[obm-l] Soma
Caros: Segua a soma proposta. S=2sen2 + 4sen4 + 6sen6 + ... + 178sen178 (arcos em graus) Sds, Rogério _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] USAMO - Soma trigonom�trica.
Caros, Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica? (USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1). Rogério _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonom�trica.
Boa Shine! Sds, Rogério From: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. Date: Wed, 28 Feb 2007 16:44:13 -0800 (PST) Ah, esse é um grande clássico! Estamos somando termos da forma 1/(cos k.cos(k+1)), com medidas em graus. Antes de continuar, vale a pena mostrar um exemplo de soma telescópica parecida, mas mais simples, que é a soma 1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(88.89) de termos do tipo 1/(k.(k+1)). A idéia é escrever essa fração como soma de frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que 1/(k.(k+1)) = A/k + B/(k+1) Abrindo tudo e fazendo identidade de polinômios, encontramos A = 1 e B = -1, de modo que a soma é igual a (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/88 - 1/89) = 1 - 1/89 = 88/89 Tendo essa idéia em vista, vamos encontrar uma função f(n) de Z em R tal que 1/(cos k.cos(k+1)) = f(k)/cos k - f(k+1)/cos(k+1) Tirando o mínimo e eliminando denominadores, encontramos 1 = f(k)cos(k+1) - f(k+1)cos k Parece alguma fórmula familiar? Compare com sen(a - b) = sen a cos b - sen b cos a (forçando um pouco mais a barra: faça a = k+1 e b = k) Então parece valer a pena tomar f(n) = C.sen n. Fazendo umas contas não é difícil ver que C = -1/sen 1. Assim 1/(cos k.cos(k+1)) = 1/sen1(sen k/cos k - sen(k+1)/cos(k+1)) e a soma pedida é 1/(cos0.cos1) + 1/(cos1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = -1/sen1((sen0/cos0 - sen1/cos1) + (sen1/cos1 - sen2/cos2) + ... + (sen88/cos88 - sen89/cos89)) = -1/sen1(sen0/cos0 - sen89/cos89) = -1/sen1(0 - cos1/sen1) = cos1/sen^2(1). []'s Shine - Original Message From: Rogério Possi Júnior [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, February 28, 2007 8:11:51 PM Subject: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. Caros, Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica? (USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1). Rogério _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Sucker-punch spam with award-winning protection. Try the free Yahoo! Mail Beta. http://advision.webevents.yahoo.com/mailbeta/features_spam.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] trigonometria
Caro Vanderlei, Essa á da IMO-61 ... e a solução pode ser encontrada no livro do Samuel Greitzer ou no endereço http://www.mathlinks.ro/Forum/resources.php?c=1cid=16 , cuja solução postada é: Since cos2x + sin2x = 1, we cannot have solutions with n not 2 and 0 |cos x|, |sin x| 1. Nor can we have solutions with n=2, because the sign is wrong. So the only solutions have sin x = 0 or cos x = 0, and these are: x = multiple of #960;, and n even; x even multiple of #960; and n odd; x = even multiple of #960; + 3#960;/2 and n odd. Sds, Rogério From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] trigonometria Date: Fri, 09 Feb 2007 07:38:20 -0200 Olá amigos da lista. Alguém poderia por favor auxiliar-me com a resolução da equação cos^n(x) sen^n(x) = 1, onde n é um número natural? Muito obrigado! Vanderlei _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] soma de senos
Caro Vanderlei, Seja z=cosx +i.senx = z^2 = cos(2x) + i.sen(2x) = z^3 = cos(3x) + i.sen(3x) = z^n = cos(nx) + i.sen(nx) Somando tudo, tem-se que: z^2 + z^3 + ... + z^n = z.(z^n -1)/(z-1) =[ cos x + cos(2x) + ... + cos(nx) ] + i.[ senx + sen(2x) + ... + sen(nx)] = S1 +i.S2 Queremos a soma de senos , logo nos interessa a parte imaginária da soma acima. Como z.(z^n -1)/(z-1) = [z. z^(n/2) . ( z^(n/2) - z^(-n/2) ) ]/ [z^(1/2) . ( z^(1/2) - z^(-1/2) ) ] = = z^( (n+1)/2 ) . sen (nx/2) / sen (x/2) = cos (n+1)x/2 + i.sen (n+1)x/2 Logo: S2 =[ sen (n+1)x/2 . sen (nx/2) ] / sen (x/2) Sds, Rogério From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] soma de senos Date: Tue, 06 Feb 2007 11:14:01 -0200 Oi pessoal, alguém poderia me auxiliar na seguinte soma: S = sen(x) + sen(2x) + sen(3x) +...+ sen(nx) utilizando para isso a identidade (cosx +i.senx)^n = cos(nx) + i.sen(nx) ? Obrigado, Vanderlei _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Fun�
