[obm-l] Máximos e Mínimos SEM DERIVADAS
Olá colegas da lista Recebi o seguinte exercício de um aluno: "Sendo x um nº positivo determine o menor valor de E= 5x + 16/x + 21" Normal, um exercício simples. Deriva, iguala a zero ... Mas o que quero propor para a lista é o seguinte: tem como chegar ao resultado SEM UTILIZAR CÁLCULO? Proponho esta discussão por causa do seguinte artigo: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/MaxMin.pdf Aguardo resposta Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Fw: [obm-l] Somatório
Na mensagem anterior não foi a imagem direitinho. Envio novamente (espero que dê certo). _ Olá cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somatório é a soma dos quadrados dos números naturais de 3 até n. Existe uma fórmula para soma dos quadrados de 1 até n. Para ver a demonstração desta fórmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somatório é uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e razão 2. Você aplica a fórmula da soma dos termos de uma P.A. e finaliza o exercício. A resposta é Agora você só deve desenvolver e simplificar tal equação o que puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br - Original Message - From: "cfgauss77" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se > possível.> > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2.> > Desde já agradeço!> > > __> E-mail Premium BOL> Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!> http://email.bol.com.br/> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>> =
[obm-l] Re: [obm-l] Somatório
Olá cfgauss Seguinte, podemos rescrever a soma pedida como sendo: O primeiro somatório é a soma dos quadrados dos números naturais de 3 até n. Existe uma fórmula para soma dos quadrados de 1 até n. Para ver a demonstração desta fórmula, acesse: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/somaquadrado.html E o segundo somatório é uma P.A. com primeiro termo igual a 6 e razão 2. Você aplica a fórmula da soma dos termos de uma P.A. e finaliza o exercício. A resposta é Agora você só deve desenvolver e simplificar tal equação o que puder! Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br - Original Message - From: "cfgauss77" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, February 02, 2003 12:08 PM Subject: [obm-l] Somatório > Gostaria de uma ajudinha com o seguinte somatório, se > possível.> > 1*3 + 2*4 + 3*5 + ... + (n - 2)*n , para n>2.> > Desde já agradeço!> > > __> E-mail Premium BOL> Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!> http://email.bol.com.br/> > > => Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] combinatória
Olá Rafael e Cláudio e Morgado Achei esta questão bem interessante, em suas duas versões (a original e a errata). Vocês encontram a solução para ambas no seguinte link: http://www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/faq2/comb01.html A solução da versão 3x3 pode lhe parecer longa demais, mas é por que eu tentei explicar com bons detalhes e bastante figuras (faço esta página para meus alunos). Mas esta resolução leva uns 2 minutos para ser concluída no lápis e papel. Quanto à resposta da versão 3x3, não vejo erro na solução 3348 do Rafael. Aguardo suas análises. Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 24, 2003 11:29 AM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] combinatória Caro Rafael: Com a tabela 3x3 o problema fica mais difícil. Eu achei 2376, mas posso estar errado. Eis o que eu fiz: 1. No. de maneiras de colocar as 6 letras sem restrição: - Escolha das posições para os A's dentre as 9 possíveis: C(9,2) = 36 - Escolha das posições para os B's dentre as 7 restantes: C(7,2) = 21 - Escolha das posições para os C's dentre as 5 restantes: C(5,2) = 10 TOTAL = 36 * 21 * 10 = 7560 Agora, a idéia é subtrair as configurações com duas letras iguais na mesma coluna. 2. No. de configurações com A's, B's e C's numa mesma coluna: - Escolha da coluna dos A's: 3 - Escolha das posições dos A's na coluna: 3 - Escolha da coluna dos B's: 2 - Escolha das posições dos B's na coluna: 3 - Escolha da coluna dos C's: 1 - Escolha das posições dos C's na coluna: 3 TOTAL = 3 * 3 * 2 * 3 * 1 * 3 = 162 3. No. de configurações com A's e B's numa mesma coluna mas com os C's em colunas distintas: - Escolha da coluna dos A's: 3 - Escolha das posições dos A's na coluna: 3 - Escolha da coluna dos B's: 2 - Escolha das posições dos B's na coluna: 3 - Escolhas das posições dos C's sem restrição, dentre as 5 restantes: C(5,2) = 10 - Número de posições com os dois C's na mesma coluna: 3 ==> No. de posições com os C's em colunas distintas = 10 - 3 = 7 TOTAL: 3 * 3 * 2 * 3 * 7 = 378 3.1. De forma análoga, o no. de configurações com apenas A's e C's numa mesma coluna e com apenas B's e C's numa mesma coluna também é igual a 378. Assim: NO. DE CONFIGURAÇÕES COM APENAS DUAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 378 = 1134 4. No. de configurações com os dois A's numa mesma coluna mas com os B's e os C's em colunas