ^ x[n] donde vem que x[n] = R ^ x[n] (n-infinito) Agora, se supormos que x[n]=2 ou x[n]=4, acharemos para R o valor 2^(1/2). Por que dois valores para o mesmo R? Simples, pois depende do x[0] que escolhermos. É fácil de verificar que se 0 x[0] 4 então x[n]-2. Agora se x[0] = 4, vemos que x[0]=x[1]=x[2]=... e assim por diante, então x[n]-4. Já para x[0]4, o limite do x[n] tende para o infinito. Obs. equivalente a dizer que R^R^...^R=2 e R^R^...^R^4=4 , onde os pontinhos representam infinitos "^R". Eu cheguei a um resultado que nao sei provar bem, e'algo assim: x[0] = R x[n+1] = R ^ x[n] Existe o lim(n-infinito) x[n] (quero dizer que ele e' finito) somente se R = e^(1/e) (onde esse "e" e' a base dos logaritmos naturais). Eu tirei isso da curva x = R^x, que tera solucao so se o R=e(1/e). E onde se R=e^(1/e) há somente uma solução x, mas se Re^(1/e) há mais de uma, e só uma é verdadeira para o x[0]=R. O fato é que sendo o R=e^(1/e), lim(n-infinito) x[n] = e, e esse e' o maior limite de x[n] que encontraremos; se pegarmos um R maior, o limite tende ao infinito, por isso y^y^y^... = 4 nào tem solução y real. Obrigado! Eduardo Casagrande Stabel. From: Carlos Gomes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "[EMAIL PROTECTED]" [EMAIL PROTECTED] Subject: Um estranho limite Date: Thu, 18 May 2000 00:03:52 -0300 Olá, carps amigos, como vai tudo bem?. Estou enviando-lhes este e-mail para que ajude-me numa questão que está engasgada a muito tempo aqui na minha garganta. Eis a questão: Resolva as equações: x^x^x^x^ =2 e y^y^y^y^=4 . Esta questão (principalmente a primeira equação) é bastante conhecida e usamos o fato que x^x^x^x^ =2 para obter x^2=2 e portanto x=sqtr(2) , por outro lado se usarmos o mesmo artifício na segunda equação temos que y^4=4 e portanto y=sqrt(2) o que gera um paradoxo sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^=2=4 ??. É um fato bastente conhecido que ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^sqtr(2) ^=2 e não 4 , pois tem a história da convergência da série. Eu já li um artigo na RPM 26 ou 27 ,se não me engano, escrito pelo prof. Vicenzzo Bongiovanni sobre isto e também já li no livro do Paul Halmos - Problems for Young and old mathematicians da MAA um artigo sobre isto, mas o grande problema é que em ambos artigos o intervalo de convergência da série não é demonstrado é apenas citado, Se eu não estou enganado ele afirma que a série só converge quando 0xe^(1/e). Como faço para mostrar isto? Vocês poderiam citar alguma referência em que posso encontrar a discurssão deste problema?. Muito grato pela vossa atenção, um abraço, Carlos A. Gomes - Natal/RN Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Re: Polinômios e primos
From: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Polinômios e primos Date: Fri, 12 May 2000 15:52:37 -0300 Essa pergunta é muito legal, Eduardo, e você tem razão -- tal polinômio não existe. Eu sei que voce falava para o Eduardo Grasser, e eu me chamo Eduardo Casagrande Stabel, mas vou responder. No entanto, sua demonstração resolve só 80% do problema; afinal, e se o termo independente (digamos, a) for 1, -1 ou um primo p? Pode ser que o valor de P(a) seja 1, -1 ou p e isto *pode* ser primo (apesar de divísivel pelo termo independente). Mas se você continuar o raciocínio, dá para consertá-lo na boa (só falta 20%). Vou deixar vocês tentarem. Eu acho que achei uma solucao, mas nao tenho certeza se é a mesma que voce encontrou. Olha como é que eu fiz. i) Se P(x) é um polinômio de coeficientes inteiros entào P(x+k)-P(x) é divisível por k. ( isso é bem fácil de provar ) ii) P(x) = q é primo então P(x+q), P(x+2q), P(x+3q),... são todos múltiplos de q, há duas possibilidades: - os números da forma P(x+kq) geram infinitos numeros compostos - todos os P(x+kq) geram infinitos q ou -q... mas isso implicaria que P(x) tem grau infinito, daí tem que valer a de cima. Parece certo... Falou! Eduardo. Abraço, Ralph Eduardo Grasser wrote: Pergunta: quem disse que 6k + 5 só nos fornece primos??? k=5 = 6k + 5 = 35 o que me leva a perguntar: existe polinômio que só nos forneça primos? Não! não existe... basta fazer a incógnita valer o valor do termo independente e o polinômio será divisível por este... Eduardo Grasser Campinas SP ICQ - 54208637 Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
Caminhos
* / | \ * * * /|\ /|\ /|\ * ** *** ** * Imaginem que temos que sempre descer e seguindo as linhas... Fiz uma tabela com o número de caminhos que se pode fazer para chegar em cada * 1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 ... Dá para perceber que cada número é a soma dos três acima (se houver), e dá para entender facilmente o motivo... Tem algum nome especial essa tabela de números? (é de um problema que estou trabalhando em cima) Falou! Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com
