Re:_[obm-l]_somatório
Valeu fábio dias, mas a solução do eduardo henrique me pareceu mas atraente pois manipula direto no somatório. A sua me pareceu interessante também pelo que olhei (maios ou menos).
Na verdade esse somatório saiu de uma relação de recorrência de um algoritmo recursivo aparentemente inofensivo. Rodei o programa para alguns valores de n e a fórmula é realmente válida.
gustavoFabio Dias Moreira <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Eduardo Henrique Leitner said:> On Sun, May 16, 2004 at 08:32:39PM -0300, Gustavo Baggio wrote:>> Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n *>> 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ?>> Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n>> - i)*(2^i).>> Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8.>>>> Qualquer dica, enfim, tá valendo...>> [...]>> eis uma maneira:>>> n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) => = n[ 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^(n-1) ] - { 1*2^1 + 2*2^2 + 3*2^3 + ... +> (n-1)*2^(n-1) } =>> partindo do suposto que vc conhece a fórmula da soma dos n primeiros> termos de uma PG:> [...]> resposta: 2^(n+1) - (n+2)>
[...]Se pudermos usar cálculo tem uma maneira mais direta:x^0 + x^1 + x^2 + ... + x^n = [x^(n+1) - 1]/(x-1)Derive os dois lados em relação a x:1*x^0 + 2*x^1 + ... + n*x^(n-1) = d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dxFinalmente, multiplique por x:1*x^1 + 2*x^2 + ... + n*x^n = x * d([x^(n+1) - 1]/[x-1])/dxO lado direito é facilmente derivado, pois é a derivada de um quociente.De fato, não é muito difícil ver que ela vale[n*x^(n+1)-(n+1)*x^n+1]/[x-1]^2. Substituindo x = 2,1*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = 2 * [n*2^(n+1)-(n+1)*2^n+1]/[2-1]^21*2^1 + 2*2^2 + ... + n*2^n = n*2^(n+2) - (n+1)*2^(n+1) + 2.Finalmente, voltando ao problema original,n*2^0 + (n-1)*2^1 + ... + 1*2^(n-1) == n*[2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)] - (1*2^1 + 2*2^2 + ... +(n-1)*2^(n-1)) == n*(2^n-1) - (n-1)*2^(n+1) + n*2^n - 2 == n*2^n - n - 2*n*2^n + 2^(n+1) + n*2^n - 2 == 2^(n+1) - (n+2).Note que nós calculamos 1*2^1 + ... +
n*2^n, mas queremos 1*2^1 + 2*2^2 +... + (n-1)*2^(n-1), logo temos que trocar o n por n-1.Outro problema legal nessa mesma linha é o problema 4 da OBM 2002, nível 3.[]s,-- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira=Innstruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] somatório
Alguém manja de alguma fórmula pra calcular direto o somatório de n * 2^0 + (n - 1) * 2^1 + (n - 2)*2^2 + ... + 1*2^(n-1) ? Isso nada mais é do que somatório de i variando de 0 até (n-1) de (n - i)*(2^i). Por exemplo para n = 4 temos 4*1 + 3*2 + 2*4 + 1*8. Qualquer dica, enfim, tá valendo... []'s GustavoYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Ciencia da Computacao
Isso é C++? "listac" no yahoo groups gustavoMarcos Eike <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Funcoes do Windows... da APIe por que eu esqueci de colocar uma viirgula...Eu tenho duvida em como funcionam as funcoes GetModuleHandle eGetCommandLine.Responda no meu Email.. Porfavor! Senao o Nicolau briga comigoAAts,Eike- Original Message - From: "Chicao Valadares" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sentt: Saturday, May 01, 2004 11:27 AMSubject: Re: [obm-l] Ciencia da Computacao> bem, viajei, nao entendi o que voce quer...se for para> usar outlook, eu faço computaçao mas nao uso o outlook> para ver meus e-emails ,pois muitos virus e worms> exploram suas falhas para se propagar, alias os> programas da microsoft sao cheios de falhas de> segurança(novidade) e as vezes o patch demora> muito para ser desenvolvido. --- Marcos Eike <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: >> Quem faz CP pode responder algumas perguntas sobre> > funcoes do Wndows no> > e-mail.> >> > Uma vez que a lista e destinada para resolucao de> > problemas de matematica> >> > Ats,> > Eike> >> >> => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e> > usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> >> =>> => "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.