Re: [obm-l] contagem
On 20-10-2013 16:28, marcone augusto araújo borges wrote: Quantas matrizes 4 x 4 formadas pelos elementos 1,2,3 e 4 possuem [Upload Photo to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] [Upload Video to Facebook] [Google+] [Twitt] [Send by Gmail] em cada linha e em cada coluna todos elementos distintos? Vou testar uma ideia. Sabemos que, se trocarmos 1,2,3,4 por qualquer permutação deles, de forma consistente, obtemos outra matriz que satisfaz o enunciado. Por exemplo: 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 Substitua 1 por 3 e 3 por 1, mantendo o 2 e o 4: 3 2 1 4 2 3 4 1 1 4 3 2 4 1 2 3 Quando é que duas dessas matrizes seriam iguais? Nunca, pois a primeira linha já seria diferente. Assim, de uma matriz obteremos outras 4! matrizes. Assim sendo, eu vou tacitamente aceitar que a primeira linha é '1 2 3 4', e depois multiplicar por 4!. Mais uma coisa interessante é que podemos permutar as linhas entre si! Veja a segunda matriz: 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 1 2 1 4 3 É óbvio conferir que no caso geral a propriedade se manterá. Assim, eu posso pensar que a 'borla' da matriz é assim: 1 2 3 4 2 x x x 3 x x x 4 x x x Basta depois multiplicar por 4! * 3!. Daqui para diante, me parece que complica um pouquinho... MAS eu não desconfiaria se a resposta não tiver a ver com permutações cíclicas, no seguinte sentido: cada linha é permutação cícilca da primeira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Desigualdades
Turma,alguem conhece a demonstraçao da desigualdade de Schur e as desigualdades de Bernoulli,Hölder,Young e Erdös-Mordell? Ass.:Dirichlet __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re:[obm-l] permutação caótica com repetição
Cara,essas coisas de repetiçao eu geralmente jogo assim:ponho indices em cada letra repetida(m(a1)tem(a2) tic(a3),no seu caso),trabalhar diferenciado(os indices diferenciam as letras)e depois considere as repetiçoes propriamente (des)ditas entre os respectivos indices. Tente ai em casa que eu tento aqui mesmo. Te mais!Dirichlet __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol Alguém pode me ajudar com essa? 17 - Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA, em que nenhuma das letras ocupa a posição ocupada inicialmente em cada palavra? (Não considerar o acento na palavra matemática) Se não houvesse repetição das letras seria uma simples permutação caótica, mas nunca tentei fazer com repetição. Se alguém conseguir qualquer coisa... Abraços, Rafael. = Rafael Werneck Cinoto ICQ# 107011599 [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ __ Do You Yahoo!? Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup http://fifaworldcup.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] problema do ortocentro
Seja M o ponto medio de AB,e O circuncentro e H ortocentro do triangulo.Sabemos que 2*OM=HC,logo OM=5/2.E OM^2+MB^2=OB^2.Logo OA=6,5.Acertei? -- Mensagem original -- >Um problema que me pareceu interessante. > >Determinar o raio do >círculo circunscrito a um triângulo dados: a base AB=12 e a >distância de seu ortocentro ao vértice C = 5. > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Axiomas de Peano
Eu to achando que isso e um problema de interpretaçao.Primeiro,veja que
a=s(a)=s((a))=... e um pouco estranho(voce nao consegue aplicar PIF)Pior
ainda,essa ideia e meio contraditoria.
Pode-se provar por induçao que n e s(n) sao diferentes.
O caso n=1 e trivial.Prove voce mesmo o passo indutivo.
Logo voce ve que s(a)=a e impossivel.
AT!!!
-- Mensagem original --
>Na Eureka 3, p. 26, há um artigo de Elon Lages Lima chamado "O Princípio
>da
>Indução", onde o autor afirma que o conjunto N dos números naturais é
>caracterizado pelas seguintes propriedades:
>
>A) Existe função s: N -> N, que associa a cada n pertencente a N um elemento
>s(n) pertecente a N, chamado o sucessor de n.
>(Cada natural tem um sucessor natural)
>B) A função s: N-> N é injetiva.
>(sucessores iguais,numeros iguais)
>C) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 != s(n) para todo
>n
>pertencente a N.
>(nenhum natural tem 1 como sucessor)
>D) Se um subconjunto X contido em N é tal que 1 pertence a N e s(X) está
>contido em X,X=N.
>(se X e um conjunto de naturais contem o 1 e contem o sucessor de cada
elemento,X=N)
>As afirmações A, B, C e D são os axiomas de Peano.
>
>Agora vem a minha dúvida. Imagine o conjunto de números:
>V = {0, 1, 2, 3, ...} U {a}, onde o elemento 'a' não pertence a {0, 1,
2,
>3,
>...}
>e a função injetiva s: V -> V onde:
>s(x) = a, se x=a; senão s(x) = x+1
>
>Temos, então, o conjunto V e a função s que satisfazem os axiomas de Peano.
>Dessa forma, podemos dizer que V é o conjunto dos número naturais, mas
não
>é!
>Qual o problema aí???
>
>Alguém pode esclarecer a minha dúvida?
>
>Obrigado
>
>Vinicius Fortuna
>
>
>
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] De novo Re: [obm-l] 3 circulos!(gif)
Meu Deus do ceu,geometria cearense na cara de pau!!!Por favor meu,o troço ficou bem "soluçao oficial de problema de geometria da IMO".Mas,uma coisa:como voce desenha em gif?Eu nao faço ideia de como usar isso e eu estou precisando urgentemente disso para um artigo da EUREKA que estou fazendo. VALEU! O jovem de Richelet -- Mensagem original -- >Oi Peter! > >Valeu pela dica. Vou tentar fazer com isso pra ver se >fica melhor porque ficou meio comprida a minha >resolução. Veja como acabei resolvendo depois de quase >fundir a cuca: TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: IMO 2001-Problema 6(valeu!!!!)
Bem,eu ja tenho essa soluçao baseada na oficial(e a oficial,que usava
trigonometria(?))e
a do Antonio Caminha(que "inteirizou" os inteiros de Eisenstein)e uma que
esta no site oficial da IMO.
De qualquer jeito,valeu por tudo!
Ass.:Peterdirichlet.
-- Mensagem original --
> Caro Peterdirichlet,
> Minha solucao na epoca ficou bastante enrolada:era baseada em achar
todas
>as solucoes racionais (x,y,z)=(a/d,b/d,c/d) de xz+y=(x+y+1-z)(1+y-x+z),
que
>e' uma equacao do segundo grau da qual conhecemos solucoes (por exemplo
>(x,y,z)=(0,0,1)).Para achar todas as solucoes e' so' ver onde retas
>parametrizadas do tipo {(0,0,1)+t(u,v,w)} com u,v,w inteiros intersectam
>nossa superficie.Vai dar uma equacao do segundo grau em t da qual ja'
>sabemos que 0 e' solucao,donde a outra solucao vai ser uma funcao racional
>de u,v,w.A partir dai pode-se construir uma fatoracao explicita de ab+cd,se
>eu nao me engano.
> De qualquer jeito a solucao do Nicolau usando inteiros de Eisenstein
e'
>
>bem melhor...
> Abracos,
> Gugu
>P.S.:Voce ja' viu a solucao da pagina do John Scholes
>(http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln016.html) ?
>
>>
>>OI Gugu!Eu sou um participante da lista de problemas,e queria saber qual
>>foi sua soluçao para o problema 6 da IMO 2001(consegui juntar varias respostas)
>>Falow,Peterdirichlet
>>
>>TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
>>CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
>>Medalha Fields(John Charles Fields)
>>
>>
>>--
>>Use o melhor sistema de busca da Internet
>>Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
>>
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>>
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[obm-l] Re: IMO 2001-Problema 6(valeu!!!!)
Bem,eu ja tenho essa soluçao baseada na oficial(e a oficial,que usava
trigonometria(?))e
a do Antonio Caminha(que "inteirizou" os inteiros de Eisenstein)e uma que
esta no site oficial da IMO.
De qualquer jeito,valeu por tudo!
Ass.:Peterdirichlet.
-- Mensagem original --
> Caro Peterdirichlet,
> Minha solucao na epoca ficou bastante enrolada:era baseada em achar
todas
>as solucoes racionais (x,y,z)=(a/d,b/d,c/d) de xz+y=(x+y+1-z)(1+y-x+z),
que
>e' uma equacao do segundo grau da qual conhecemos solucoes (por exemplo
>(x,y,z)=(0,0,1)).Para achar todas as solucoes e' so' ver onde retas
>parametrizadas do tipo {(0,0,1)+t(u,v,w)} com u,v,w inteiros intersectam
>nossa superficie.Vai dar uma equacao do segundo grau em t da qual ja'
>sabemos que 0 e' solucao,donde a outra solucao vai ser uma funcao racional
>de u,v,w.A partir dai pode-se construir uma fatoracao explicita de ab+cd,se
>eu nao me engano.
> De qualquer jeito a solucao do Nicolau usando inteiros de Eisenstein
e'
>
>bem melhor...
> Abracos,
> Gugu
>P.S.:Voce ja' viu a solucao da pagina do John Scholes
>(http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln016.html) ?
>
>>
>>OI Gugu!Eu sou um participante da lista de problemas,e queria saber qual
>>foi sua soluçao para o problema 6 da IMO 2001(consegui juntar varias respostas)
>>Falow,Peterdirichlet
>>
>>TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE
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[obm-l] Re: [obm-l] Desafio o retorno!!
