Re: [obm-l] Re: geometria CN
Uma maneira simples de resolver é observar a razão entre as áreas: x = AD, y = DC S[AED]/S[ABC] = 1*x/3*(x+y) 1/2 = x/(3x+3y) x = 3y Logo, AD/DC = 3 = AD/AC = 3/4
Re: [obm-l] Problema legal
A cada jogada teremos retirado mais um número ímpar de caroços, logo para retirarmos um número par de caroços devemos fazer um número par de jogadas. Logo, terminaremos de retirar os 2002 caroços em uma jogada de número par, portanto Barney ganhará.
Re: [obm-l] Quesito da Escola Naval
Como x-2 = x-1-1,f(x-1) = [sen(x-1-1)]^2Substituindo x-1 por x+1,f(x+1) = [sen(x+1-1)]^2f(x+1) = (senx)^2
Re: [obm-l] Equação da Reta
As soluções que usei:1) Seja 2A o ângulo que a reta de equação y = 3x forma com a reta de equação y = 0 (0Api/4). Então, a equação da reta procurada é y = x*tgA e tg(2A) = 3. Como tg(2A) = (2tgA)/[1 - (tgA)^2], temos que 3 = (2tgA)/[1 - (tgA)^2] = 3*(tgA)^2 + 2*tgA - 3 = 0. Para 0tgA1, temos tgA = [-1 + sqrt(10)]/3, logo a equação da reta procurada é y = x[-1 + sqrt(10)]/3. 2) Considerando o triângulo formado pelas retas dadas e a reta que une os pontos (1;3) e (sqrt(10);0), sabemos que ele é um triângulo isósceles, logo a bissetriz é perpendicular à base, e como a base tem coeficiente angular (0 - 3)/[sqrt(10) - 1] = -3/[-1 + sqrt(10)], a bissetriz procurada tem equação y = x[-1 + sqrt(10)]/3.
Re: [obm-l] OBM Júnior 97
Podemos reescrever a inequação como:21q 30p 22qLogo, existe múltiplo de 30 entre 21q e 22q, e para que isso aconteça o menor valor para q é 7.Resposta: B
Re: [obm-l] ua qstao
Da situação I, você não pode concluir apenas que 1 = x^2 - 4, pois se (x^2 - 2) = (x^2 - 4)*(x^2 - 2), então também pode ocorrer x^2 - 2 = 0, pois 0 = (x^2-4)*0. É por isso que na primeira solução não aparece a possibilidade de x = -sqrt(2) ou x = sqrt(2).
Re: [obm-l] Alguém ajuda?
Essa soma é igual a [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10^2 + 11] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10 + 101] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9) + 110] = (4400 + 11) + (440 + 101) + (44 + 110) = 4884 + 222 = 5106.
Re: [obm-l] Alguém ajuda?
Corrigindo o e-mail anterior:Essa soma é igual a [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10^2 + 9*11] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9)*10 + 9*101] + [(0 + 2 + 3 + ... + 9) + 9*110] = (4400 + 99) + (440 + 909) + (44 + 990) = 4884 + 1998 = 6882.
Re: [obm-l] geometria plana Q70
Pelo triângulo ABC, AC AB + AC = AC 6.Pelo triângulo ADC, AC |AD - AC| = AC 4.Pelo triângulo BDC, BD 6.Pelo triângulo ABD, BD 4.Assim, 4 AC 6 e 4 BD 6, logo a diagonal que tiver como medida um número inteiro deve medir 5.
Re: [obm-l] PROBLEMA DE GEOMETRIA PLANA - S61
Os triângulos ABE e BED são congruentes de tal forma que o ângulo AEB é igual ao ângulo BED, pois AB = BD e o ângulo ABE é igual ao ângulo EBD, além de terem o lado BE em comum. Sabendo que os ângulos BAE e ABC tem a mesma medida, e sendo o ângulo ABE alfa, o ângulo BEA é 180° - 3alfa e o ângulo BED é 2alfa, então alfa é igual a 36°, portanto o ângulo AEB é 72°.
