céus !
acabo de chegar em casa e ainda vou levar um tempo pra digerir todos esses
fatos !
Valeu pelo feedback :-)
Abraços
Will
- Original Message -
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, September 18, 2003 1:31 AM
Subject: [obm-l] Base 2 / Fatoriais / Binom(n,k)
Oi, Will:
Se voce achou isso interessante, aqui tem mais alguns:
1) O expoente do primo p na decomposicao de n! eh igual a:
[n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ...
onde [x] = maior inteiro = x.
2) Binom(n,k) eh impar ==
as representacoes binarias de k e n-k nao tem um algarismo 1 nas mesmas
posicoes ==
NURB(n) = NURB(k) + NURB(n-k)
one NURB(m) = Numero de 1's na Representacao Binaria de m.
3) Binom(n,k) eh impar para todo k (0=k=n) == n = 2^m - 1 para algum
inteiro positivo m.
4) Binom(n,k) eh par para todo k (1=k=n-1) == n = 2^m para algum inteiro
positivo m.
5) Se E_2(n!) = expoente de 2 na decomposicao de n! e NURB(n) eh como
definido acima, entao E_2(n!) + NURB(n) = n, para todo inteiro positivo n.
6) Para todo n, o numero de coeficientes binomiais Binom(n,k) (0=k=n) que
sao impares eh igual a 2^NURB(n).
Um abraco,
Claudio.
on 17.09.03 23:21, Will at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Pensei um pouco nesse problema e, sei lá porque que razão, parei pra
contar
quantos dois aparecem nas fatorações de números (pares) consecutivos.
Encontrei a seguinte sequência:
1 (2 contém exatamente um 2)
2 (4 contém dois 2...)
1
3 (8 tem 3, deu pra entender né)
1
2
1
4
1
2
1
3
1
2
1
5
(...)
Era de se esperar que aparecessem simetrias, mas confesso que me
surpreendi
em constatar que as somas parciais dessa sequencia nos blocos terminados
em
posições 2^n são todas forma (2^n) -1 !!
Ex:
Somando até 4:
1+2 = 3
Somando até 8:
1+2+1+3 = 7
Somando até 32:
1+2+1+3+1+2+1+4+1+2+1+3+1+2+1+5 = 31
Depois do choque, vi que o fato é não só razoável como também algo
esperado,
já que entre 1 e 2^n vão haver 2^(n-1) múltiplos de 2, 2^(n-2) múltiplos
de
4, 2^(n-3) múltiplos de 8 e assim por diante. Escrevendo essa soma em
binário (isso te lembra alguma coisa, Pina ?) vamos tem um cara da forma
()base2 onde aparecem n 1´s , o que é justamente algo do tipo
2^n -1 !!
Bom, isso não me levou a concluir nada sobre fatoriais e quadrados, mas
achei válido mandar pra lista assim mesmo :-))
Saudações
Will
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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