Vou usar complexos(a paixao de JP): Seja a expressao f(x)=x^2+x+1.Vamos fatora-la em R+Ri,i^2+1=0. Defina cis x=sen x+i*cos x=e^(ix). Entao w=(cis(2*pi/3)) e wbarra=(cis(4*pi)/3) sao zeros de f. Para as raizes de x^6+x^3+1,ache as raizes cubicas de w e wbarra. Te mais -- Mensagem original -- >Olá amigos, >Estou de volta com outro exercício(+difícil na minha opinião) >Meu professor disse que nem ele consegue fatorar a seguinte expressão em >IR: >x^6 + (xy)^3 + y^6 > >Abraços, >Bruno > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] x² + y²
Essa de trocar x e y ajuda mesmoVamos substituir pelos polinomios simetricos elementares(soma,soma dos produtos 2 a 2,soma dos produtos 3 a 3...,produto de todos).No nosso caso, xy=P,x+y=S. Entao S+P=71,e SP=880.Ai o resto ce continua... -- Mensagem original -- >Olá Pessoal! > >Esse exercício eu resolvi, mas não foi do jeito que eu >queria. Eu acabei fazendo o jeito convencional de >isolar o x da primeira equação e colocar na segunda. >Mas deve haver um jeito de se chegar a resposta >manipulando as equações dadas sem que precisemos >encontrar os valores de x e y. Vejam se vocês >conseguem. > >Sejam x e y inteiros positivos tais que: >xy + x + y = 71 >x²y + xy² = 880. > >Determine x² + y². > >Talvez facilite saberem que se trocarmos as variáveis, >escrevendo x no lugar de y as equações não mudam. Isso >quer dizer que as respostas são (x, y) e (y, x). Além >disso, os valores que encontrei foram x = 11 e y = 5 >(ou vice-versa). > >Um abraço, > >Rafael. > >= >Rafael Werneck Cinoto > ICQ# 107011599 > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] >http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ > >__ >Do You Yahoo!? >Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup >http://fifaworldcup.yahoo.com >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Como eu posso achar os professores Elon Lima e Gugu?Problema 6,IMO 2001-Soluçoes (oficial e outras)
Genti,voces nao entenderam...O que eu quero e a soluçao do Gugu.O Tengan me disse que ele fez bem na porrada:escreveu o d em funçao de a,b e c,obteve uma equaçao de grau 2,escreveu as condiçoes de delta quadrado,e por ai vai...Enfim,era esta e a outra soluçao que eu precisava(a por EISENSTEIN).Por falar nisso,VALEU SALDANHA!!! Quanto ao Ponce,de onde tu tirou essa de soluçao oficial?Eu tenho essa oficial e uma outra,esta ultima usando a ideia do Caminha,mas com outras expressoes.Depois eu mostro,blz? Peterdirichlet -- Mensagem original -- >On Wed, Jun 05, 2002 at 10:29:55PM -0300, Luiz Antonio Ponce Alonso wrote: >> Olá amigo, >> Uma solução legal para este problema foi dada pelo Nicolau. >> Pergunte a ele e seria bom que pudesse colocar a solução nesta lista. >> Eu discordo do Tengan com relação à solução oficial. Esta apesar de >> artificiosa >> é bonita.Você já analisou-a??? >> Um abraço >> PONCE > >Eu j'a mandei para a lista, deve estar no arquivo. []s, N. >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l]Equaçao de Pell
Eu devo lhe avisar duas coisas: 1)Eu tenho dois provedores para meus e-mails,logo quem esta a falar com voce e o Ricardo. 2)A prova e altamente chata e longa.Se voce quiser,veja a EUREKA! numero 7.O professor Caminha escreveu um artigo com essa e outras coisas de equaçao diofantina.Se voce quiser,eu escreverei algumas linhas sobre oisso.So para começar:veja o Teorema de Kronecker. ATEEEPloft!Peterdirichlet -- Mensagem original -- >> meu caro amigo ricardo > > > eu sei q essa equacao eh de pell, eu pedi a >demontracao > > >rafael > > >__ >Quer ter seu próprio endereço na Internet? >Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. >DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Como eu posso achar os professores Elon Lima e Gugu?Problema 6,IMO 2001-Soluçao
Ola turma da Lista!!Alguem sabe como eu posso falar com os professores Elon Lages Lima e Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira(o Tengan me disse que ele obteve uma soluçao bem legal,mas na porrada,do problema 6 da IMO 2001,EUA.Ai eu queria que ele mostrasse)? ATEE!!Ploft!Peterdirichlet. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] URGENTE!!!!!!!!!!!!!Sobre:Clássicos geométricos,guerras ideológico-matemáticas e assuntos afins
O MINISTERIO DA SAUDE ADVERTE:LER E-MAILS LONGOS PODE PROVOCAR SONOLENCIA FORTE E PARANOIAS CONSTANTES. ISTO E URGENTE!!! Gente,aqui esta uma leva de geometricos.Eles tem uma pequena historia,que escrevi ao final por motivos obvios. 1.(Casey)Considere quatro circunferencias S1,S2,S3,S4(podendo algumas delas ter raio zero) coplanares. Prove que elas sao coinscritiveis(ha uma circunferencia tangente externamente a todas elas)se e so se t12*t34+t14*t23=t13*t24,em que txy e o valor da tangente externa as circunferencias Sx e Sy 2.No triangulo ABC,CA=AB,CAB=20°,CBD=60° e ECB=50°,sendo EC e DB duas cevianas.Calcule BDE. 3.Considere o triangulo retangulo de hipotenusa 4 e cateto 2.Inscreve-se nele um triangulo equilatero tal que um de seus vertices bissecte o cateto de lado 2.Ache o valor do lado desse triangulo inscrito. Quem resolver alguma dessas questoes eu agradeço.E enfim a HISTORIA da guerra Tudo isto começou quando eu estava arrumando meus arquivos de problemas olimpicos resolvidos(por mim mesmo,pelos professores Shine e Tengan nas aulas no "País da OBM"(o nickname que eu dei para a sede regional da OBM em Sampa),pela turma da lista,por uns colegas meus,tirados de sites,etc. e tal).Acabei pegando uma folha com a soluçao do problema 5 da IMO 2001.Eu resolvi-o por Trigonometria(como todo paulista que se preze),como fez o Thiago,e adaptei a soluçao oficial(totalmente Geometria Cearense:pontos magicos,semelhança,coisa e tal).Enfim,propus este problema a um colega de sala,e ele ficou a aula inteira tentando mas nao resolveu.Entao eu mostrei-lhe a minha soluçao.Mal tinha acabado,ele soltou os cachorros em cima de mim,falando que eu tinha apelado,que minha soluçao nao era elegante,e por ai vai.Entao eu resolvi mostrar a ele a soluçao oficial.Ele achou artificial mas elegante(bonitinha mas ordinaria...),e depois ele me disse que tinha asco a Trigonometria.Entao eu lhe propus outros 2 problemas classicos.Ele esta tentando resolve-los,me dara noticias amanha. Enquanto isso,eu resolvi coloca-los nesta lista par que voces os discutissem e me dessem algumas respostas(de todos os tipos,podendo usar desde geometria cearense ate geometria analitica) e me dissessem como posso fazer este meu obstinado amigo mudar de ideia ou pelo menos nao odiar tanto a geometria paulista.E essa e a historia! Assinado:Peterdirichlet TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Clássicos geometricos,guerras ideológico-matematicas e assuntos afins
O MINISTERIO DA SAUDE ADVERTE:LER E-MAILS LONGOS PODE PROVOCAR SONOLENCIA FORTE E PARANOIAS CONSTANTES. Gente,aqui esta uma leva de geometricos.Eles tem uma pequena historia,que escrevi ao final por motivos obvios. 1.(Casey)Considere quatro circunferencias S1,S2,S3,S4(podendo algumas delas ter raio zero) coplanares. Prove que elas sao coinscritiveis(ha uma circunferencia tangente externamente a todas elas)se e so se t12*t34+t14*t23=t13*t24,em que txy e o valor da tangente externa as circunferencias Sx e Sy 2.No triangulo ABC,CA=AB,CAB=20°,CBD=60° e ECB=50°,sendo EC e DB duas cevianas.Calcule BDE. 3.Considere o triangulo retangulo de hipotenusa 4 e cateto 2.Inscreve-se nele um triangulo equilatero tal que um de seus vertices bissecte o cateto de lado 2.Ache o valor do lado desse triangulo inscrito. Quem resolver alguma dessas questoes eu agradeço.E enfim a HISTORIA da guerra Tudo isto começou quando eu estava arrumando meus arquivos de problemas olimpicos resolvidos(por mim mesmo,pelos professores Shine e Tengan nas aulas no "País da OBM"(o nickname que eu dei para a sede regional da OBM em Sampa),pela turma da lista,por uns colegas meus,tirados de sites,etc. e tal).Acabei pegando uma folha com a soluçao do problema 5 da IMO 2001.Eu resolvi-o por Trigonometria(como todo paulista que se preze),como fez o Thiago,e adaptei a soluçao oficial(totalmente Geometria Cearense:pontos magicos,semelhança,coisa e tal).Enfim,propus este problema a um colega de sala,e ele ficou a aula inteira tentando mas nao resolveu.Entao eu mostrei-lhe a minha soluçao.Mal tinha acabado,ele soltou os cachorros em cima de mim,falando que eu tinha apelado,que minha soluçao nao era elegante,e por ai vai.Entao eu resolvi mostrar a ele a soluçao oficial.Ele achou artificial mas elegante(bonitinha mas ordinaria...),e depois ele me disse que tinha asco a Trigonometria.Entao eu lhe propus outros 2 problemas classicos.Ele esta tentando resolve-los,me dara noticias amanha. Enquanto isso,eu resolvi coloca-los nesta lista par que voces os discutissem e me dessem algumas respostas(de todos os tipos,podendo usar desde geometria cearense ate geometria analitica) e me dissessem como posso fazer este meu obstinado amigo mudar de ideia ou pelo menos nao odiar tanto a geometria paulista.E essa e a historia! Assinado:Peterdirichlet TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Duvidas diversas sobre diversos
Ola turma!!!Faz um bom tempo que eu nao escrevo para a lista da OBM.E vou chegar metendo bala: 01)Sejam a,b,c,d reais nao negativos tais que ab+bc+cd+da=1.Prove que (a^3/b+c+d)+(b^3/a+c+d)+(c^3/a+b+d)+(d^3/a+b+c)>=1/3 e determine a igualdade. 02)Considere uma sequencia de inteiros positivos a_1,a_2,a_3... tal que a_(n+1) nao possa ser escrito como combinaçao linear dos termos anteriores.E possivel que ela seja infinita? 03)Num triangulo ABC a bissetriz do angulo A corta BC em A' e corta o circuncirculo em A".Seja v(A)=AA'/(BA"+CA").Definimos analogamente v(b) e v(c).Prove que 4*(v(a)+v(b)+v(c))>=3 04)Seja f_n o ultimo algarismo diferente de zero de n!.Sera que a_1,a_2,...,a_n fica periodica a partir de certo ponto? 05)Encontre todos os naturais n tais que para qualquer par de divisores a e b(primos entre si),n seja multiplo de a+b-1 06)Seja n um inteiro maior que 1.Prove que se P(x)=x^2+x+n e primo para todos os inteiros x entre 0 e (n/3)^1/2,entao P sera primo com x de 0 ate n-2. prove que o conjunto dos reais x tais que 1/(x-1)+2/(x-2)+3/(x-3)+...+70/(x-70)>=5/4 e uma soma de intervalos disjuntos de soma 1988.Generalize. 07)N,P e Q sao inteiros tais que N>P+Q.Construa uma sequencia de N termos tal que o primeiro e o ultimo termo sao nulos e a diferença entre um termo e seu antecessor seja P ou -Q.Prove que existe um par de termos dessa sequencia(que nao o par de extremos)cujos valores sao iguais. Quem tiver paciencia para me dizer o que fazer nestes problemas,agradeço.Peterdirichlet TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l]Dúvida: Novidades no site da OPM
Shine,estou com uma duvida:como uma pessoa cujo colegio nao a cadastrou pode fazer a prova da OPM?E que um colega meu vai participar este ano. ATE MAIS!!!Anderson -- Mensagem original -- >Oi gente! > >O site da OPM está com novidades! > >Uma delas é que estamos oferecendo mais um curso do >nosso Programa de Aperfeiçoamento em Matemática. >Alunos e professores estão convidados! > >Cheque em > http://www.opm.mat.br/ > >[]'s >Shine > >__ >Do You Yahoo!? >Yahoo! - Official partner of 2002 FIFA World Cup >http://fifaworldcup.yahoo.com >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Uma soluçao bonitinha do problema 5 da IMO da India(Erdös-Mordell na veia!!!!!)
