Re: problema de relogio
A questao original (ITA-93) fala que a soma dos ultimos n
termos eh 140. Aih o resultado vai bater com o gabarito...
Obs.: O ITA nao divulga gabarito oficial.
Daniel
fala andré. Olha, ou o gabarito tah errado ou´NÓS estamos errados! É o
seguinte, achei a mesmíssima coisa que vc último termo 200/3. Mas nas opções
a, b, c, d , e. Só possuem as respostas 48, 42, 40, 46, 56. Nenhuma nem por
aproximação chega perto de 200/3. Naum sei se a resporta é essa.
obrigado
abraços
marcelo
From: André Amiune<[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To:<[EMAIL PROTECTED]>
Subject: Re: problema de relogio
Date: Mon, 12 Feb 2001 01:03:27 -0300
Olha o que eu fiz na segunda questão...
* A soma dos 2n primeiros termos é 190, logo:
1) {[a1+ a1+ (2n-1).r].2n}/2 = 190 - a1 + nr = 95/n + r/2
(termo de ordem n+1)
* usando a soma dos termos de n+1 a 2n:
2) {[95/n + r/2 + 95/n + r/2 + (n-1).r].n}/2 = 140 - n^2 .
r = 90
* Como r é um inteiro entre 2 e 13, a única maneira de
escrevermos 90 como o produto de um quadrado perfeito por r seria 90 = 9.10.
Logo n = 3 e r = 10.
* De 1) vem então que a1 = 20/3 e queremos o último termo, de
ordem 2n+1, igual a (a1 + 2.n.r). Portanto, o último termo da progressão é
20/3 + 60 = 200/3
Resposta: O termo de ordem 2n + 1 é 200/3.
A primeira questão é mais simples, pense na velocidade angular
dois ponteiros que sai facilmente!
Abraços, André
- Original Message -
From: Marcelo Souza
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, February 11, 2001 5:57 PM
Subject: problema de relogio
Oi pessoal!
Considerando o intervalo de tempo de 24 horas, quantas vezes
os ponteiros do relógio formam entre si um angulo de 90 graus?
Alguém poderia me explicar?
Aproveitando o embalo alguém poderia resolver pra mim tb esse
problema:
- Numa progressão aritmética com 2n + 1 termos, a soma dos n
primeiros é 50 e a soma dos n seguintes é 140. Sabendo que a razão desta
progressão é um inteiro entre 2 e 13, calcule o termo 2n+1.
abraços
Marcelo
--
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Re: questão
Seja o Polinômio P(x) = x^5 - 1 As 5 raízes de P(x) são as 5 raízes quintas da unidade (ou as 5 raízes de ordem 5 da unidade), que são 1, z, z^2, z^3, z^4, onde z é o número complexo z = cos (2.pi/5) + i.sen (2.pi/5) Como todo polinômio, P(x) pode ser desenvolvido em função de suas raízes: P(x) = (x - 1)(x - z)(x - z^2)(x - z^3)(x - z^4). Calculemos agora Q(x), que é o polinômio que satisfaz P(x) = (x - 1)Q(x) Como x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), temos que Q(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x - z)(x - z^2)(x - z^3)(x - z^4). Vale ressaltar que até aqui na questão z é o número complexo z = cos (2.pi/5) + i.sen (2.pi/5), e no enuncaido w é qualquer uma das 4 raízes complexas de P(x) (z, z^2, z^3, z^4), entretanto como z^5 = 1, a seqüência z, z^2, z^3, z^4 é igual (a menos da ordem) a seqüência w, w^2, w^3, w^4. Por exemplo, faça w = z^3. Teremos então: w = z^3, w^2 = z^6 = z, w^3 = z^9 = z^4, w^4 = z^12 = z^2. Assim, (1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4) = (1 - z)(1 - z^2)(1 - z^3)(1 - z^4) = Q(1) = 5 Notemos também que é possível fazer uma generalização, que a propósito ja até caiu em um vestibular antigo do IME, que é a seguinte: Se x^n = 1 (x diferente de 1 e n um inteiro positivo), prove que (1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3)...(1 - x^(n - 1)) = n. A idéia de resolução é análoga a acima apresentada. Marcelo Rufino - Original Message - From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, November 17, 2000 1:49 PM Subject: questão Olá pessoal, Alguém poderia me ajudar com a seguinte questão? - temos que w^5 = 1, sendo w diferente de 1, calcule (1 - w)(1 - w^2)(1- w^3)(1 - w^4). valeu abraços marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Re: desigualdade
Note que a expressão pode ser desenvolvida da forma: (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) = (1 + 1/x + 1/y + 1/z) + (1/xy + 1/yz + 1/xz + 1/xyz) = = (1 + x + y + z) + (z + x + y + 1)/xyz = 1 + 1/x + 1/y + 1/z + 2/xyz Pela Desigualdade entre as médias aritmética e geométrica podemos mostrar que: (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z) = 9 = 1/x + 1/y + 1/z = 9 Novamente pela Desigualdade entre as MA e MG: 1 = x + y + z = 3(xyz)^1/3 = 1/(xyz)^1/3 = 3 = 1/xyz = 27 Assim, (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) = 1 + 9 + 2.27 = 64 - Original Message - From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 15, 2000 9:44 PM Subject: desigualdade olá pessoal! Alguém poderia resolver a seguinte desigualdade pra mim (1 + 1/x)(1 + 1/y)(1 + 1/z) = 64 sendo x + y + z = 1, e x, y e z reais positivos. Obrigado abraços Marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Share information about yourself, create your own public profile at http://profiles.msn.com.