diferentes: - Escolha da coluna dos A's: 3 - Escolha das posições dos A's na coluna: 3 - Escolhas das posições dos B's e dos C's sem restrição: C(7,2)*C(5,2) = 21 * 10 = 210 B's numa mesma coluna e C's em colunas diferentes: - Escolha da coluna dos B's: 2 - Escolha das posições dos B's na coluna: 3 - No. de posições com os C's em colunas distintas: 7 Total: 2 * 3 * 7 = 42 Analogamente: C's numa mesma coluna e B's em colunas diferentes - Total = 42 B's e C's numa mesma coluna: 2 * 3 * 1 * 3 = 18 - No. de configurações com pelo menos um dentre B e C numa mesma coluna: 42 + 42 - 18 = 66 Portanto (usando o princípio da inclusão-exclusão): - No. de configurações com os B's e os C's em colunas distintas, uma vez colocados os A's: 210 - 66 = 144 TOTAL: 3 * 3 * 144 = 1296 4.1. De forma análoga, o no. de configurações com apenas os B's ou apenas os C's numa mesma coluna também é igual a 1296. Assim: NO. DE CONFIGURAÇÕES COM APENAS UMA DAS LETRAS NUMA MESMA COLUNA = 3 * 1296 = 3888 TOTAL GERAL = 7560 - 162 - 1134 - 3888 = 2376. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: A. C. Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 23, 2003 7:23 PM Subject: Re: [obm-l] combinatória Rafael:esse problema caiu na UERJ, a resposta eh 48. Mas a tabela nao era 3 por3 e sim 2 por 3 (2 linhas e 3 colunas).Rafael wrote: Olá Pessoal! Resolvendo uma questão que recebi encontrei uma resposta muito diferente das alternativas. Disseram-me que a resposta era alternativa d) 48. Porém ao resolver o problema eu encontrei como resposta 3348, maneiras!! Se alguém puder tentar fazer pra ver se eu pensei alguma coisa errada agradeço. Vejam a questão: 26 - De quantos modos se pode colocar na tabela abaixo duas letras A, duas letras B e duas letras C, uma em cada casa, de modo que não haja duas letras iguais na mesma coluna? _ _ _ |_|_|_| |_|_|_| |_|_|_| a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 64 Abraços, Rafael. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http
[obm-l] EXATIDÃO MATEMÁTICA
Olá usuários da lista. No último vestibular da UFRGS, ocorreu-me uma centelha de desconfiança quanto à exatidão matemática. A questão era o seguinte: "Na figura abaixo, A e B são vértices do quadrado inscrito no círculo FIGURA: Um círculo e um quadrado inscrito com os dois vértices de baixo marcados com A e B Se um ponto E do círculo, diferente de todos os vértices do quadrado, é tomado ao acaso, a probabilidade de que A, B e E sejam vértices de um tri6angulo obtusângulo é (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 2/3 (E) 3/4 Quando fiz a cadeira de GEOMETRIA e também quando estudei no ensino médio, aprendi que circunferência seria apenas a linha e círculo seria a porção limitada pela circunferência. E também diríamos circunferência quando quiséssemos nos referir ao comprimento desta linha. Bom, a discussão é a seguinte: utilizando estas definições que aprendi, a resposta para a questão seria 1-3/(2pi), pois o ponto E poderia estar "dentro", no círculo. Mas a solução dada pelo gabarito é letra "E", que se faz valer, de acordo com o aprendizado anterior, somente se tivesse escrito "Se um ponto E da CIRCUNFERÊNCIA". Discutindo com alguns colegas, obtive como resposta mais satisfatória o seguinte: "Hoje em dia tenho visto designar a região do plano por DISCO e a linha que limita esta região por círculo. A palavra circunferência é usada para designar o complrimento do círculo (linha)." Não sou contra as modificações nas nomenclaturas. O que chamo a atenção é, como pode a mais exata das ciências trocar uma nomenclatura (círculo) que antes definia uma coisa (porção do plano) para outra (que se fosse trocado por um aluno anteriormente, seria motivo de erro)? Se esta modificação fosse para uma palavra nova, seria melhor. Pois ao se deparar com um novo termo, iríamos pesquisar para ver o que significa tal termo. Mas, se o termo já existe, e designava algo diferente, acaba não nos trazendo a dúvida, mas sim gerando erros de comunicação naquela que deveria ser a comunicação mais exata existente (a matemática). Se eu estivesse fazendo vestibular, e esta questão fosse dissertativa, com certeza iria responder 1-3/(2pi), e, provavelmente, iria errar. Gostaria de obter respostas das mais variadas pessoas desta lista, desde os alunos atuais contando como foi seu aprendizado, até os mais graduados contando como lidam com esta situação. Por favor, quando responderem, indiquem qual o nível de relacionamente com a matemática que vocês têm :-) Atenciosamente Prof. Thyago WebMaster cursinho.hpg.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Soma de Fatoriais
Olá! Esta questãozinha já tá, há algum tempo, me deixando sem sono! Alguém poderia me ajudar? Resolvendo 100 vezes a equação 1! + 2! + 3! +... + n! = y^2 no conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100 a n . As soluções inteiras em y encontram-se no intervalo: a)[-8,0] b)[-4,1] c)[-2,6] d)[-3,5] e)[-5,-1] resp D = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