-- Mensagem original -- >Problema 5-IMO 1996(Bombaim,India) Seja ABCDEF um hexagono convexo tal que >AB e paralelo a DE, BC e paralelo a EF,e CD e paralelo a FA. Sejam R_A, >R_C, R_E os circunraios dos triangulos FAB, BCD, DEF respectivamente,e seja > p o perimetro do hexagono. Prove que: > > R_A + R_C + R_E >= p/2. > >Esse problema foi considerado "O Imortal"(o menos respondido de toda a historia >da IMO):apenas 2 romenos e 4 armenios resolveram-no completamente.TODA A >EQUIPE CHINESA ZEROU ESTE PROBLEMA!!!A soluçao mais bonita e a do estudante >romeno Ciprian Manolescu,o unico Perfect Score(pontuaçao maxima:42 pontos)da >prova.Ele baseou-se na famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Aqui,mostrarei >esta soluçao. > >Para aplicar Erdös-Mordell neste problema(esta ideia e bem razoavel,ja que >a expressao sugere isto),e bom que ponhamos tudo para dentro!Traçando os >paralelogramos MDEF,NFAB,PBCD,e o triangulo XYZ tal que ZY e perpendicular >a BP,XZ a DM e XY a FN,e tal que o hexagono fique inscrito ao triangulo >XYZ,pode-se reescrever a desigualdade.Veja que os triangulos DEF e DMF sao >semelhantes,logo tem o mesmo circunraio.Mas XM e o diametro do circuncirculo >do triangulo DMF(ou do quadrilatero DMFX se preferir).Logo XM=2*RA.E portanto >vamos provar que XM+YN+ZP>=BN+BP+DP+DM+FM+FN,o que equivale ao problema >inicial. > >Vamos quebrar isso em dois casos: >1)M,N e P coincidem.E o problema se transforma em Erdös-Mordell. >2)MNP e um triangulo.Ai fica mais complicado...Mas a ideia e a mesma. >Vamos colocar um espelho na bissetriz do angulo ZXY e considerar as imagens >de X e de Z(X' e Z' nesta ordem).Considere os pes das perpendiculares de >X e M(H e G,nesta ordem).Sejam tambem x=YZ,y=ZX e z =XY as medidas dos lados >de XYZ.E [ABCD...Z] indica a area do poligono ABCD...Z. >Entao [XZ'M]+[Z'Y'M]+[Y'XM]=[XY'Z'],ou > >x*XH=x*MG+y*FM+z*MD. > >Agora vamos usar a desigualdade triangular em XMG e a desigualdade hipotenusa>cateto >em XHG(o >angulo em H e reto):XM+MG>=XG>=XH,logo >XM>=(z/x)*DM+(y/x)*FM. >E nao e dificil concluir que > > XM+YN+ZP>=z/x*DM+y/x*FM+x/y*FN+z/y*BN+y/z*BP+x/z*DP. (*) > >Daqui sai o fim do problema.Agora,veja que >2*(y/z*BP+z/y*BN)=(y/z+z/y)*(BN+BP)+(y/z-z/y)(BN-BP) > >Como os triangulos XYZ e DEF sao semelhantes,podemos definir > K=(FM-FN)/XY=(BN-BP)/YZ=(DP-DM)/ZX. >Agora,usando Medias,temos que > > y/z*BP+z/y*BN>=(BP+BN)+K*(y*x/z-z*x/y) > >Analogamente obteriamos resultados analogos a este ultimo para os pares >de lados (x,z) e (x,y).Agora basta substituir todos eles em (*) e acabou! > > >Esta segunda soluçao e de autoria do lider armenio(o mesmo que o propos).Voce >pode encontra-la no site >http://www.cie.uva.es/algebra/fdelgado/seccion/principal_sem.htm > > >Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB is parallel to DE, BC is parallel >to EF, and CD is parallel to FA. Let RA, RC, RE denote the circumradii of >triangles FAB, BCD, DEF respectively, and let p denote the perimeter of >the hexagon. Prove that: > > R_A + R_C + R_E >= p/2. >Solution(Bank) > >The starting point is the formula for the circumradius R of a triangle ABC(Sines >Theorem):2R = a/sin A = b/sin B = c/sin C. [Proof: the side a subtends an >angle 2A at the center, so a = 2R sin A.] This gives that 2RA = BF/sin A, >2RC>=BD/sin C, 2R_E = FD/sin E. It is clearly not true in general that BF/sin >A > >BA+AF, although it is true if angle FAB >= 120, so we need some argumentthat >involves the hexagon as a whole. >Extend sides BC and FE and take lines perpendicular to them through A >and D, thus forming a rectangle. Then BF is greater than or equal to the >sidethrough A and the side through D. We may find the length of the side >through >A by taking the projections of BA and AF giving AB sin B + AF sin F. >>Similarly the side through D is CD sin C + DE sin E. Hence: > >2BF >= AB sin B + AF sin F + CD sin C + DE sin E. Similarly: > >2BD >= BC sin B + CD sin D + AF sin A + EF sin E, and > >2FD >= AB sin A + BC sin C + DE sin D + EF sin F. > >Hence 2BF/sin A + 2BD/sin C + 2FD/sin E >= AB(sin A/sin E + sin B/sin >>>A) >+ BC(sin B/sin C + sin C/sin E) + CD(sin C/sin A + sin D/sin C) + DE(sin >E/sin A + sin D/sin E) + EF(sin E/sin C + sin F/sin E) + AF(sin F/sin >>>A >+ sin A/sin C). > >We now use the fact that opposite sides are parallel, which implies >that >opposite angles are equal: A = E, B = E, C = F. Each of the factors >multiplying >the sides in the last expression now has the form x + 1/x which has >minimum >value 2 when x = 1. Hence 2(BF/sin A + BD/sin C + FD/sin E) >= 2p and >>>the >result is proved. > >Essa soluçao e a oficial.A mais bonita e a de Ciprian Manolescu,o unico > Perfect Score da prova.Ele usou a famosa D
[obm-l] Uma soluçao bonitinha do problema 5 da IMO da India(Erdös-Mordell na veia!!!!!)
Problema 5-IMO 1996(Bombaim,India) Seja ABCDEF um hexagono convexo tal que AB e paralelo a DE, BC e paralelo a EF,e CD e paralelo a FA. Sejam R_A, R_C, R_E os circunraios dos triangulos FAB, BCD, DEF respectivamente,e seja p o perimetro do hexagono. Prove que: R_A + R_C + R_E >= p/2. Esse problema foi considerado "O Imortal"(o menos respondido de toda a historia da IMO):apenas 2 romenos e 4 armenios resolveram-no completamente.TODA A EQUIPE CHINESA ZEROU ESTE PROBLEMA!!!A soluçao mais bonita e a do estudante romeno Ciprian Manolescu,o unico Perfect Score(pontuaçao maxima:42 pontos)da prova.Ele baseou-se na famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Aqui,mostrarei esta soluçao. Para aplicar Erdös-Mordell neste problema(esta ideia e bem razoavel,ja que a expressao sugere isto),e bom que ponhamos tudo para dentro!Traçando os paralelogramos MDEF,NFAB,PBCD,e o triangulo XYZ tal que ZY e perpendicular a BP,XZ a DM e XY a FN,e tal que o hexagono fique inscrito ao triangulo XYZ,pode-se reescrever a desigualdade.Veja que os triangulos DEF e DMF sao semelhantes,logo tem o mesmo circunraio.Mas XM e o diametro do circuncirculo do triangulo DMF(ou do quadrilatero DMFX se preferir).Logo XM=2*RA.E portanto vamos provar que XM+YN+ZP>=BN+BP+DP+DM+FM+FN,o que equivale ao problema inicial. Vamos quebrar isso em dois casos: 1)M,N e P coincidem.E o problema se transforma em Erdös-Mordell. 2)MNP e um triangulo.Ai fica mais complicado...Mas a ideia e a mesma. Vamos colocar um espelho na bissetriz do angulo ZXY e considerar as imagens de X e de Z(X' e Z' nesta ordem).Considere os pes das perpendiculares de X e M(H e G,nesta ordem).Sejam tambem x=YZ,y=ZX e z =XY as medidas dos lados de XYZ.E [ABCD...Z] indica a area do poligono ABCD...Z. Entao [XZ'M]+[Z'Y'M]+[Y'XM]=[XY'Z'],ou x*XH=x*MG+y*FM+z*MD. Agora vamos usar a desigualdade triangular em XMG e a desigualdade hipotenusa>cateto em XHG(o angulo em H e reto):XM+MG>=XG>=XH,logo XM>=(z/x)*DM+(y/x)*FM. E nao e dificil concluir que XM+YN+ZP>=z/x*DM+y/x*FM+x/y*FN+z/y*BN+y/z*BP+x/z*DP. (*) Daqui sai o fim do problema.Agora,veja que 2*(y/z*BP+z/y*BN)=(y/z+z/y)*(BN+BP)+(y/z-z/y)(BN-BP) Como os triangulos XYZ e DEF sao semelhantes,podemos definir K=(FM-FN)/XY=(BN-BP)/YZ=(DP-DM)/ZX. Agora,usando Medias,temos que y/z*BP+z/y*BN>=(BP+BN)+K*(y*x/z-z*x/y) Analogamente obteriamos resultados analogos a este ultimo para os pares de lados (x,z) e (x,y).Agora basta substituir todos eles em (*) e acabou! Esta segunda soluçao e de autoria do lider armenio(o mesmo que o propos).Voce pode encontra-la no site http://www.cie.uva.es/algebra/fdelgado/seccion/principal_sen.htm Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB is parallel to DE, BC is parallel to EF, and CD is parallel to FA. Let RA, RC, RE denote the circumradii of triangles FAB, BCD, DEF respectively, and let p denote the perimeter of the hexagon. Prove that: R_A + R_C + R_E >= p/2. Solution(Bank) The starting point is the formula for the circumradius R of a triangle ABC(Sines Theorem):2R = a/sin A = b/sin B = c/sin C. [Proof: the side a subtends an angle 2A at the center, so a = 2R sin A.] This gives that 2RA = BF/sin A, 2RC>=BD/sin C, 2R_E = FD/sin E. It is clearly not true in general that BF/sin A > BA+AF, although it is true if angle FAB >= 120, so we need some argumentthat involves the hexagon as a whole. Extend sides BC and FE and take lines perpendicular to them through A and D, thus forming a rectangle. Then BF is greater than or equal to the sidethrough A and the side through D. We may find the length of the side through A by taking the projections of BA and AF giving AB sin B + AF sin F. >Similarly the side through D is CD sin C + DE sin E. Hence: 2BF >= AB sin B + AF sin F + CD sin C + DE sin E. Similarly: 2BD >= BC sin B + CD sin D + AF sin A + EF sin E, and 2FD >= AB sin A + BC sin C + DE sin D + EF sin F. Hence 2BF/sin A + 2BD/sin C + 2FD/sin E >= AB(sin A/sin E + sin B/sin >>A) + BC(sin B/sin C + sin C/sin E) + CD(sin C/sin A + sin D/sin C) + DE(sin E/sin A + sin D/sin E) + EF(sin E/sin C + sin F/sin E) + AF(sin F/sin >>A + sin A/sin C). We now use the fact that opposite sides are parallel, which implies that opposite angles are equal: A = E, B = E, C = F. Each of the factors multiplying the sides in the last expression now has the form x + 1/x which has minimum value 2 when x = 1. Hence 2(BF/sin A + BD/sin C + FD/sin E) >= 2p and >>the result is proved. Essa soluçao e a oficial.A mais bonita e a de Ciprian Manolescu,o unico Perfect Score da prova.Ele usou a famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Depois >eu envio a resposta dele. >ATE.Peterdirichlet > >TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE >C
[obm-l] Uma soluçao bonitinha do problema 5 da IMO da India(Erdös-Mordell na veia!!!!!)