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Existe uma forma para resolver o problema sem usar relações métricas no triângulo?
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Será que, sendo H a projeção de A sobre a reta suporte do segmento BC e D a intersecção da bissetriz do ângulo BAC com o segmento BC, então se a intersecção da bissetriz do ângulo DAH com o segmento DH é C, a razão DB/DC é máxima?
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Na mensagem anterior, eu quis dizer que o ponto H é a projeção ortogonal do ponto A sobre a reta BC.
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Finalmente consegui resolver a questão:Seja AB/AC = k. Consideremos dois pontos M e N que dividam harmonicamente o segmento BC na razão k. Assim, A pertence à circunferência de diâmetro MN (Círculo de Apolonius), portanto é necessário que o raio r dessa circunferência seja tal que r = ha, logo r = 8. Também, como r = k*AB/|k^2 - 1|, devemos ter 8 = k*AB/|k^2 - 1|, assim, k tem o maior valor possível para k = 1 + sqrt(2).
Re: [obm-l] Questão de Geometria Plana
Me confundi na mensagem anterior, r = k*BC/|k^2 - 1|.
Re: [obm-l] trigonometria
Fazendo 2npi/(2n+1) = y, sabemos que sen(y) = sen(pi - y), logo:sen(2npi/(2n+1)) = sen(pi - 2npi/(2n+1)) = sen(pi/(2n+1))
[obm-l] Questão de Geometria Plana
Essa é a questão 37 do livro Geometria II de A. C. Morgado, E. Wagner e M. Jorge. Gostaria de uma ajuda para resolver: Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima: A) 2 B) 3 C) 3/2 D) 4/3 E) N.R.A
[obm-l] Re:
Seja A o ângulo formado com o chão (0 A pi/2) e F o módulo da força aplicada. A soma dos módulos dos componentes do vetor força é FsenA + FcosA. Essa soma é máxima se o quadrado de seu valor é máximo. Seu valor ao quadrado é F^2[sen^2(A) + 2senAcosA + cos^2(A)] = F^2[sen(2A) + 1], logo é máximo se 2A = pi/2, para que sen(2A) seja máximo, o que ocorre se A = pi/4 = 45°.
Re: [obm-l] Problema de geometria plana (56)
1) Desenhe as bissetrizes internas de um triângulo ABC e o encontro delas será o incentro. Desenhando os segmentos OA, OB e OC, teremos o triângulo AOB com os ângulos AOB, A/2 e B/2, o triângulo BOC com os ângulos BOC, C/2 e B/2, e o triângulo AOC com os ângulos AOC, A/2, B/2. Assim: Do triângulo AOB: AOB = 180° - A/2 - B/2 = 180° - (A + B)/2 = 180° - (180° - C)/2 = 90° + C/2.Do triângulo BOC: BOC = 180° - B/2 - C/2 = 90° + A/2Do triângulo AOC: AOC = 180° - A/2 - C/2 = 90° + B/22) Com as divisões dos triângulos AOB, AOC e BOC, onde O é o incentro, sabemos que (pela observação da questão 1) algum dos ângulos 90° + A/2, 90° + B/2 e 90° + C/2 deve ser igual a um dos ângulos A, B ou C, pois algum dos triângulos AOB, AOC e BOC deve ser semelhante a ABC. Seja BOC o triângulo semelhante. Não é possível 90° + A/2 = A, pois A 180°, mas é possível que 90° + A/2 = B ou 90° + A/2 = C. Suponhamos que 90° + A/2 = B. Assim, 90° + A/2 = B = 2B - A = 180° = 180° - A - B = B - 2A = C = B - 2A. Não é possível que B/2 = A, pois C 0°, então B/2 = C, donde C = 2A, B = 4A. A + B + C = 180° = A + 2A + 4A = 180° = A = (180/7)°, B = (720/7)° e C = (360/7)°.
Re: [obm-l] P.A.