> O que há é pouca gente para dar por isso... "> Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos>> _> As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s)> são> para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja> destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.> Favor> apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será> tratado> conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua> colaboração.>>> The information mentioned in this message and in the archives attached> are> of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not> the> addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.> Please> delete this information and notify the sender. Inappropriate use will> be> tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your> cooperation.>> __>> Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!> http://br.download.yahoo.com/messenger/> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Ciencia da Computacao
Isso é C++? "listac" no yahoo groups gustavoMarcos Eike <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Funcoes do Windows... da APIe por que eu esqueci de colocar uma viirgula...Eu tenho duvida em como funcionam as funcoes GetModuleHandle eGetCommandLine.Responda no meu Email.. Porfavor! Senao o Nicolau briga comigoAAts,Eike- Original Message - From: "Chicao Valadares" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sentt: Saturday, May 01, 2004 11:27 AMSubject: Re: [obm-l] Ciencia da Computacao> bem, viajei, nao entendi o que voce quer...se for para> usar outlook, eu faço computaçao mas nao uso o outlook> para ver meus e-emails ,pois muitos virus e worms> exploram suas falhas para se propagar, alias os> programas da microsoft sao cheios de falhas de> segurança(novidade) e as vezes o patch demora> muito para ser desenvolvido. --- Marcos Eike <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: >> Quem faz CP pode responder algumas perguntas sobre> > funcoes do Wndows no> > e-mail.> >> > Uma vez que a lista e destinada para resolucao de> > problemas de matematica> >> > Ats,> > Eike> >> >> => > Instruções para entrar na lista, sair da lista e> > usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> >> =>> => "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.> O que há é pouca gente para dar por isso... "> Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos>> _> As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s)> são> para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja> destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.> Favor> apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será> tratado> conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua> colaboração.>>> The information mentioned in this message and in the archives attached> are> of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not> the> addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.> Please> delete this information and notify the sender. Inappropriate use will> be> tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your> cooperation.>> __>> Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!> http://br.download.yahoo.com/messenger/> => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Ciencia da Computacao
Eu faço. Mas.. "funcoes de windows no e-mail" acho que não tem nada a ver com ciencia da computação. hehehe Tente procurar no yahoo grupos. lá tem grupos de discussão bem específicos. GustavoMarcos Eike <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Quem faz CP pode responder algumas perguntas sobre funcoes do Wndows noe-mail.Uma vez que a lista e destinada para resolucao de problemas de matematicaAts,Eike=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] DUVIDA - Primo
Isso mesmo Thiago esse deve ser o caminho da demonstração. Essa deve ser mais uma das provas que existem infinitos primos. So não entendi que vc fez. n!+2 e n!+n = existem n compostos Tá, beleza. Mas entre 6!+2 e 6!+6 = tem 5 numeros compostos O que entra em contradição com a sua generalização. Deveria ter 6 pela generalização mas na prática são 5 então deve ser n - 1 numeros compostos na fórmula. Mas e a formalização da prova? hehehe alguem? alguem? GustavoThiago Ferraiol <[EMAIL PROTECTED]> wrote: "Note que isto equivale a provar que o conjunto das diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente grandes, i.e. para todo N natural, existem Nnaturais compostos consecutivos."Isso Rick... acho que é isso mesmo... É certo que eu consigo formarintervalos de numeros composto tão grandes quanto se queira...EX: entre 6!