Problema 5-IMO 1996(Bombaim,India) Seja ABCDEF um hexagono convexo tal que AB e paralelo a DE, BC e paralelo a EF,e CD e paralelo a FA. Sejam R_A, R_C, R_E os circunraios dos triangulos FAB, BCD, DEF respectivamente,e seja p o perimetro do hexagono. Prove que: R_A + R_C + R_E >= p/2. Esse problema foi considerado "O Imortal"(o menos respondido de toda a historia da IMO):apenas 2 romenos e 4 armenios resolveram-no completamente.TODA A EQUIPE CHINESA ZEROU ESTE PROBLEMA!!!A soluçao mais bonita e a do estudante romeno Ciprian Manolescu,o unico Perfect Score(pontuaçao maxima:42 pontos)da prova.Ele baseou-se na famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Aqui,mostrarei esta soluçao. Para aplicar Erdös-Mordell neste problema(esta ideia e bem razoavel,ja que a expressao sugere isto),e bom que ponhamos tudo para dentro!Traçando os paralelogramos MDEF,NFAB,PBCD,e o triangulo XYZ tal que ZY e perpendicular a BP,XZ a DM e XY a FN,e tal que o hexagono fique inscrito ao triangulo XYZ,pode-se reescrever a desigualdade.Veja que os triangulos DEF e DMF sao semelhantes,logo tem o mesmo circunraio.Mas XM e o diametro do circuncirculo do triangulo DMF(ou do quadrilatero DMFX se preferir).Logo XM=2*RA.E portanto vamos provar que XM+YN+ZP>=BN+BP+DP+DM+FM+FN,o que equivale ao problema inicial. Vamos quebrar isso em dois casos: 1)M,N e P coincidem.E o problema se transforma em Erdös-Mordell. 2)MNP e um triangulo.Ai fica mais complicado...Mas a ideia e a mesma. Vamos colocar um espelho na bissetriz do angulo ZXY e considerar as imagens de X e de Z(X' e Z' nesta ordem).Considere os pes das perpendiculares de X e M(H e G,nesta ordem).Sejam tambem x=YZ,y=ZX e z =XY as medidas dos lados de XYZ.E [ABCD...Z] indica a area do poligono ABCD...Z. Entao [XZ'M]+[Z'Y'M]+[Y'XM]=[XY'Z'],ou x*XH=x*MG+y*FM+z*MD. Agora vamos usar a desigualdade triangular em XMG e a desigualdade hipotenusa>cateto em XHG(o angulo em H e reto):XM+MG>=XG>=XH,logo XM>=(z/x)*DM+(y/x)*FM. E nao e dificil concluir que XM+YN+ZP>=z/x*DM+y/x*FM+x/y*FN+z/y*BN+y/z*BP+x/z*DP. (*) Daqui sai o fim do problema.Agora,veja que 2*(y/z*BP+z/y*BN)=(y/z+z/y)*(BN+BP)+(y/z-z/y)(BN-BP) Como os triangulos XYZ e DEF sao semelhantes,podemos definir K=(FM-FN)/XY=(BN-BP)/YZ=(DP-DM)/ZX. Agora,usando Medias,temos que y/z*BP+z/y*BN>=(BP+BN)+K*(y*x/z-z*x/y) Analogamente obteriamos resultados analogos a este ultimo para os pares de lados (x,z) e (x,y).Agora basta substituir todos eles em (*) e acabou! Esta segunda soluçao e de autoria do lider armenio(o mesmo que o propos).Voce pode encontra-la no site http://www.cie.uva.es/algebra/fdelgado/seccion/principal_sen.htm Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB is parallel to DE, BC is parallel to EF, and CD is parallel to FA. Let RA, RC, RE denote the circumradii of triangles FAB, BCD, DEF respectively, and let p denote the perimeter of the hexagon. Prove that: R_A + R_C + R_E >= p/2. Solution(Bank) The starting point is the formula for the circumradius R of a triangle ABC(Sines Theorem):2R = a/sin A = b/sin B = c/sin C. [Proof: the side a subtends an angle 2A at the center, so a = 2R sin A.] This gives that 2RA = BF/sin A, 2RC>=BD/sin C, 2R_E = FD/sin E. It is clearly not true in general that BF/sin A > BA+AF, although it is true if angle FAB >= 120, so we need some argumentthat involves the hexagon as a whole. Extend sides BC and FE and take lines perpendicular to them through A and D, thus forming a rectangle. Then BF is greater than or equal to the sidethrough A and the side through D. We may find the length of the side through A by taking the projections of BA and AF giving AB sin B + AF sin F. >Similarly the side through D is CD sin C + DE sin E. Hence: 2BF >= AB sin B + AF sin F + CD sin C + DE sin E. Similarly: 2BD >= BC sin B + CD sin D + AF sin A + EF sin E, and 2FD >= AB sin A + BC sin C + DE sin D + EF sin F. Hence 2BF/sin A + 2BD/sin C + 2FD/sin E >= AB(sin A/sin E + sin B/sin >>A) + BC(sin B/sin C + sin C/sin E) + CD(sin C/sin A + sin D/sin C) + DE(sin E/sin A + sin D/sin E) + EF(sin E/sin C + sin F/sin E) + AF(sin F/sin >>A + sin A/sin C). We now use the fact that opposite sides are parallel, which implies that opposite angles are equal: A = E, B = E, C = F. Each of the factors multiplying the sides in the last expression now has the form x + 1/x which has minimum value 2 when x = 1. Hence 2(BF/sin A + BD/sin C + FD/sin E) >= 2p and >>the result is proved. Essa soluçao e a oficial.A mais bonita e a de Ciprian Manolescu,o unico Perfect Score da prova.Ele usou a famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Depois >eu envio a resposta dele. >ATE.Peterdirichlet > >TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE >C
[obm-l] [obm-l] Uma soluçao bonitinha da IMO da India(reformulados)
Para aplicar Erdös-Mordell neste problema,e bom que ponhamos tudo para dentro!Traçando os paralelogramos DEFM,NFAB,PBCD,e o triangulo XYZ tal que ZY e perpendicular a BP,XZ a DM e XY a FN,da para reescrever a desigualdade.Veja que os triangulos DEF e DMF sao semelhantes,logo tem o mesmo circunraio.Mas XM e o diametro do triangulo DMF.Logo XM=2*RA.E portanto vamos provar que XM+YN+ZP>=BN+BP+DP+DM+FM+FN. Vamos quebrar isso em dois casos: 1)M,N e P coincidem.E ai e so usar Erdös-Mordell em XYZ direto 2)MNP e um triangulo.Ai fica mais complicado...Mas a ideia e a mesma. Vamos colocar um espelho na bissetriz do angulo ZXY e pegar as imagens de X e de Z(X' e Z' nesta ordem).Considere os pes das perpendiculares de X e M(H e G nesta ordem).Sejam tambem x=YZ,y=ZX e z =XY as medidas dos lados de XYZ. Entao [XZ'M]+[Z'Y'M]+[Y'XM]=[XY'Z'],ou x*XH=x*MG+y*FM+z*MD.Agora vamos usar a desigualdade triangular em XMG e a desigualdade hipotenusa>cateto em XHG(o angulo em H e reto):XM+MG>=XG>=XH,logo XM>=(z/x)*DM+(y/x)*FM. E nao e dificil concluir que XM+YN+ZP>=z/x*DM+y/x*FM+x/y*FN+z/y*BN+y/z*BP+x/z*DP.Daqui sai o fim do problema. Depois eu continuo. ATEEE!!Ploft!Peterdirichlet. >>-- Mensagem original -- >> >>>Esse problema foi considerado "O Imortal"(o menos respondido de toda a >>historia >>>da IMO):apenas 2 romenos e 4 armenios resolveram-no.TODA A EQUIPE CHINESA >>>ZEROU ESSE.IMO 1996 >>> >>> >>> >>>Problem 5 >>> >>>Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB is parallel to DE, BC is parallel >>>to EF, and CD is parallel to FA. Let RA, RC, RE denote the circumradii >>of >>>triangles FAB, BCD, DEF respectively, and let p denote the perimeter of >>>the hexagon. Prove that: >>> >>>RA + RC + RE >= p/2. >>> >>> >>> >>>Solution >>> >>> >>>The starting point is the formula for the circumradius R of a triangle >>ABC: >>>2R = a/sin A = b/sin B = c/sin C. [Proof: the side a subtends an angle >>2A >>>at the center, so a = 2R sin A.] This gives that 2RA = BF/sin A, 2RC = >>BD/sin >>>C, 2RE = FD/sin E. It is clearly not true in general that BF/sin A > BA >>>+ AF, although it is true if angle FAB >= 120, so we need some argument >>>that involves the hexagon as a whole. >>> >>>Extend sides BC and FE and take lines perpendicular to them through A >and >>>D, thus forming a rectangle. Then BF is greater than or equal to the side >>>through A and the side through D. We may find the length of the side through >>>A by taking the projections of BA and AF giving AB sin B + AF sin F. Similarly >>>the side through D is CD sin C + DE sin E. Hence: >>> >>>2BF >= AB sin B + AF sin F + CD sin C + DE sin E. Similarly: >>> >>>2BD >= BC sin B + CD sin D + AF sin A + EF sin E, and >>> >>>2FD >= AB sin A + BC sin C + DE sin D + EF sin F. >>> >>>Hence 2BF/sin A + 2BD/sin C + 2FD/sin E >= AB(sin A/sin E + sin B/sin >A) >>>+ BC(sin B/sin C + sin C/sin E) + CD(sin C/sin A + sin D/sin C) + DE(sin >>>E/sin A + sin D/sin E) + EF(sin E/sin C + sin F/sin E) + AF(sin F/sin >A >>>+ sin A/sin C). >>> >>>We now use the fact that opposite sides are parallel, which implies that >>>opposite angles are equal: A = E, B = E, C = F. Each of the factors multiplying >>>the sides in the last expression now has the form x + 1/x which has minimum >>>value 2 when x = 1. Hence 2(BF/sin A + BD/sin C + FD/sin E) >= 2p and >the >>>result is proved. >>> >>>Essa soluçao e a oficial.A mais bonita e a de Ciprian Manolescu,o unico >>> Perfect Score da prova.Ele usou a famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Depois eu envio a resposta dele. ATE.Peterdirichlet TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Uma soluçao bonitinha da IMO da India(de novo)