Calcule f(n) sabendo-se que: i) f(0)=0 ii) f(n+1)=2f(n)+3 _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] IME-65/66
Caro Arkon, Para o caso finito, ou seja: S= 1/1.3.5 + 1/3.5.7 + ... + 1/ (2n-1)(2n+1)(2n+3) tem-se: 1/1.3.5 = 1/4.(1/1.3 - 1/3.5) 1/3.5.7 = 1/4.(1/3.5 - 1/5.7) . . . . . . . . . 1/(2n-1).(2n+1).(2n+3) = 1/4.(1/(2n-1).(2n+1) - 1/(2n+1).(2n+3) Somando-se todas as linhas teremos: S = 1/4.[ 1/1.3 - 1/(2n+1).(2n+3) ] Se n-inf então teremos que S-1/3.4 = 1/12 Os demais concordam? Sds, Rogério From: arkon [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] IME-65/66 Date: Sat, 20 Jan 2007 11:59:10 -0200 POR FAVOR, QUAL O MACETE PARA RESOLVER ESTA QUESTÃO? (IME-65/66) CALCULE A SOMA DA SÉRIE: 1/1.3.5 + 1/3.5.7 + 1/5.7.9 + ... DESDE JÁ AGRADEÇO A TODOS QUE ESTÃO ME AJUDANDO. ABRAÇOS. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] progressoes
Note que
S= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
... + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
... + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
... + 1/8 + 1/16 + ...
... + 1/16 + ...
Note que cada linha representa a soma de uma PG, certo?
== S = 1 / (1-1/2) + 1/2 / (1-1/2) + 1/4 / (1 -1/2) + 1/8 / (1-1/2) + ...
== S = 1 / (1-1/2) { 1 + 1/2 + 1/4 + ... }
== S = 1/ (1-1/2) . 1/(1-1/2) = 4
Rogério
From: Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] progressoes
Date: Tue, 13 Sep 2005 11:44:56 -0300
bom dia, gostaria da ajuda de voces para resolver esse problema:
S = 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 +...
valeu
_
Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
http://www.msn.com.br/discador
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RE: [obm-l] Medalha de Ouro para a Matem�tica Brasileira
Parabéns a toda equipe que nos representou ... em especial ao nosso medalista de ouro. Rogério From: Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Medalha de Ouro para a Matemática Brasileira Date: Tue, 19 Jul 2005 12:29:14 -0300 MEDALHA DE OURO PARA A MATEMÁTICA BRASILEIRA Estudante Brasileiro conquista a única medalha de Ouro da América Latina na 46th. International Mathematical Olympiad Mérida, Yucatán - México, 8 a 19 de julho de 2005 O estudante de 17 anos GABRIEL TAVARES BUJOKAS, de São Paulo SP, conquista medalha de Ouro, a única da América Latina, na 46th. International Mathematical Olympiad realizada entre os dias 8 e 19 de julho na cidade de Mérida, Yucatán - México. Considerada pela Unesco como a competição mais importante da área, a IMO contou este ano com a participação de 91 países reunindo 532 jovens, entre 14 e 19 anos, mais talentosos do mundo no assunto. O Brasil, foi representado por uma equipe de seis estudantes liderados pelos professores Edmilson L. Rodrigues Motta de São Paulo - SP e Onofre Campos da Silva Farias de Fortaleza - CE. O Brasil também conquistou uma medalha de bronze, e duas menções honrosas. O Brasil participa desta importante competição desde 1979 conquistando desde então um total de 64 medalhas, sendo 7 de ouro, 11 de prata e 46 de bronze. As provas foram realizadas em dois dias consecutivos abrangendo disciplinas como Álgebra, Teoria dos números, Geometria e Combinatória. Em cada dia, os participantes resolveram três problemas em 4 horas e meia de prova. GABRIEL TAVARES BUJOKAS obteve medalha de Ouro conquistando 37 pontos de um máximo de 42. A participação brasileira na competição é organizada através da Olimpíada Brasileira de Matemática, iniciativa que tem desempenhado um importante papel relacionado à melhoria do ensino e descoberta de talentos para a pesquisa em matemática nas modalidades de ensino fundamental e médio nas escolas públicas e privadas de todo o Brasil. A Olimpíada Brasileira de Matemática é um projeto conjunto da Sociedade Brasileira de Matemática, do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e conta com o apoio do CNPq, do Instituto do Milênio Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira, Academia Brasileira de Ciências e da Faperj. Informações: site oficial da competição: www.imo2005.org Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IME ajuda