+2 e 6!+6 existes 5 numeros compostos, pois os numeros serãodivisiveis por 2,3,4,5e6 respectivamente... analogamente, entre n!+2 e n!+nexistem n compostos ... obs: isso não quer dizer que 6!+1 e 6!+7 sãoprimos... só quer dizer que todos os numeros entre 6!+1 e 6!+7 sãocompostos...Acho que o problema pede para demonstrar que existem infinitos primos com"distâncias" tão grandes quanto se queira (como no exemplo acima) ... ouseja, o conjunto formado pela diferença de dois primos consecutivos éinfinito... Ou seja, como existem infinitos primos e podemos obterintervalos de numeros ompostos tão grandes quanto se queira entre doisprimos, então o conjunto formado pela diferença entre dois primos éinfinito!Agora basta formalizar... isso é só uma idéia!- Original Message -From: "rickufrj" <[EMAIL PROTECTED]>To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Sunday, April 25, 2004 2:54 AMSubject: Re: [obm-l] DUVIDA - Primo> Seja p(n) o n-ésimo número primo ( p(1) = 2, p(2) => 3, p(3) = 5 ...).Demonstrar que o conjunto formado> pelas diferenças p(n + 1) - p(n)possui um numero> infinito de elementos.> [...]>> Note que isto equivale a provar que o conjunto das> diferenças p(n+1)-p(n)contém números arbitrariamente> grandes, i.e. para todo N natural, existem N naturais> compostos consecutivos.> []s,>> --> Fábio "ctg \pi" Dias Moreira>>> > Uma ideia que resolve este problema , é a mesma que> resolve aquele velho probleminha :> Qual conjunto é maior , dos números Inteiros ou dos> Naturais?> Abraço> Luiz H. Barbosa> ===> ==> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e> usar a lista em> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> >> ===> ==> >>> __> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.> AntiPop-up UOL - É grátis!> http://antipopup.uol.com.br/ => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> =>=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] dúvida
Só para reforçar ...
fatorando 120 temos
2^3 x 3 x 5
o expoente de 2 toma valores entre {0, 1, 2, 3}
o expoente de 3 em {0, 1}
o expoente de 5 em {0, 1}
As maneiras de escolhermos produtos dessas potências que dividem 120 são: 4 x 2 x 2
Lembre-se que b | a se existe um inteiro x tal que a = bx
Gustavo[EMAIL PROTECTED] wrote:
Primeiro fatore o numero: 120 = (2^3)*3*5 Os primos da fatoracao sao: 2, 3 e 5 e seus expoentes sao 3, 1 e 1 respectivamente, certo ? Agora eh so multiplicar os 3 sucessores desses expoentes, ou seja, 3+1=4, 1+1=2 e 1+1=2. Logo: n(divisores) = 4*2*2 = 16 Obs: Este algoritmo da o numero de divisores em N, mas se quiser saber em Z basta multiplicar por 2. Em uma mensagem de 24/4/2004 18:06:29 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Como faço para saber como se calcula o número de divisores de um número N. ex:120 e 200 ? Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_combinatória_LXV
"gvduarte", infelizmente essas questões estão em um livro ("Introdução à Análise Combinatória - Editora Unicamp). No caso, se interessar mesmo, o livro está a venda na editora e pode ser comprado on-line à 42 reais (acho).
Gustavo BaggioGustavo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Oi Gustavo, sou um curioso em Análise Combinatória ,e gostaria de ter acesso a essas 92 questões que vc sita no texto!! Principalmente pq gostei das q vc mandou ? Aguardo resposta!! Obrigado
- Original Message -
From: Gustavo Baggio
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, April 23, 2004 12:57 AM
Subject: [obm-l] combinatória LXV
Valeu Felipe, valeu Augusto...
Tem mais exercícios que to me encrecando, ainda mais que eu invoquei de fazer todos que tem aqui (92), se alguém pudesse me ajudar (again, again, again )
>> Dentre todos os números de 7 dígitos, quantos possuem exatamente 3 dígitos 9 e os 4 dígitos restantes todos diferentes?
1 No sistema decimal, quantos números de 6 dígitos distintos possuem 3 dígitos pares e 3 dígitos ímpares?
2 Dentre as permutaçães dos 10 dígitos (0, 1, 2, ... , 9) quantas são aquelas em que o primeiro digito é maior do que 1 e o último digitos é menor do que 7?