Prova do lema:veja que os triangulos DEF e DMF sao semelhantes,logo tem o mesmo circunraio.Mas XM e o diametro do triangulo DMF.Logo XM=2*RA.E reformule a desigualdade. Vamos quebrar isso em dois casos: 1)M,N e P coincidem.E ai e so usar Erdös-Mordell em XYZ. 2)MNP e um triangulo.Depois eu continuo. ATEEE!!loft1Peterdirichlet. -- Mensagem original -- >PRIMEIRA PARTE:Para aplicar Erdös-Mordell neste problema,e bom que ponhamos >tudo para dentro!Traçando os paralelogramos DEFM,NFAB,PBCD,e o triangulo >XYZ tal que ZYe perpendicular a BP,XZ a DM e XY a FN,da para reescrever >a desigualdade.Prove que >XM+YN+ZP>=BN+BP+DP+DM+FM+FN. >Essa e a proxima missao.ATEEE!Ploft!Peterdirichlet > >-- Mensagem original -- > >>Esse problema foi considerado "O Imortal"(o menos respondido de toda a >historia >>da IMO).apenas 2 romenos e 4 armenios resolveram-no.TODA A EQUIPE CHINESA >>ZEROU ESSE.IMO 1996 >> >> >> >>Problem 5 >> >>Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB is parallel to DE, BC is parallel >>to EF, and CD is parallel to FA. Let RA, RC, RE denote the circumradii >of >>triangles FAB, BCD, DEF respectively, and let p denote the perimeter of >>the hexagon. Prove that: >> >>RA + RC + RE >= p/2. >> >> >> >>Solution >> >> >>The starting point is the formula for the circumradius R of a triangle >ABC: >>2R = a/sin A = b/sin B = c/sin C. [Proof: the side a subtends an angle >2A >>at the center, so a = 2R sin A.] This gives that 2RA = BF/sin A, 2RC = >BD/sin >>C, 2RE = FD/sin E. It is clearly not true in general that BF/sin A > BA >>+ AF, although it is true if angle FAB >= 120, so we need some argument >>that involves the hexagon as a whole. >> >>Extend sides BC and FE and take lines perpendicular to them through A and >>D, thus forming a rectangle. Then BF is greater than or equal to the side >>through A and the side through D. We may find the length of the side through >>A by taking the projections of BA and AF giving AB sin B + AF sin F. Similarly >>the side through D is CD sin C + DE sin E. Hence: >> >>2BF >= AB sin B + AF sin F + CD sin C + DE sin E. Similarly: >> >>2BD >= BC sin B + CD sin D + AF sin A + EF sin E, and >> >>2FD >= AB sin A + BC sin C + DE sin D + EF sin F. >> >>Hence 2BF/sin A + 2BD/sin C + 2FD/sin E >= AB(sin A/sin E + sin B/sin A) >>+ BC(sin B/sin C + sin C/sin E) + CD(sin C/sin A + sin D/sin C) + DE(sin >>E/sin A + sin D/sin E) + EF(sin E/sin C + sin F/sin E) + AF(sin F/sin A >>+ sin A/sin C). >> >>We now use the fact that opposite sides are parallel, which implies that >>opposite angles are equal: A = E, B = E, C = F. Each of the factors multiplying >>the sides in the last expression now has the form x + 1/x which has minimum >>value 2 when x = 1. Hence 2(BF/sin A + BD/sin C + FD/sin E) >= 2p and the >>result is proved. >> >>Essa soluçao e a oficial.A mais bonita e a de Ciprian Manolescu,o unico >> Perfect Score da prova.Ele usou a famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Depois >>eu envio a resposta dele.ATE.Peterdirichlet >> TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
NSSA!!!Ta irritado hoje!?!??!?!?!?!?!?!?!?!?!?!?!? De onde voce tirou tanta raiva acumulada? Resposta do trekitchoz:o angulo maximo deve ser 90 graus.Ai o treco ja fica legal. -- Mensagem original -- >Querido Duda ... >Querido nao, que isso e coisa de boiola ! > >Caro Duda, > >Mas de forma alguma eu ficaria chateado com voce ou com qualquer outra >pessoa que porventura mostrasse uma falha ou varias falhas em meus >raciocinios, pois se ate os Grandes Prof's desta lista falham e comentem > >erros, quanto mais eu, um simples estudante ainda lutando para aprender >alguma coisa... > >Em verdade, so nao cometem erros e nao tem duvidas DEUS E OS IMBECIS. Como > >nao sou uma coisa e nem outra, eu cometi, cometo e cometerei muitos erros >: >e gostam de mim aqueles que me alertam para que eu me corrija ! Francamente, > >nao sou castelinho de areia ou estrelinha de papel que a qualquer toque >(critica) se desmancha e fica emburradinho no canto guardando rancor. Sem > >essas viadagens e frescuras vou procurando ser util ao ideal olimpico. > >Para que essa mensagem nao fique fora de escopo, apresento um problema >bacaninho que vi em um cartaz : > >NUM TRIANGULO ABC, AB=5 e BC=6. QUAL A AREA DO TRIANGULO ABC SE O ANGULO >C E >MAXIMO ? > >OBS : O problema e de nivel medio. Portanto, nao vale usar derivadas ou >qualquer outro teorema ou raciocinio do CALCULO. > >Um Grande abraco a Todos ! >Paulo Santa Rita >5,1425,230502 > >PS : Po, Duda. Essa de acordar de manha, caminhando pra la e pra ca >retorcendo o bigode foi genial. To rindo ate agora ! > > >>From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: <[EMAIL PROTECTED]> >>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: >>[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da >>Iberoamericana(questao pessoal) >>Date: Thu, 23 May 2002 13:16:33 -0300 >> >>From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >> > Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que >>queremos >> > mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do >>problema. >> > Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de >>Y=RAIZ_N(X). >> > Essa foi a proposta de trabalho. >> > >> > Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. >> > >> > Um abracao >> > Paulo Santa Rita >> > 5,1156,230502 >> >>Caro amigo Paulo, >> >>eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para >>tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, >>precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma >>solução >>completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que >>poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente >o >>meu mal entendido. >> >>Um abraço! >> >>Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. >> >>PS. eu não possuo bigode. >>PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista >:) >> >>Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como >>funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem >>enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa >>matemática fantasma? >> >> >>= >>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >>= > > > > >_ >Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. >http://www.hotmail.com > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Uma soluçao bonitinha da IMO da India
PRIMEIRA PARTE:Para aplicar Erdös-Mordell neste problema,e bom que ponhamos tudo para dentro!Traçando os paralelogramos DEFM,NFAB,PBCD,e o triangulo XYZ tal que ZYe perpendicular a BP,XZ a DM e XY a FN,da para reescrever a desigualdade.Prove que XM+YN+ZP>=BN+BP+DP+DM+FM+FN. Essa e a proxima missao.ATEEE!Ploft!Peterdirichlet -- Mensagem original -- >Esse problema foi considerado "O Imortal"(o menos respondido de toda a historia >da IMO).apenas 2 romenos e 4 armenios resolveram-no.TODA A EQUIPE CHINESA >ZEROU ESSE.IMO 1996 > > > >Problem 5 > >Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB is parallel to DE, BC is parallel >to EF, and CD is parallel to FA. Let RA, RC, RE denote the circumradii of >triangles FAB, BCD, DEF respectively, and let p denote the perimeter of >the hexagon. Prove that: > >RA + RC + RE >= p/2. > > > >Solution > > >The starting point is the formula for the circumradius R of a triangle ABC: >2R = a/sin A = b/sin B = c/sin C. [Proof: the side a subtends an angle 2A >at the center, so a = 2R sin A.] This gives that 2RA = BF/sin A, 2RC = BD/sin >C, 2RE = FD/sin E. It is clearly not true in general that BF/sin A > BA >+ AF, although it is true if angle FAB >= 120, so we need some argument >that involves the hexagon as a whole. > >Extend sides BC and FE and take lines perpendicular to them through A and >D, thus forming a rectangle. Then BF is greater than or equal to the side >through A and the side through D. We may find the length of the side through >A by taking the projections of BA and AF giving AB sin B + AF sin F. Similarly >the side through D is CD sin C + DE sin E. Hence: > >2BF >= AB sin B + AF sin F + CD sin C + DE sin E. Similarly: > >2BD >= BC sin B + CD sin D + AF sin A + EF sin E, and > >2FD >= AB sin A + BC sin C + DE sin D + EF sin F. > >Hence 2BF/sin A + 2BD/sin C + 2FD/sin E >= AB(sin A/sin E + sin B/sin A) >+ BC(sin B/sin C + sin C/sin E) + CD(sin C/sin A + sin D/sin C) + DE(sin >E/sin A + sin D/sin E) + EF(sin E/sin C + sin F/sin E) + AF(sin F/sin A >+ sin A/sin C). > >We now use the fact that opposite sides are parallel, which implies that >opposite angles are equal: A = E, B = E, C = F. Each of the factors multiplying >the sides in the last expression now has the form x + 1/x which has minimum >value 2 when x = 1. Hence 2(BF/sin A + BD/sin C + FD/sin E) >= 2p and the >result is proved. > >Essa soluçao e a oficial.A mais bonita e a de Ciprian Manolescu,o unico > Perfect Score da prova.Ele usou a famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Depois >eu envio a resposta dele.ATE.Peterdirichlet > > > > > > >TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE >CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE >Medalha Fields(John Charles Fields) > > >-- >Use o melhor sistema de busca da Internet >Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l]Uma soluçao bonitinha da IMO da India
"Superar as proprias limitaçoes e dominar o universo Matematicos de todo o mundo reunidos prestam homenagem por obras notaveis".E uma inscriçao da Medalha Fields(de ouro maciço,acho).Na frente tem uma efigie de Arquimedes,seu nome em grego,e a primeira frase; atras tem uma esfera inscrita num cilindro,um ramo de uma certa planta(acho que e louro),e a segunda frase.E ai,gostou? TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Uma soluçao bonitinha da IMO da India
Esse problema foi considerado "O Imortal"(o menos respondido de toda a historia da IMO).apenas 2 romenos e 4 armenios resolveram-no.TODA A EQUIPE CHINESA ZEROU ESSE.IMO 1996 Problem 5 Let ABCDEF be a convex hexagon such that AB is parallel to DE, BC is parallel to EF, and CD is parallel to FA. Let RA, RC, RE denote the circumradii of triangles FAB, BCD, DEF respectively, and let p denote the perimeter of the hexagon. Prove that: RA + RC + RE >= p/2. Solution The starting point is the formula for the circumradius R of a triangle ABC: 2R = a/sin A = b/sin B = c/sin C. [Proof: the side a subtends an angle 2A at the center, so a = 2R sin A.] This gives that 2RA = BF/sin A, 2RC = BD/sin C, 2RE = FD/sin E. It is clearly not true in general that BF/sin A > BA + AF, although it is true if angle FAB >= 120, so we need some argument that involves the hexagon as a whole. Extend sides BC and FE and take lines perpendicular to them through A and D, thus forming a rectangle. Then BF is greater than or equal to the side through A and the side through D. We may find the length of the side through A by taking the projections of BA and AF giving AB sin B + AF sin F. Similarly the side through D is CD sin C + DE sin E. Hence: 2BF >= AB sin B + AF sin F + CD sin C + DE sin E. Similarly: 2BD >= BC sin B + CD sin D + AF sin A + EF sin E, and 2FD >= AB sin A + BC sin C + DE sin D + EF sin F. Hence 2BF/sin A + 2BD/sin C + 2FD/sin E >= AB(sin A/sin E + sin B/sin A) + BC(sin B/sin C + sin C/sin E) + CD(sin C/sin A + sin D/sin C) + DE(sin E/sin A + sin D/sin E) + EF(sin E/sin C + sin F/sin E) + AF(sin F/sin A + sin A/sin C). We now use the fact that opposite sides are parallel, which implies that opposite angles are equal: A = E, B = E, C = F. Each of the factors multiplying the sides in the last expression now has the form x + 1/x which has minimum value 2 when x = 1. Hence 2(BF/sin A + BD/sin C + FD/sin E) >= 2p and the result is proved. Essa soluçao e a oficial.A mais bonita e a de Ciprian Manolescu,o unico Perfect Score da prova.Ele usou a famosa Desigualdade de Erdös-Mordell.Depois eu envio a resposta dele.ATE.Peterdirichlet TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re:[obm-l]Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
