[obm-l] Combinatória
Olá, colegas. Peço ajuda no seguinte problema, já achei algumas respostas; mas não estou certo de nenhuma delas: A última corrida do campeonato de Fórmula 1 será disputada por 6 pilotos, que receberão pontos distintos dependendo de sua posição de chegada. Para Felipe ser campeão do campeonato é necessário que ele fique a frente de Fernando e que este fique a frente de Lewis. Em quantas das classificações possíveis o Felipe pode se tornar campeão nesta prova? []s João
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Olá, amigos! Vi esse problema há algumas semanas e ele me tirou do sério, pq me parecia mais simples do que de fato é. Não sei se o amigo que propôs o problema conseguiu resolver pq não se manifestou mais... Então aqui vai uma solução (SPOILER ALERT!!!): a=512=2^9 b=675=3^3*5^2 c=720=2^4*3^2*5 Agora, note que 2c^2=3ab (2*2^8*3^4*5^2=3*2^9*3^3*5^2). Usando isso, vou seguir a dica do Victor e vou tentar encontrar a expressão x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(z^2+y^2+z^2-xy-xz-yz) Assim, voltando para os as, bs e cs: N = a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 - c^3 + 2c^3 = a^3 + b^3 - c^3 +2c^2*c = a^3 + b^3 - c^3 + 3abc Agora, sendo x = -c (para ajustar o polinômio): N = a^3 + b^3 + x^3 3abx = (a+b+x)(a^2+b^2+x^2-ab-bx-ax) = 467 * 1745209 467 é primo, então Alternativa E: 4+6+7 = 17. Abraços! João Gabriel Preturlan De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Victor Hugo Rodrigues Enviada em: domingo, 13 de março de 2011 01:01 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números Fatore a^3+b^3+c^3-3abc. Em 12 de março de 2011 15:55, abelardo matias abelardo_92...@hotmail.com escreveu: Não consegui, fico ainda com duas parcelas e não sei mais como continuar! Uma outra dica.. _ Date: Wed, 9 Mar 2011 20:03:58 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números From: victorhcr.victorh...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br CC: mat.mo...@gmail.com Essa é muito boa, hehehe... tenta chamar uns fatores dos números de a e de b pra enxergar melhor a questão e vê se ele aparece nos outros. Em 9 de março de 2011 08:34, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com escreveu: Seja p o maior fator primo do número N = 512^3 + 675^3 + 720^3. A soma dos algarismos de p é igual a: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Agradeço desde já a atenção dada. Marcelo. _ No virus found in this message. Checked by AVG - www.avg.com Version: 10.0.1204 / Virus Database: 1498/3504 - Release Date: 03/13/11
[obm-l] números irracionais
Olá, colegas...
Gostaria de ajuda com o item b) seguinte problema da FUVEST do ano de
1981... Mesmo não precisando de ajuda para o item a) vou colocar o problema
todo...
a)Calcule o valor de x = (sqrt{2}^sqrt{2})^sqrt{2}
(Evidentemente, x = 2).
b)Mostre que existem dois números irracionais a e b tais que a^b é
irracional.
Muito Grato pela ajuda!
[]s
João Gabriel Preturlan
(19) 9294 - 2467
A Palavra de Deus até os Confins da Terra!