3 Um bote tem 8 lugares, 4 frente e 4 atras. De quantas maneiras podemos escolher um tripulação para o bote se dos 31 candidatos, 10 preferem frente, 12 preferem atras e 9 não tem preferência.
4 De quantas maneiras podemos permutar as letras da palavra PÔSTER de tal forma que haja 2 consoantes entre as 2 vogais?
Respostas.
4. 3 x 48
1.64.800
2. 2.056.320
Gustavo
===
Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] errata combinatória
esqueçam o 4to... que passeiYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] combinatória LXV
Valeu Felipe, valeu Augusto... Tem mais exercícios que to me encrecando, ainda mais que eu invoquei de fazer todos que tem aqui (92), se alguém pudesse me ajudar (again, again, again ) >> Dentre todos os números de 7 dígitos, quantos possuem exatamente 3 dígitos 9 e os 4 dígitos restantes todos diferentes? 1 No sistema decimal, quantos números de 6 dígitos distintos possuem 3 dígitos pares e 3 dígitos ímpares? 2 Dentre as permutaçães dos 10 dígitos (0, 1, 2, ... , 9) quantas são aquelas em que o primeiro digito é maior do que 1 e o último digitos é menor do que 7? 3 Um bote tem 8 lugares, 4 frente e 4 atras. De quantas maneiras podemos escolher um tripulação para o bote se dos 31 candidatos, 10 preferem frente, 12 preferem atras e 9 não tem preferência. 4 De quantas maneiras podemos permutar as letras da palavra PÔSTER de tal forma que haja 2 consoantes entre as 2 vogais? Respostas. 4. 3 x 48 1.64.800 2. 2.056.320 Gustavo ===Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] combinatoria ......
>> Há 15 cadeiras em uma fila. De quantos modos 5 casais podem se sentar nas cadeiras se nenhum marido senta separado de sua mulher. >> De um baralho comum (52 cartas) retiram-se sucessivamente e sem reposição 3 cartas. Quantas são as extrações nas quais a primeira carta é de ouros; e segunda é um rei e a terceira é um valete? Gustavo..._Gustavo Baggio [EMAIL PROTECTED] iCQ UIN 63522252"Why use WINDOWS if you can use doors?" - Be free, use LINUX!Powered by Debian LinuxYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] COMBINATÓRIA
Alguem poderia me dar uma força nesse negócio de comissoes com pelo menos X. Tipo: Em uma congresso há 15 professores de fisica e 15 de matemática. Quantas comissoes de 8 professores podem ser formadas: >> havendo pelo menos 4 professores de matemática e pelo menos 2 professores de física. gustavoYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] divisibilidade
Alguem manja provar isso por indução: x + y divide x^(2n - 1) + y^(2n - 1) vlw's []'s GustavoYahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora!
[obm-l] INduções ....
ai ai essas coisas me tiram o sono!! Como eu faço pra provar essas coisas. ou pelo menos alguns deles? Indução eh muito divertido em fórmulas e ta, mas quando chega nesses problemas eh que a cabeça racha. qualquer coisa ajuda. 1. Prove por indução em n que (x^n - y^n) eh divisivel por x - y ( x diferente de y) 2. Mostre que se um polígono de n lados, n >= 4, for triangulado então pelo menos dois triangulos são exteriores. triangulo exterior eh o triangulo que 2 de seus 3 lados são lados do polígono. 3. Mostre que n retas distintas no plano com um ponto em comum dividem o plano em 2n regiões. 4. MOstre que n planos distintos no espaço com um ponto em comum e tal que quaisquer três deles não têm uma reta em comum dividem o espaço em n(n - 1) + 2 regiões. 5. Use o Principio da INdução para mostrar que todo subconjunto não-vazio A C N possui um menor elemento (dizemos que a E A eh o menor elementos de A se a <= x para todo x E A.) [EMAIL PROTECTED] Gustavo __ Yahoo! Messenger - Fale com seus amigos online. Instale agora! http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
