Recentemente eu estava
folheando a revista Eureka! nº 14 quando encontrei, na página 58, uma
curiosidade que transcrevo logo abaixo:
"Considere um bilhão de
números distintos escritos cada um em um de um bilhão de papeizinhos (haja
papel!) em um chapéu. Você deve retirar um papel de cada vez. Você deve
dizer que você encontrou o maior de todos os números, logo após retirá-lo.
Não vale dizer que um outro número que você já tinha retirado antes é o
maior! A probabilidade de você acertar sua
afirmativa parece muito pequena, não? Você sabia que você pode adotar uma
estratégia de modo que a probabilidade de acertar seja maior que 1/3? Você
deve descartar os primeiros s números, onde s é aproximadamente n/e (e=
2,71828... é a constante de Euler), e em seguida, escolher o próximo número que
for maior que todos os anteriores. Você tem probabilidade muito próxima de
1/e de acertar!"
Devo confessar que sinto
uma grande dificuldade em resolver problemas de probabilidade mas fiquei tentado
a dar umaresposta para este problema. Peço desculpas se minha solução
estiver incorreta ou se este problema já foi discutido nesta lista. A
solução é para um caso particular.
SOLUÇÃO: Sejam n= 10, s= maior inteiro
menor ou igual a n/e, I_{n}= {1, 2,..., n}, binomial(p, q)= p!/(q!*(p- q)!).
Em primeiro lugar, se entendi
corretamente o enunciado, estamos supondo que dentre os s (aproximadamente n/e)
elementos descartados não se encontra o número n pois pelo problema devemos
"escolher o próximo número que for maior que todos os anteriores."
Considere os eventosA:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que
não contêm n;B:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que contêm
n-1.Para que a estratégia acima de um resultado positivo é necessário que
entre os s elementos descartados esteja o elemento n-1.A probabilidade de
obtermos o número n é então dada por P(B/A)= binomial(n- 2, s- 1)/binomial(n- 1,
s)= s/(n- 1).Note que s= 367879441 e assim s/(n- 1) é aproximadamente igual
a 0.367879441 que por sua vez é aproximadamente igual a 1/e.
O que não entendi é o porque da
escolha do número e. Parece que ele foi escolhido arbitrariamente. Podem me
dizer se a solução é correta. Agradeço antecipadamente qualquer
ajuda.
Wellington
