Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.
-- From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos. Date: Sun, Aug 10, 2003, 8:23 AM On Sun, Aug 10, 2003 at 02:08:56AM -0300, Eduardo Wagner wrote: Nao ha duvida sobre o que esta escrito acima. Entretanto, ha um pedaco de frase assim: e ja sabemos o que estas curvas sao. Sim! Nos sabemos, mas os alunos provavelmente nao. Como não? No ensino médio eles sabem. Eu estranho a idéia de estudar cônicas de forma puramente grega, sem mencionar que estas são as curvas de grau 2. Eu nao disse isto. Os alunos conhecem as curvas do segundo grau mas nao sao capazes de identificar as secoes no cone com elas uma vez que a geometria analitica no espaco nao faz parte do programa de matematica do ensino medio do nosso pais. Coordenadas no R3 so existe aqui no Rio de Janeiro e, ainda assim, de forma muito elementar; equacao da reta e do plano e nada mais. Ja que fui citado (ou provocado) em mensagem anterior, quero dizer que os alunos podem perfeitamente conhecer as conicas muito antes de estarem familiarizados com a geometria analitica no espaco, translacoes e rotacoes. E isto eh muito bom. Conhecer desde cedo as curvas e suas diversas formas, definidas por um unico numero chamado excentricidade. A demonstracao legal que usa as esferas eh totalmente elementar e permite obter um resultado surpreendente que vai agora para a beleza matematica da lista. Só para pacificar um pouco, eu também gosto muito da demonstração com as esferas, não estou de forma alguma querendo sugerir que a demonstração que apresentei (de natureza algébrica) deva eliminar a demonstração de natureza mais geométrica. Mas eu me lembro de, ao descobrir a demonstração algébrica, ter tido aquela sensação de isto é tão simples, pq me esconderam isso durante tanto tempo?... Para pacificar totalmente eu talvez diria que voce deve ter tido bons professores. Eles tiveram a nocao do que um aluno do ensino medio pode compreender com as ferramentas que possuem na ocasiao, e deixar um mundo de decobertas surpreendentes para depois, quando tiveram mais maturidade e conhecimento. E isto foi muito bom. Abraco, Wagner. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.
-- From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos. Date: Sat, Aug 9, 2003, 10:37 PM On Sat, Aug 09, 2003 at 08:42:04PM -0300, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Os teoremas a respeito de as seçoes do cone por planos que nao contem o vertice serem elipses, parabolas ou hiperboles foram demonstrados por dois belgas, Quetelet e Dandelin, e sao conhecidos por muitos como os teoremas belgas. As demonstraçoes sao particularmente elegantes e surpreendentemente simples, principalmente se expostas no quadro-negro pelo Wagner. Ok. A demonstração do Wagner deve ser uma que envolve desenhar umas esferas. É legal, mas não é minha demonstração favorita deste fato. Por mim a demonstração certa consiste em observar que o cone tem equação de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau. Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos, também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z). Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são. Observe que assim também demonstramos que a interseção de um parabolóide ou um hiperbolóide com um plano também é uma cônica. Em particular, a interseção de um hiperbolóide de revolução de uma folha (x^2 + y^2 = 1 + z^2) com um plano tangente tem um ponto duplo, logo é um par de retas. []s, N. Nao ha duvida sobre o que esta escrito acima. Entretanto, ha um pedaco de frase assim: e ja sabemos o que estas curvas sao. Sim! Nos sabemos, mas os alunos provavelmente nao. Ja que fui citado (ou provocado) em mensagem anterior, quero dizer que os alunos podem perfeitamente conhecer as conicas muito antes de estarem familiarizados com a geometria analitica no espaco, translacoes e rotacoes. E isto eh muito bom. Conhecer desde cedo as curvas e suas diversas formas, definidas por um unico numero chamado excentricidade. A demonstracao legal que usa as esferas eh totalmente elementar e permite obter um resultado surpreendente que vai agora para a beleza matematica da lista. Em um cone (duplo) as geratrizes fazem angulo X com o eixo do cone e um plano corta esse cone fazendo angulo Y com o eixo. Entao a secao do plano com o cone eh uma curva cuja excentricidade eh cosY/cosX. Abracos. E. Wagner. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.