Acesse: www.assembleia.org.br
RES: [obm-l] Geometria Plana CN
Caro Colega, Primeiramente agradeço pela solução. Mas caí num dilema... como provar que o ponto X é simétrico ao Ortocentro em relação ao ponto médio? Conheço um fato de simetria somente: o ponto que está na circunferência circunscrita e está determinado pela reta suporte da altura é simétrico ao ortocentro em relação ao ponto que a altura corta o lado do triângulo (não sei se fui claro). Inclusive, isso é fácil de demonstrar. Agora, não consegui provar a proposição que você fez... Você ou alguém conhece a demonstração desse caso? Se alguém puder me ajudar agradeço imensamente. []s João Gabriel Preturlan De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Nhampari Midori Enviada em: quinta-feira, 4 de junho de 2009 10:24 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] Geometria Plana CN Olá João Gabriel É bem conhecido que os pontos simétricos do ortocentro em relação aos lados de um triângulo estão sobre a circunferência circunscrita. Usando esse fato fica fácil de se ver que X é o simétrico de H com relação a M. Seja P o pé da altura relativa ao vértice B com relação ao lado AC. Examinando o triângulo YHX notamos que PM é a base média com relação ao lado XY. Assim XY mede o dobro de PM. Agora PM é a metade do lado BC ( basta olhar para o triângulo retângulo BPC). Conclusão XY=BC=27. Veja se está claro. Um abraço. Nhampari. _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Joâo Gabriel Preturlan Enviada em: quarta-feira, 3 de junho de 2009 23:25 Para: OBM-L Assunto: [obm-l] Geometria Plana CN Gostaria de ajuda na seguinte questão: Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY. a)28 b)27 c)26 d)25 e)24 []s João Gabriel Preturlan Nenhum vírus encontrado nessa mensagem recebida. Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.br Versão: 8.5.339 / Banco de dados de vírus: 270.12.53/2155 - Data de Lançamento: 06/04/09 17:55:00
[obm-l] Geometria Plana CN
Gostaria de ajuda na seguinte questão: Sejam o triângulo ABC de lados AB= 25, AC=26, BC=27cm, H o ortocentro de ABC e M o ponto médio do lado BC. Seja X o ponto em que a reta HM intersecta o arco BC(que não contém A) da circunferência circunscrita a ABC. Seja Y o ponto de interseção da reta BH com a circunferência, distinto de B. Determine a medida de XY. a)28 b)27 c)26 d)25 e)24 []s João Gabriel Preturlan
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [o bm-l] Fatoração Básica
Olá! Acho que o que o colega HugLeo queria saber são QUAIS truques algébricos de fatoração usar... Dentre esses citados, posso sugerir dois um pouco mais simples: 1)a^2-b^2 (some e subtraia ab da expressão) a^2 + ab – ab – b^2=a(a+b)-b(a+b) = (a-b)(a+b) 2)a^3 – b^3 (some e subtraia (a^2)b e a(b^2)) a^3 - (a^2)b + a(b^2) – b^3 + (a^2)b - a(b^2) Agora fatore de “dois a dois” e observe que você obterá: a^2(a-b)+b^2(a-b)+ab(a-b) Colocando (a-b) em evidência (a-b)(a^2+ab+b^2) Para achar a forma fatorada de a^3+b^3, basta usar a mesma ferramenta de 2), só que trocando um pouco a ordem dos termos... Bom, acho que é isso que você desejava... []’s João Gabriel Preturlan De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Denisson Enviada em: domingo, 3 de maio de 2009 12:15 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Fatoração Básica Bem, vc pode considerar que a^2 - b^2 é um polinômio do segundo grau em que a é a variável e -b^2 é constante dada e fatorá-lo. Para fatorá-lo você pode aplicar a fórmula de resoluç]ão da equação do segundo grau e obter b ou -b como raizes, logo fatoramos a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) No caso de a^3 - b^3 use o mesmo artifício, observe que obviamente a=b é uma solução da equação. Logo a^3 - b^3 é divisivel por (a-b) efetuando essa divisão obtemos a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) Isso vale pra a^3 + b^3 e a^2 + b^2. Na verdade dá pra fazer isso pra qualquer caso, mas a resolução vai se tornando mais dificil. Mas é como o colega falou, à medida que a matemática vai virando uma ferramenta constante na sua vida essas relações viram naturais :P 2009/5/2 Jayro Bedoff barz...@dglnet.com.br Caro Hugleo é claro que podemos deduzir essas fórmulas com pequenos truques de álgebra básica ( aliás é um bom exercício ), todavia essas expressões são utilizadas tantas vezes na matemática ( elementar ou não ) que sabe-las de cor é uma necessidade! No caso 1 experimente somar e subtrair ab da diferença de quadrados. Um abraço. Jayro Bedoff _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de HugLeo Enviada em: sábado, 2 de maio de 2009 01:32 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Fatoração Básica Algumas vezes temos necessidade de fatorar uma expressão para resolver um problema maior. Seja por exemplo as seguintes: 1) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) 2) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) Usando a propriedade distributiva você pode facilmente expandir a expressão do lado direito e chegar à do lado esquerdo. Mas quando necessitamos sair da experessão do lado esquerdo para chegar na expressão fatorado do lado direito fica mais complicado. Essas são fórmulas básicas da diferença de quadrados e diferença de cubos respectivamente. Elas podem ajudar a simplificar outras expressões. Entretando, devido elas não serem usadas sempre em determinados problemas acabamos por esquecê-las. Então, como deduzi-las na hora sem a necessidade de decorá-las? -- -hUgLeO-? -- Denisson Nenhum vírus encontrado nessa mensagem recebida. Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.br Versão: 8.5.325 / Banco de dados de vírus: 270.12.15/2093 - Data de Lançamento: 05/02/09 14:23:00