ANSWER:quem comecou essa discussao esta aqui agora.E dizer que tudo isso foi um simples esfrega no moral de certas pessoas que nao pensam no que escrevem...Enfim,este trocitchoz comecou numa aula do Etapa com os professores Shine e Tengan(GRNDES Shine e Tengan).Eu naquela duvida com isso de uma aula de Divisibilidade,resolvi me inscrever nessa lista.So que demporei que so vendo...E ja tentei enviar essa mensagem pelo hotmail mas so dava html!E resolvi usar o Zipmail.Dai tive sucesso na de Eisenstein,enviei essa.Mas ai o Paulo resolveu de um jeito estranhissimo.O furo dessa e que como os reais sao densos nao da pra definir a divisao com perfeiçao(restos e etc.) Outra hora vou empentelhar-lhes a paciencia AT MAAAISPloft!!!Peterdirichlet -- Mensagem original -- >From: "Paulo Santa Rita" <[EMAIL PROTECTED]> >> Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que >queremos >> mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do >problema. >> Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). >> Essa foi a proposta de trabalho. >> >> Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. >> >> Um abracao >> Paulo Santa Rita >> 5,1156,230502 > >Caro amigo Paulo, > >eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para >tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, >precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma solução >completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que >poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente >o >meu mal entendido. > >Um abraço! > >Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. > >PS. eu não possuo bigode. >PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista >:) > >Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como >funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem >enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa >matemática fantasma? > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] (nenhum assunto)
ANSWER:Bem,a parte 1 sai por paridades.E so ver que n e n+1 nao sao ambos impares. A segunda parte e bem mecanica.Teste n(n+1)mod 10 na porrada ate achar um ciclo e prove que o digito final deste n(n+1) nao pode ser 4 ou 8. Ate mais!Peterdirichlet. -- Mensagem original -- >mostre que para todo n natural,1) o número n(n+1)/2 está em IN e que 2)seu >algarismo das unidades não pode ser 2, nem 4, nem 7, nem 9. >Obrigado >Korshinói > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
>ANSWER:Tudo bem.Antes,so uma coisa:quando eu falei do Professor Nicolau >Saldanha,nao quis dar uma ma impressao(*bem pelo contrario!!!).So fiz uma >comparaçao:ele,que e muito ocupado,ja que e um dos lideres da OBM,teve tempo >de responder-me um e-mail sobre os inteiros de Eisenstein e o problema 6 >da IMO 2001(alias ja troquei de servidor MILHARES de vezes por causa >disso.Tanto que ele so recebia mensagens minhas em HTML).E fiquei espantado >pela demora(sera que ninguem me respondia?)!!!Mas se isto teve um tom >pejorativo,perdoem-me.Afinal >letras nao conseguem expressar ideias com perfeiçao.Acabei sendo antipatico,mas >sem a menor ideia do que isso causaria. >O que eu realmente achei estranho foi o fato de ninguem(entre muitos de >voces) me responder ha tanto tempo(1 mes e meio,por volta disso),a nao ser >voce.Eu devia ter lhe respondido essa pergunta mas acabei cancelando sem >querer a mensagem de resposta(junto com meu login),comentando a genialidade >da ideia,que alias tinha um furo(esta das raizes cubicas.Eu tentei algo >com Teoria dos Numeros mas nao obtive exito.Voce usou graficos de funçoes.O problema era que a s funcoes eram discretas(naturais)e nao densas(reais).). >E desculpe-me mas esse problema da "primes cube-root" nao e iberoamericano.Eu >resolvi inclui-lo deliberadamente na lista.E nao especifiquei.E,a velha e boa pressa de sempre... >E -da proxima vez que eu for usar o SHIFT,vou pensar um pouco mais. >Bem,agora eu fui avisado.E muito obri-valeu por tudo > Atenciosa e enfadonhamente,ate!! >Peterdirichlet. >-- Mensagem original -- > >>Ola Dirichlet, >>Tudo legal ? >> >>Estou lhe respondendo particularmente por acredito que a inabilidade que >> >>voce demonstra ter nao me parece fruto de um carater distorcido, mas apenas >> >>as consequencias previsiveis de determinadas conjunturas sociais e >>familiares ... >> >>1) As pessoas da lista NAO SAO OBRIGADAS a responder qualquer mensagem. >Elas >> >>respondem as que querem. De forma que ao colocarmos um problema la devemos >> >>ter isso em mente. Se ninguem nos responder, E UM DIREITO DELES que deve >>e >>precisa ser respeitado, pois os nossos direitos terminam quando comecam >os >> >>dos outros. PORTANTO, SE NINGUEM LHE RESPONDER, NAO RECLAME ! >> >>2) Na lista esta o coordenador nacional, Prof Nicolau Saldanha, e muitos >>( >>senão todos ! ) coordenadores regionais. Se voce criticar pode ser que >no >> >>futuro, quando voce precisar, nao encontre tao boa vontade quanto >>encontraria se procurasse - respeitados os principios de dignidade e >>honradez - cativar as pessoas que leem suas mensagem, tornando uteis suas >> >>publicacoes. Assim, por prudencia, EVITE TECER COMENTARIOS NEGATIVOS SOBRE >> >>QUALQUER MEMBRO ESPECIFICO DA LISTA ! >> >>3)Se voce quer ver suas duvidas serem respondidas, procure SER HUMILDE. > >>HUMILDADE NAO E MEDIOCRIDADE. Muitas pessoas da lista tem muito mais estudo >> >>que voce, de forma que aquilo que para voce parece dificil pode ser facil >> >>para algum membro. Mas, se voce for arrogante e ironico, vai antipatizar >>com >>as pessoas e ninguem te respondera. >> >>Bom, meu : NUNCA DIGA QUE NINGUEM LHE AVISOU ! >> >>Um abraco >>Paulo Santa Rita >>6,1558,170502 >> >> >> >> >> >> >> >>>From: [EMAIL PROTECTED] >>>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>>To: [EMAIL PROTECTED] >>>Subject: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana >>>Date: Fri, 17 May 2002 14:04:55 -0300 >>> >>>ANSWER:Bem,apoveito e respondo o e-mail do Bruno.Bem,acho que o intuito >>>nao seria o de explora-los. Afinal,so porque NINGUEM RECEBE SALARIO nao >>>significa que nao possa responder.Fiquei espantado pela demora.Certa vez >>>o Nicolau me respondeu uma questao 1 semana depois que enviei o e-mail.E >>>agora fiquei mo cara sem resposta.Talvez nao me interpretei direito... >>>Mas se as questoes estavam mal-formuladas,por que nao me avisaram? >>>Corrigindo:1)p*q+r tambem pertence ao dito conjunto.E o r e o n sao >>>iguais(erros >>>de grafia e pressa). >>>3)Resto da DIVISAO,ta? >>>4)Eu modifiquei os enunciados(de modo imperceptivel:no lugar de lideres >>>da OIM estava representantes). Mas e isso mesmo,a ideia e IGUALZINHA >>>Meu,sera que me fiz claro? >>>Um abraço.Peterdirichlet >>> >>> >>> >>> >>> >>>-- Mensagem original -- >>> >>> >Ola Dirichlet, >>> > &g
[obm-l] Re: [obm-l] logaritmo de (-10)^2
E ai Werneck,beleza? Bem,se a banca definisse"...a funçao f:C->C...",ai tudo bem.Eu nao me lembro da definiçao agora mas tinha algo a ver com forma polar de complexos. Por hoje e so pessoaal!Peterdirichlet -- Mensagem original -- >Oi Pessoal! > >Caiu uma questão num concurso só para professores de >matemática ontem que me deixou intrigado: >Dada a função f: >f(x) = x + raiz(x^2) - log(base 10)(x^2) > >Calcule f(-10). > >A resposta foi -2. Mas depois da prova surgiu a maior >discussão porque existia uma alternativa que era >"f(-10) não está definida". > >O pessoal questinou que estando f(-10) definida, devia >valer a propriedade do expoente de logaritmo e >poderíamos escrever: >f(x) = x + raiz(x^2) - log(base 10)(x^2) >f(x) = x + raiz(x^2) - 2.log(base 10)(x) > >E aí vemos claramente que não podemos tirar o log de >-10. Mas como o gabarito da comissão organizadora foi >-2, ficamos todos na dúvida: está definida f(-10)??? > >Um abraço, > >Rafael. > >= >Rafael Werneck Cinoto > ICQ# 107011599 > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] >http://www.rwcinoto.hpg.com.br/ > >__ >Do You Yahoo!? >LAUNCH - Your Yahoo! Music Experience >http://launch.yahoo.com >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Trigo
Senhor Crom,que tal voce vir nos fazer uma visitinha aqui em Sao Paulo?Na Av.Paulista,predio da Gazeta.Ass.:Edson Abe. Bem,sen20/cos20+sen70/cos70=sen20/cos20+cos20/sen20=sen20*sen20 +cos20*cos20/sen20*cos20=2/sen40=2*cosec40=2*sec50. a outra ja e bem mais longa.Mas e so prostaferizar que sai.Dica:nunca use outra coisa alem de senos e co-senos. Ate mais.Celso Pitta -- Mensagem original -- >1)Calcular o valor de tg20.tg40.tg80 >2)Mostre que tg20+tg70=2sec50. >Agradeço quem ajudar nessas questões. > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] a. basica
ANSWER:Eu tenho o livrito da Iberoamericana.A dica e tentar completar o
quadrado.Ai se resolvem os dois trechos.Se nao entender me avise!