Eu fiz assim:Seja a o primeiro termo, r a razão e l o último termo. Então:n[2a + (n-1)r]/2 = 50n(2a - r + nr) = 100 ... (1)Também:n[2l + (n-1)(-r)]/2 = 140n[2(a + 2nr) - nr + r] = 280n(2a + r + 3nr) = 280 ... (2) Subtraindo (2) e (1):n(2r + 2nr) = 180nr(n + 1) = 90 = 2*(3^2)*5Como n e n + 1 são divisores de 90 e 2 r 13, n = 5, e portanto r = 3.Substituindo n = 5 e r = 3 em (1) temos que a = 4.Como l = a + 2nr, l = 34.
Re: [obm-l] Tres Problemas Olimpicos
Vi no livro Olimpíadas Matemáticas Rusas outra solução para esse problema. A solução é parecida com isso:Admitindo as condições dadas como verdadeiras, e sabendo que a, b, -c e -d raízes do polinômio (x-a)(x-b)(x+c)(x+d) = x^4 + a1x^3 + a2x^2 + a3x + a4, então: -a1 = a + b - c - d 0a2 = ab + cd - ac - ad - bc - bd 0-a3 = -abc - abd + acd + bcd 0a4 = abcd 0Como todos os coeficientes do polinômio são positivos, não é possível ter raízes positivas, o que é um absurdo, pois admitimos a 0 e b 0. Assim, não existem quatro reais positivos que satisfaçam todas as condições.
Re: [obm-l] questasinha
Se a idade do cachorro é c, então, pelo que o pai disse:c + 5 = 2(c - 5) = c = 15
Re: [obm-l] 3 problemas
1) Sendo o ano em que a neta nasceu igual a 1000 + 100A + 10B + C, sendo A, B e C algarismos, então a idade dela é 10B + C. Sendo o ano em que a avó nasceu igual a 1000 + 100X + 10Y + Z, sendo X, Y e Z algarismos, então a idade dela é 10Y + Z. Assim, 10Y + Z 10B + C.Também:10B + C = 1938 - (1000 + 100A + 10B + C)100A + 20B + 2C = 93850A + 10B + C = 469Como A, B e C são algarismos, devemos ter C = 9.50A + 10B = 460Agora, há 2 possibilidades: A = 9 e B = 1 ou A = 8 e B = 6.Analogamente encontramos que X = 9 e Y = 1 ou X = 8 e Y = 6.Mas 10Y + Z 10B + C = 10Y + 9 10B + 9 = Y B, logo devemos ter Y = 6 e B = 1.Portanto, as idades da avó e da neta serão, respectivamente, 69 e 19. 2) Seja o número inicial 10 + 1A + 1000B + 100C + 10D + E, onde A, B, C, D e E são algarismos. Assim, ele modificado será 10A + 1B + 1000C + 100D + 10E + 1. Como o modificado é o triplo do inicial: 10A + 1B + 1000C + 100D + 10E + 1 = 3(10 + 1A + 1000B + 100C + 10D + E)7A + 7000B + 700C + 70D + 7E - 29 = 01A + 1000B + 100C + 10D + E - 42857 = 01A + 1000B + 100C + 10D + E = 42857 Como A, B, C, D e E são algarismos, devemos ter:A = 4, B = 2, C = 8, D = 5 e E = 7.Portanto, o número inicial é 142857.3) Seja 10A + B o número do primeiro marco, onde A e B são algarismos. Assim, o número do segundo marco é 10B + A e o do terceiro é 100A + B. A distância percorrida entre um marco e outro foi a mesma, pois o intervalo de tempo foi o mesmo e a velocidade constante, e 10A + B 10B + A 100A + B. Assim: 10B + A - (10A + B) = 100A + B - (10B + A)9B - 9A = 99A - 9B108A = 18B6A = BSó existem dois algarismos diferentes onde um é seis vezes o outro: o 6 e o 1. Assim, devemos ter A = 1 e B = 6. Então encontramos que o primeiro marco é 16, o segundo 61, e o terceiro 106.