Questao de sequencias
Não consigo fazer esta questão de seqüências do banco da IMO de 1996. Será que alguém poderia me ajudar a resolvê-la? Já até consegui alguns resultados intermediários da resolução mas não consigo finalizar a resposta. Desde já agradeço aos que tentarem resolver. Questão: Seja a 2 um número dado, e defini-se recursivamente a(0) = 1, a(1) = a, a(n+1) = ((a(n-1)/a(n))^2 - 2)a(n). Mostre que para todos os inteiros k 0 tem-se 1/a(0) + 1/a(1) + 1/a(2) + ... + 1/a(k) 2 + a - (a^2 - 4)^(1/2) Obs: Evidentemente, a(i) indica: a índice i. Marcelo Rufino
Re: Já que permitiram a física....
Parabens Ian!!! Lah vou eu ser tio de novo... Se quiser parar de viajar, peca uma transf pra Belem ,ehehehe Abracao. Bagual infelizmente não seria assim. Acredito que não seja tão trivial como em questões de vestibular. A primeira parte do raciocínio está correta, e por conservação de energia podemos chegar ao T1. Porém, veja que a energia cinética máxima não está em L, mas sim, em L+x, pois apartir deste ponto a velocidade continua a aumentar, até que P=F. Logo, não podemos fazer isso. Assim, temos também que não podemos utilizar as equações com aceleração constante. E por favor, não chamem nenhuma questão de trivial. Ats, Marcos Eike
Re: Re: E quanto a de física?
Oi pessoal Existe uma ideia para se ter uma lista agrupando as demais Olimpiadas (OBF, OBA, OBQ, OBI e a futura OBB), aa exemplo do que jah ocorre com as internacionais. Mas ainda teremos de esperar um pouco para que todos os coordenadores se alinhem em torno de um esforco unico, que seria o de divulgar todas as Olimpiadas de Ciencias no Brasil. Daniel Lavouras - Bagual On Fri, 16 Oct 1998, Leonardo Motta wrote: Eu tbm gostaria q tivesse uma lista dessa d fisica. Eu sugeri a SBF isso, mas eles ou sao extremamente bossais ou nao sabem usar correio eletronico, pois nao responderam. Se vc achar alguma coisa, por favor, me dê um toque :) Eu não conheço nada do gênero e não tenho nada a ver com a SBF mas gostaria que vocês se sentissem à vontade para falar de física aqui. Se descobrirem uma lista similar, entretanto, anunciem cada lista para a outra, svp. []s, N.
Mais Questões de Teoria dos Números!
Valeu Ralph pelas resoluções, a um certo tempo estava "engatado" nestas questões. Tenho mais algumas questões de Teoria dos Números que ainda não consegui fazer. As que estou mandando agora são do banco de questões da IMO de 1990. Acredito que sejam bastante interessantes. 1) Para um inteiro positivo k, seja f[1](k) a soma dos quadrados dos dígitos de k, e seja f[n + 1](k) = f[1](f[n](k) ). Determine o valor de f[1991](2^1990). Obs: f[i] significa f índice i 2) Prove que todo inteiro k 1 possui um múltiplo positivo que é menor que k^4 e que pode ser escrito em sua representação decimal com no máximo 4 dígitos distintos. 3) Determine todos os números naturais n para os quais todo número natural cuja representação decimal possui n - 1 dígitos 1 e um dígito 7 é primo. Obs: Eu procurei traduzir do inglês esta questão fielmente como estava escrito, note que o enunciado fala em possuir n - 1 dígitos 1, e não "exatamente" n - 1 dígitos 1. Será que dá para considerar que são "pelo menos" n - 1 dígitos 1? 4) Seja f(0) = f(1) = 0 e f(n + 2) = (4^(n+2)).f(n+1) - (16^(n+1)).f(n) + n.2^(n^2), n = 0, 1, 2, 3, ... . Mostre que os números f(1989), f(1990), f(1991) são divisíveis por 13. Esta última parece ser mais de seqüências do que de Teoria dos Números, mas parece que é muito interessante e envolve divisibilidade por 13. Até mais e boa sorte.