Um abraço.Peterdirichlet
-- Mensagem original --
>
>Ae, olha este problema:
>Seja P(x,y)=5x^2 -6xy +2y^2.
>a)determine qnts elementos de {1,2...,100} são valores de P.
>b)Prove q o produto de valores de P é um valor de P.
>Será que alguém pode me dar uma ajuda?
>Valeu!
> []´s
> Adherbal
>
>
>
>_
>Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel:
>http://mobile.msn.com
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
>=
>
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[obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana
ANSWER:Bem,apoveito e respondo o e-mail do Bruno.Bem,acho que o intuito nao seria o de explora-los. Afinal,so porque NINGUEM RECEBE SALARIO nao significa que nao possa responder.Fiquei espantado pela demora.Certa vez o Nicolau me respondeu uma questao 1 semana depois que enviei o e-mail.E agora fiquei mo cara sem resposta.Talvez nao me interpretei direito... Mas se as questoes estavam mal-formuladas,por que nao me avisaram? Corrigindo:1)p*q+r tambem pertence ao dito conjunto.E o r e o n sao iguais(erros de grafia e pressa). 3)Resto da DIVISAO,ta? 4)Eu modifiquei os enunciados(de modo imperceptivel:no lugar de lideres da OIM estava representantes). Mas e isso mesmo,a ideia e IGUALZINHA Meu,sera que me fiz claro? Um abraço.Peterdirichlet -- Mensagem original -- >Ola Dirichlet, > >Ninguem respondeu, MUITO PROVAVELMENTE, porque as suas questoes, > >1) Estao mal formuladas. Por exemplo, voce escreveu : > >>5)Sabe-se que num conjunto de primos se p e q sao elementos(iguais ou >> >nao)entao p*q+r,em que r e constante.Quantos elementos tem S com >>n=4?>Generalize o r. > >p*q+r O QUE ? E ESSE n=4, O QUE E ? > >Essa mal formulacao EVIDENTE impossibilita uma solucao pode ter lancado uma > >descrenca quanto a correcao do enunciado das demais questoes. > >2) A maioria delas ja tem solucao nos arquivos de mensagens que o Prof >Nicolau guarda. por exemplo, voce escreveu : > >>1)Ache todos os naturais n de 3,2 ou 1 digito tal que o quadrado de n >seja > >>o cubo da soma dos digitos. > >Esta questao ( ou outra semelhante ) ja foi respondida e a solucao esta no > >arquivos de mensagens a que me referi acima. La voce vai ver uma linha de > >raciocinio proxima de : > >(a+b)^3=(10a+b)^2 => a+b = [(10a+b)/a+b]^2 e portanto "a+b" e quadrado >perfeito e a+b divide 10a+b. Como a+b =< 18, os possiveis valores quadrado > >de a+b serao ... > >>3)L>0 e tal que -L^2+1998*L+1=0.Seja a recorrencia a(0)=1 e a(n+1)>parte > >>inteira de L*a(n)=[L*a(n)].Calcule a(1998)mod 1998(x mod y e o >resto de >x >>por y). > >RESTO DE QUE ? ADVINHANDO ... Se x e a unica solucao positiva da equacao >do >2 grau do enunciado de sua questao e [x] e a funcao maximo inteiro, o >problema consiste em determinar o valor de > >[x...[x[x[x]]]...] > >com 1998 colchetes. como >[x] = k se k =< x < K+1 >entao [x[x]] e a anlise de [kx] e assim sucessivamente. ESTA QUESTAO JA FOI > >RESOLVIDA NA LISTA ! > >>4)na mesa da banca de lideres da OIM estao lideres de P paises de modo >>que se dois lideres quaisquer sao de mesmo pais entao seus vizinhos >> >direitos nao sao.Quantos lideres ha no maximo ? > >FALTAM INFORMACOES ! Se P=3, sejam A,B e C lideres, dispostos ao longo de > >uma mesa nesta ordem. Posso sempre inserir entre dois deles o terceiro, de > >forma que a direita de cada um nao havera duplicacao. EVIDENTEMENTE que este > >processo pode ser extendido AD INFINITUM ! > >Meu, que coisas sao essas?Ate agora ninguem ENTENDEU !! > >Um abraco >Paulo Santa Rita >5,1827,160502 > >>From: [EMAIL PROTECTED] >>Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >>To: [EMAIL PROTECTED] >>Subject: [obm-l] Apelo: Mais da Iberoamericana >>Date: Thu, 16 May 2002 14:21:45 -0300 >> >>Meu,que coisa e essa?Ate agora ninguem me respondeu >> >>-- Mensagem original -- >> >> >Alo turma!!Tenho mais perguntas a fazer(da Iberoamericana): >> >1)Ache todos os naturais n de 3,2 ou 1 digito tal que o quadrado de n > >>seja >> >o cubo da soma dos digitos. >> >2)Encontre o menor n tal que se pegarmos n dos 999 primeiros inteiros > >>positivos >> >sempre se acham 4 numeros diferentes a,b,c,d com a+2*b+3*c-4*d=0. >> >3)L>0 e tal que -L^2+1998*L+1=0.Seja a recorrencia a(0)=1 e a(n+1)=parte >> >inteira de L*a(n)=[L*a(n)].Calcule a(1998)mod 1998(x mod y e o resto >de >> >x por y). >> >4)na mesa da banca de lideres da OIM estao lideres de P paises de modo >>que >> >se dois lideres quaisquer sao de mesmo pais entao seus vizinhos direitos >> >nao sao.Quantos lideres ha no maximo? >> >5)Sabe-se que num conjunto de primos se p e q sao elementos(iguais ou > >>nao)entao >> >p*q+r,em que r e constante.Quantos elementos tem S com n=4?Generalize >o >> >r. >> > >> >TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE >> >CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE >> >Medalha Fields(John Charles Fields) >> > >> > >> >-- >> >Use o melhor sistema de busca da Internet >> >Radar UOL - http://www.radaruol.com.br >> > >> > >> > >> >= >> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >> >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >> >= >> > >> >>TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE >>CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE >>Medalha Fields(John Charles Fields) >> >> >>-- >>
[obm-l] Apelo: Mais da Iberoamericana
Meu,que coisa e essa?Ate agora ninguem me respondeu -- Mensagem original -- >Alo turma!!Tenho mais perguntas a fazer(da Iberoamericana): >1)Ache todos os naturais n de 3,2 ou 1 digito tal que o quadrado de n seja >o cubo da soma dos digitos. >2)Encontre o menor n tal que se pegarmos n dos 999 primeiros inteiros positivos >sempre se acham 4 numeros diferentes a,b,c,d com a+2*b+3*c-4*d=0. >3)L>0 e tal que -L^2+1998*L+1=0.Seja a recorrencia a(0)=1 e a(n+1)=parte >inteira de L*a(n)=[L*a(n)].Calcule a(1998)mod 1998(x mod y e o resto de >x por y). >4)na mesa da banca de lideres da OIM estao lideres de P paises de modo que >se dois lideres quaisquer sao de mesmo pais entao seus vizinhos direitos >nao sao.Quantos lideres ha no maximo? >5)Sabe-se que num conjunto de primos se p e q sao elementos(iguais ou nao)entao >p*q+r,em que r e constante.Quantos elementos tem S com n=4?Generalize o >r. > >TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE >CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE >Medalha Fields(John Charles Fields) > > >-- >Use o melhor sistema de busca da Internet >Radar UOL - http://www.radaruol.com.br > > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Mais da Iberoamericana
Alo turma!!Tenho mais perguntas a fazer(da Iberoamericana): 1)Ache todos os naturais n de 3,2 ou 1 digito tal que o quadrado de n seja o cubo da soma dos digitos. 2)Encontre o menor n tal que se pegarmos n dos 999 primeiros inteiros positivos sempre se acham 4 numeros diferentes a,b,c,d com a+2*b+3*c-4*d=0. 3)L>0 e tal que -L^2+1998*L+1=0.Seja a recorrencia a(0)=1 e a(n+1)=parte inteira de L*a(n)=[L*a(n)].Calcule a(1998)mod 1998(x mod y e o resto de x por y). 4)na mesa da banca de lideres da OIM estao lideres de P paises de modo que se dois lideres quaisquer sao de mesmo pais entao seus vizinhos direitos nao sao.Quantos lideres ha no maximo? 5)Sabe-se que num conjunto de primos se p e q sao elementos(iguais ou nao)entao p*q+r,em que r e constante.Quantos elementos tem S com n=4?Generalize o r. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Medalha Fields(John Charles Fields) -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Será??
E la vou eu de novo...Para o primeiro veja que a maior potencia de um certo primo p que divide n! e:[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+... Para o segundo,uma ideia e agrupar os 9 primeiros e ver no que da.Depois meio que de PIF voce continua. FALOWS!!Peterdirichlet -- Mensagem original -- >Resolvi , mas achei muito longoserá que tem um segredinho que encurta > >esses exercicios de olimpíadas Russas de 1940 e 1950? As olimpíadas hoje >em >dia são muito mais dificeis ou é impressão minha? Se forem mais >dificeis...por que? >1) Com quantos zeros termina o numero que é produto de todos os inteiros >de 1 >a 100, inclusive?? > 2)Dados 27 pesos de valores 1^2, 2^2, 3^2,27^2 unidades. Agrupe esses > >pesos em tres conjuntos que tenham peso igual.( obs. o mesmo problema poderia > >ser resolvido para o caso de 1998 pesos e valores 1^2, 2^2,3^2,,1998^2.). > Valeu rapaziada! > Crom > -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] conferir....