Caro Sérgio, Parabéns pelo ótimo trabalho realizado. Creio que será bastante útil a todos aqueles que se preparam ou se prepararão para o ITA/IME/EN. Parabéns Rogério From: Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] IME ajuda Date: Fri, 15 Jul 2005 12:22:28 -0300 (BRT) Caros colegas da lista, Motivado pela resposta positiva que costumo ter acerca do material do IME, eu preparei uma nova versao (versao 6) do mesmo que acabo de disponibilizar no site www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime Nesta nova versao: i) foi incluida a prova de algebra de 1979/1980, agora sim podemos afirmar que a decada de 80 esta' completa, com agradecimento a um colega Alessandro J. S. Dutra. ii) num esforco grande, eu inclui solucoes (mais apropriado que gabarito) das provas de ALGEBRA de 1979/1980 a 1990/1991, num total de 12 novas provas com solucoes. iii) reformulei, uniformizei e atualizei a notacao matematica. COm isto, surgiu uma certa incompatibilidade com a notacao das figuras, a ser corrigido (ou nao) em versao futura. iv) Alterei o latex da minha maquina e perdi a separacao das silabas em portugues. Peco desculpas, mas para nao atrasar a divulgacao, corrigirei isto numa versao futura. v) Na preparacao das solucoes, tive dificuldades com algumas questoes. Duas da dificil prova de 1980/1981 (o ano do Nicolau) como o Claudio Buffara colocou anteriormente: as questoes de numeros 8 e 9. A de numero 8 (ponto de Hurwitz), coloquei uma solucao magica dada pelos professores do Colegio Impacto. A de numero 9 (propriedade de numeros binomiais), coloquei a solucao algebrica dada pelo Nicolau nesta lista, com a prova do lema indicada pelo Claudio Buffara. Faltou um item (b) da questao 10 de uma prova que eu esqueci. Fui ajudado ainda pelo Caio desta lista numa outra questao que estava com solucao completamente errada anteriormente. Nao sei se ha' algum problema ter colocado estas solucoes sem autorizacao. Procurei dar os devidos creditos. Se houver algum problema, me avisem que eu as retiro. Deve haver, ainda, certamente, diversos equivocos/erros etc. Peco desculpas, mas me isento de toda a responsabilidade de qualquer dano que isto possa provocar ao seu computador etc. Como sempre, as realimentacoes (construtivas) sao sempre bem-vindas. A versao atual tem cerca de 150 paginas. Nao sei se interessa para alguem imprimir tudo isto. A preparacao e' (muito) trabalhosa, mas o material esta' atingindo uma maturidade que eu queria. O proximo desafio e' incluir as solucoes das provas de GEOMETRIA. Acho que vou precisar de uns 2 anos para isto. Mas estou dentro do cronograma inicial. Abraco, sergio On Fri, 15 Jul 2005, mentebrilhante brilhante wrote: alguem tem a versão 5 das provas do IME resolvida pelo sergio __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Igualdade
Galera, Alguém aí consegue demonstrar estas duas igualdades: cos(v).cos(b).cos(a+e) + sen(v).sen(b) = cos(a+e).cos(b-v) -cos(v).sen(b).cos(a+e) + sen(v).cos(b) = cos(a+e).sen(b-v) Obrigado Rogério _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Igualdade
Caro Wilner, Não falta nada, além disso se cos(a+e) estivesse presente a verificação seria imediata. Com relação ao sinal, realmente o segundo termo deve conter (-). O problema que esta passagem consta num livro ... !!!??? Entendeu o problema agora? Abraço Rogério Em ambas as igualdades falta o fator cos(a+e)na segunda parcela do primeiro membro. Alem disso na segunda igualdade ha uma inversao de sinais. [] Wilner --- Rogério Possi Júnior [EMAIL PROTECTED] wrote: Galera, Alguém aí consegue demonstrar estas duas igualdades: cos(v).cos(b).cos(a+e) + sen(v).sen(b) = cos(a+e).cos(b-v) -cos(v).sen(b).cos(a+e) + sen(v).cos(b) = cos(a+e).sen(b-v) Obrigado Rogério _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