On Sat, Aug 09, 2003 at 08:42:04PM -0300, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: Os teoremas a respeito de as seçoes do cone por planos que nao contem o vertice serem elipses, parabolas ou hiperboles foram demonstrados por dois belgas, Quetelet e Dandelin, e sao conhecidos por muitos como os teoremas belgas. As demonstraçoes sao particularmente elegantes e surpreendentemente simples, principalmente se expostas no quadro-negro pelo Wagner. Ok. A demonstração do Wagner deve ser uma que envolve desenhar umas esferas. É legal, mas não é minha demonstração favorita deste fato. Por mim a demonstração certa consiste em observar que o cone tem equação de grau 2 (x^2 + y^2 = z^2) e rodar ou transladar não altera o grau. Tomar a interseção com um plano, digamos o plano z=0, já que rodamos, também não altera o grau (só estamos eliminando os termos que envolvem z). Logo a interseção é uma curva de grau 2 e já sabemos o que estas curvas são. Observe que assim também demonstramos que a interseção de um parabolóide ou um hiperbolóide com um plano também é uma cônica. Em particular, a interseção de um hiperbolóide de revolução de uma folha (x^2 + y^2 = 1 + z^2) com um plano tangente tem um ponto duplo, logo é um par de retas. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.
On Sun, Aug 10, 2003 at 02:08:56AM -0300, Eduardo Wagner wrote: Nao ha duvida sobre o que esta escrito acima. Entretanto, ha um pedaco de frase assim: e ja sabemos o que estas curvas sao. Sim! Nos sabemos, mas os alunos provavelmente nao. Como não? No ensino médio eles sabem. Eu estranho a idéia de estudar cônicas de forma puramente grega, sem mencionar que estas são as curvas de grau 2. Ja que fui citado (ou provocado) em mensagem anterior, quero dizer que os alunos podem perfeitamente conhecer as conicas muito antes de estarem familiarizados com a geometria analitica no espaco, translacoes e rotacoes. E isto eh muito bom. Conhecer desde cedo as curvas e suas diversas formas, definidas por um unico numero chamado excentricidade. A demonstracao legal que usa as esferas eh totalmente elementar e permite obter um resultado surpreendente que vai agora para a beleza matematica da lista. Só para pacificar um pouco, eu também gosto muito da demonstração com as esferas, não estou de forma alguma querendo sugerir que a demonstração que apresentei (de natureza algébrica) deva eliminar a demonstração de natureza mais geométrica. Mas eu me lembro de, ao descobrir a demonstração algébrica, ter tido aquela sensação de isto é tão simples, pq me esconderam isso durante tanto tempo?... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.
Os teoremas a respeito de as seçoes do cone por planos que nao contem o vertice serem elipses, parabolas ou hiperboles foram demonstrados por dois belgas, Quetelet e Dandelin, e sao conhecidos por muitos como os teoremas belgas. As demonstraçoes sao particularmente elegantes e surpreendentemente simples, principalmente se expostas no quadro-negro pelo Wagner. O problema dos pontos eh o problema do jogo interrompido, no qual o dinheiro das apostas deve ser repartido proporcionalmente a probabilidade que cada um dos dois jogadores tem de ser o vencedor. Foi resolvido por Pascal e por Fermat e a soluçao de Fermat eh, na minha opiniao, sensacional! Em Sat, 9 Aug 2003 18:55:15 -0300, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] disse: On Sat, Aug 09, 2003 at 12:27:25PM -0300, A. C. Morgado wrote: 8) Os teoremas belgas a respeito das seções cônicas. Outro que eu não sei o que é. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BELEZA: belgas e pontos.
Alguem poderia mostrar? --- Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] escreveu: Os teoremas a respeito de as seçoes do cone por planos que nao contem o vertice serem elipses, parabolas ou hiperboles foram demonstrados por dois belgas, Quetelet e Dandelin, e sao conhecidos por muitos como os teoremas belgas. As demonstraçoes sao particularmente elegantes e surpreendentemente simples, principalmente se expostas no quadro-negro pelo Wagner. O problema dos pontos eh o problema do jogo interrompido, no qual o dinheiro das apostas deve ser repartido proporcionalmente a probabilidade que cada um dos dois jogadores tem de ser o vencedor. Foi resolvido por Pascal e por Fermat e a soluçao de Fermat eh, na minha opiniao, sensacional! Em Sat, 9 Aug 2003 18:55:15 -0300, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] disse: On Sat, Aug 09, 2003 at 12:27:25PM -0300, A. C. Morgado wrote: 8) Os teoremas belgas a respeito das seções cônicas. Outro que eu não sei o que é. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Conheça o novo Cadê? - Mais rápido, mais fácil e mais preciso. Toda a web, 42 milhões de páginas brasileiras e nova busca por imagens! http://www.cade.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