ANSWER:1)tente ver divisibilidade por 77 e desigualdades elementares. -- Mensagem original -- >1)Determine o menor inteiro positivo a para o qual a equação >1001x+770y=100+a possui solução inteira e mostre que que há 100 soluções > >inteiras positivas. >2)Calcule o valor de 1/1*2+1/2*3++1/(n-1)*n >Valeu > -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Algumas da Iberoamericana.SEGUNDO PROBLEMA PARA A LISTA
Ah.turma,to com a prova da Iberoamericana aquoi na mao,e tenho problemas serios neles.Ai vai!!! 1.Temos 98 pontos sobre uma circunferencia.Maria e Jose fazem um jogo assim:cada um deles traça uma corda ligando dois dos pontos dados que nao tenham sido ligados entre si antes.O jogo acaba quandoos 98 pontos forem usados como extremos de segmentos pelo menos 1 vez.Quem fizer o ultimo traço ganha.Defina uma estrategia vencedora se ela existir. 2.B e um inteiro maior que 10 que so tem 1,3,7,9 como digitos decimais.Prove que B tem um fator primo maior que 11.(o que consegui chegar foi nisso:se p>11 acarretasse B/p nao inteiro,entao os unicos fatores primos de B sao 3 e 7.Oras,5 nao pode,ja que 5*K==0 ou 5(mod 10).E 2 tambem nao,ja que 2*k==0,2,4,6,8 (mod 10). Problema:seja ABC um triangulo de incentro I.Nele se desenha o circuncirculo de BIC.Ache o ponto I sabendo desse circuncirculo e do ABC usando uma regua lisa. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[no subject]
-- Mensagem original -- >(CMO-1996) >Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que : >1/(n+1)*( 1+1/3++1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...+1/2n). >2) se x,y,z são números postivos, mostre que >x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z. >3)Se x+y+z=1, comx,y,z positivos, mostre que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27. >4)(CMO-1997) Prove que >1/1999<1/2*3/4*5/6*.*1997/1998<1/44. > Se alguem fizer algum ou todos( risos ), eu agradeço! > Crom > >(CMO-1996) >Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que : >1/(n+1)*( 1+1/3++1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...+1/2n). >2) se x,y,z são números postivos, mostre que >x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z. >3)Se x+y+z=1, comx,y,z positivos, mostre que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27. >4)(CMO-1997) Prove que >1/1999<1/2*3/4*5/6*.*1997/1998<1/44. > Se alguem fizer algum ou todos( risos ), eu agradeço! > Crom > >(CMO-1996) >Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que : >1/(n+1)*( 1+1/3++1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...+1/2n). >2) se x,y,z são números postivos, mostre que >x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2>=y/x+z/y+x/z. >3)Se x+y+z=1, comx,y,z positivos, mostre que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27. >4)(CMO-1997) Prove que >1/1999<1/2*3/4*5/6*.*1997/1998<1/44. > Se alguem fizer algum ou todos( risos ), eu agradeço! > Crom > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS
Prove que nao e possivel que 3 raizes cubicas de primos diferentes possam ser termos(nao necessariamente consecutivos)de uma mesma PA. _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[no subject]
4.Use a^3+b^3 algumas vezes.As outas digo outro dia. -- Mensagem original -- >oi >ae, alguem poderia me dar um help nessas questoes? >1. se p eh primo e pn+1 eh quadrado perfeito ,mostre que n+1 eh a soma de >p >quadrados perfeitos. >2.se a e b são inteiros consecutivos,mostre que a^2 +b^2 +(ab)^2 eh quadrado > >perfeito. >3.se N estah entre 2 quadrados perfeitos sucessivos e difere detes por x >e y >,respectivamente,prove que N-xy eh quadrado perfeito. >4.fatore (b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 >5.supondo que n (inteiro) eh a soma de dois nºs triangulares, >n=a^2+a/2 + b^2 +b/2 >expresse 4n+1 como soma de 2 quadrados. reciprocamente, se 4n+1 eh a soma >de >2 quadrados ,prove que n eh a soma de 2 numeros triangulares. > > Muito obrigado >Adherbal > > > > >_ >O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: >http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re:simetria e desigualdade
ANSWER:A definiçao de simetria e de que se voce troca duas variaveis de lugar a expressao nao muda.Por exemplo x^2+z^2 e simetrico. As ideias basicas de simetria sao:poder ordenar os elementos a seu bel-prazer;e poder escrever tudo em cima das relaçoes de Girard.E assim:a soma das N variaveis e A1,a soma dos produtos das N variaveis 2 a 2 e A2,a soma dos produtos das N variaveis 3 a 3 e A3,...,o ´produto das N variaveis e AN.Qualquer expressao simetrica pode ser escrita usando os A's.Por exemplo x^2+y^2=A1^2-2*A2.Depois te mando um problema sobre simetria,certo? Quanto a desigualdade vou ficar devendo mas dou uma dica:(2x+yz+2xz+2yx)^2>=0. -- Mensagem original -- >Ola pessoal. Sou novo na lista e gostaria de sugestões para o probleminha: >Para x, y,z reais, 4x(x+y)(x+z)(x+y+z) + y^2z^2>= 0. >Qual a idéia básica para desigualdades simétricas? Alguém poderia dar exemplos >pra eu saber como funciona? > Valeu > _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Casa dos Papagaios
Algumas coisas de Casa de Pombo que estao me atormentandoo: 01)Seja (a(i))(0r,q>s e q+(q+p)^2=s+(s+r)^2. 04)Sera que eu poderia enviar problemas diversos(que eu ja sei resolver)tais que toda a turma pudesse treinar para as olimpiadas? Ate mais!Dirichlet. _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] AJUDA URGENTE
Oi turma,e eu de novo.Mais tretas por e-mail: 01)Seja S um natural.A cada segundo somamos 45 ou 77,arbitrariamente.Prove que alguma hora seus dois digitos finais sao iguais. 02)Teorema de Sierpinski:prove que ha um k inteiro positivo tal que 1+k*2^n=f(n)jamais e primo,e ha k tal que f(n)-2 sempre e composto. 03)Teorema de Wolstenholme:H(x)e o x-esimo numero harmonico(a soma dos inversos dos naturais de 1 ate x).Se p>=5 e primo e b*H(p-1)=a,com a e b coprimos,prove que p^2 divide a. 04)Resolva (p-1)!+1=p^n,p primo e k natural. 05)Ache todos os n tais que n^2 divida 1+2^n. Seja x>1.Prove que ha um primo p tal que p divide (2^phi(2x+1))-1 mas nao divide 2x+1. 06)Numa festa cada garota dança com um ou mais garotos e cada garoto nao dança com todas as garotas.Prove que ha dois casais bg e b'g' que dançam,em que bg' e gb' nao dançam.Ah,b de boy e g de girl. 07)Considere n>=3 retas no plano euclidiano em posiçao geral.Elas determinam mais de n-3 triangulos. 08) _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re:Noruega(ALGEBRA)
Faça x=y+A e ache um jeito de simetrizar essa coisa linda ate aparecer algo como (y-t)*(y+t) e dai te vire!!Ass.:Dirichlet. -- Mensagem original -- >Olá pessoal, eu estava tentando resolver alguns problemas e não cheguei a >um >resultado possível para esse: > >(Noruega-1994) Resolva a equação (x +1995)(x +1997)(x +1999)(x +2001) +16 >= >0 > >Qualquer ajuda é bem-vinda ! >Dimitri > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re:Noruega(ALGEBRA)
Faça x=y+A e ache um jeito de simetrizar essa coisa linda ate aparecer algo como (y-t)*(y+t) e dai te vire!!Ass.:Dirichlet. -- Mensagem original -- >Olá pessoal, eu estava tentando resolver alguns problemas e não cheguei a >um >resultado possível para esse: > >(Noruega-1994) Resolva a equação (x +1995)(x +1997)(x +1999)(x +2001) +16 >= >0 > >Qualquer ajuda é bem-vinda ! >Dimitri > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Quaternios e teorema dos primos
Para todos da lista;tem como me enviarem algo dos quaternios(propriedades e teoremas em geral)e uma demonstraçao elementar do Teorema dos Primos(basta enviar um pouco por dia). ValeuDirichlet. _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Outra vez re:CRUX
Era exatamente isso o que acontecia.So que eu recebi um e-mail assim:os dados que eu enviei para la(nome,endereco...)e so.Entao,como se faz esse treco de senha? Valeu,Peterdirichlet -- Mensagem original -- >- Original Message - >From: <[EMAIL PROTECTED]> >To: Paulo Rodrigues <[EMAIL PROTECTED]> >Sent: Monday, April 15, 2002 4:06 PM >Subject: RE de RE:CRUX > > >> Muito obrigado Paulo.Mas to com um problema:eu acesso os campos so para >> inscritos e mesmo assim nao entra(JA mE INSCREVI,CLARO)!Se voce tiver como >> me responder,beleza!!! >> > >Já se inscreveu como? Só para a versão on-line? Lembro que quando comecei >(faz bastante tempo) tive que mandar um e-mail solicitando a habilitação >de >uma senha para a internet. > >Quando você acessa as páginas restritas aparece uma senha com login e senha. > >Abraços, Paulo > > _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Problemas diversos para declamar(by Shine,Anderson,ETAPA e cia.)
Agora o Saldanha nao tem desculpa 01)Para o JP:Se a>b>c>d>0 sao naturais com ac+bd=(b+d-a+c)(b+d-a+c)prove que ab+cd nao e primo.E que o bendito Tengan nao completou a resposta(ele usou os inteiros de Eisenstein para provar que ab+cd nao era "primo de Eisentein".Mas dai ele parou.E agora? 02)Agora conta do seu cxaso com os complexos,JP. 03) _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[no subject]
Oi todos!!! Tenho perguntas crueis e matadoras na mao(ou no mail...) 01)Como posso assinar a CRUX Mathematicorum? 02)Se S e um conjunto de primos tal que se p,q sao de S(p=q ou p>q) entao pq+4 tambem esta em S,quantros elementos S tem?Generalize o 4. 04)Se x+y+z=1 para x,y,z reais >0,prove que 27(xxy+yyz+zzx)<=4 e determine a igualdade. 05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de 4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? 06)Como faço para abrir os artigos ps e zip da Semana Olimpica? _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re:primos
Esse assunto tem tudo a ver com primos de Mersenne.Se p e o menor primo que divide n,entao 2^n-1=2^(p*a)-1 para algum a natural.Logo 2^n-1=(2^a)^p-1^p e isso e divisivel por 2^a-1.Se a>1.entao 2^a-1>0.E fim!!! -- Mensagem original -- >Oi, >Alguem poderia me ajudar a desenvolver? > >1) Mostre que se 2^n -1 e' primo, entao n e' primo. > > >Obrigado, >Anderson > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > _ eMTV: receba a mordomia eletrônica! http://mtv.uol.com.br/emtv = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Help me please
Ola turma,sou eu de novo!Tenho umas duvidas: a)Em um certo conjunto de primos S,sabe-se que se p,q sao de S, entao pq+4 tambem esta.Quantos elementos S pode ter? b)Seja f(n)o ultimo algarismo nao-nulo de n!.f(n)e periodica a partir de certo ponto? c)Prove que existem infinitos n naturais tais que n^2+1 divida n!. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
