[obm-l] Re: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES?
Ola Georege e demais colega desta lista ... OBM-L, Sem querer estragar a sua alegria em resolver a questao, talvez seja util observar que sendo e^x = 1 + x + (x^2/2) + ... para todo x, e claro que para x positivo e^x 1 + x = x Ln(1+x). Em particular : Ln( 1 + (1/(2^N)) ) 1/(2^N) = (1/2)^N aolicando o somatorio ... --*--*-- Na questao do triangulo, suponha que ABC nao seja equilatero. Entao com certeza existira um lado menor ou igual aos dois outros. Sem perda de generalidade podemos supor que este lado e AB. Facamos K=B e tomemos L em BC tal que BL=AB e M em CA tal que CM=AB. Considerando o triangulo KLM ... --*--*-- Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 1,1722,170906 EM TEMPO : Eu sou um Matematico Puro. Nao me entusiasmo com as aplicacoes rotineiras da Matematica nao obstante nao ter nada contra elas : acho-as mesmo necessarios e fundamentais para o progresso humano. Igualmente, nada tenho contra aqueles que ganham dinheiro, mesmo muito dinheiro, com Matematica, apesar de acreditar que a vida e MUITO MAIS que o mero acumulo de bens materiais ... A atitude do Pekerman, nao aceitando U$ 1 milhao de dolares, a Medalha Fields e a publicacao de sua prova em qualquer das grandes revistas cientificas americanas e europeias EM VIRTUDE EXCLUSIVAMENTE de ideologia e uma prova inequivoca de imenso poder ... Em face do significado profissional que qualquer uma destas coisas representa para quem a principio segue uma carreira academica, rejeitar qualquer uma delas e uma fidelidade e crenca internas que pouquissimos humanos ja tiveram, tem e terao ... Alguns dos grandes matematicos russos tiveram uma formacao socialista muito forte e as origens do dinheiro que a Clay da pode nao ser confortavel para uma pessoa assim ... Por outro lado, a Medalha Fields e um premio politico. Eu inclusive havia dito isto aqui poucos dias antes do Pekerman tomar esta decisao. E existem muitas razoes para ele preferir divulgar seus resultados livremente na intenet. Quero dizer que as atitudes do Pekerman nao sao em hipotese alguma fruto de excentricidades de algum lunatico : sao atitudes consistentes com a formacao dele e com o que sabemos sobre estas premiacoes. O Verdadeiro juri de um Matematico e a Historia. E esta indubitavelmente havera de considerar o Pekerman, com ou sem Medalha Fields, com ou sem Um milhao de dolares, um dos Grandes Matematicos do nosso tempo. From: George Brindeiro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES? Date: Fri, 15 Sep 2006 18:47:58 -0300 Tem razão, ignorem minha solução. Abraço, George From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES? Date: Fri, 15 Sep 2006 11:59:43 -0300 Na verdade, ln(1 + 1/2^n) = ln( (2^n) + 1) - ln(2^n), e isso não é uma série telescópica pois os termos não se cancelam. Seria telescópica se o +1 estivesse no expoente. On 9/14/06, George Brindeiro [EMAIL PROTECTED] wrote: note que ln(1+1/2^n)= ln(2^n+1)-ln(2^n). isso é uma série telescópica, ou seja, na soma parcial vários termos se cancelam sobrando somento o primeiro e o último. no caso da soma de 1 a n, temos: Sn= ln(2^n+1)-ln(2) a série é o limite da soma parcial quando n-infinito. como nesta condição 2^n+1 cresce indefinidamente, ln(2^n+1) também cresce e portanto a série é divergente. From: Douglas Alexandre [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES? Date: Thu, 14 Sep 2006 19:32:50 -0300 (ART) Caros colegas, tenho muitas dúvidas ao verificar se uma série converge ou diverge. Como escolher o melhor teste para a série? Razão, Integral, comparação?? Não gostaria de ficar verificando no Maple. Existe algum livro que possui exercícios resolvidos? Por exemplo, como verifico se a série somat. n=1,infinit ln (1 + 1/2^n) converge ou diverge? Grato - Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas! _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na
Re: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES?
Bom, eu vou dar o meu palpite também :) Eu acho que converge. Bom, vou tentar demonstrar. Mas primeiro eu vou dar a idéia que me veio : ln(1 + x) é alguma coisa como x, para x bem pequeno. Ora, isso é exatamente o que acontece com o nosso problema (acho que ninguém duvida que 1/2^n vai ficando bem pequenininho com n - infinito) Daí, a soma que você nos deu é alguma coisa como a soma da PG 1/2^n. Claro que tem um monte de erro por aí, mas a primeira coisa que essa idéia nos dá é que a séria deveria convergir se os erros nao forem muito grandes. Ainda mais, porque o que a gente está falando sao termos bem pequenos. Ótimo, temos uma idéia, e inclusive uma direcao de resposta pra perseguir. Agora, só falta provar que realmente é isso o que acontece. Eu vou fazer de 2 jeitos, um mais informal mas que funciona bem, e outro que deve ser a justificativa do primeiro. ### Jeito Informal: A série de Taylor pra log nos dá que ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ... = x + O(x^2), o que quer dizer que isso dá x com um erro que tende a zero como (ou mais rápido do que) x^2 quando x tende a zero. Agora vamos somar tudo, substituindo o caso em questao. Bom, a parte dos x é a nossa velha PG de soma 1, que todo mundo já viu. A outra agora. Ela é rigorosamente traduzida como : a partir de um certo valor de x (em direcao a zero) existe uma constante C 0 tal que o resto - x^2/2 + x^3/3 - ... é inferior em módulo a C*x^2. Excelente. No nosso caso, isso quer dizer que existe um n a partir do qual a fórmula vale. Os outros, a gente ignora, afinal, uma quantidade finita de termos nao altera o fato de convergir ou nao. Daí a gente tem que provar que SOMA n=n_0, infinito C/1/2^(2n) é finita. Mas essa é outra PG, que dá C/4^(n_0 - 1)/3. E pronto. ## Jeito rigoroso e mais chato Suponhamos agora que você ficou com a pulga atrás da orelha com o meu papo sobre O(x^2). É verdade, é bem roubado. Mas aquilo ali em cima é verdade por causa unicamente da fórmula de Taylor. Mas se o teu professor nao gosta dessas técnicas, ou se parece pouco rigoroso, aqui vai uma demo (comprida, cheia de contas e coisas menos interessantes) pro nosso caso. Vamos por partes. Já vimos que o único problema é o resto. Entao vamos provar em etapas que: 1. O resto r_n é negativo pra x 1 2. O resto é maior do que uma soma de termos negativos (chame essa soma de y_n) 3. Esta soma é maior do que o primeiro termo (chamamos de z_n) 4. A soma dos z_n é finita. 1. Vamos escrever tudo entao : r_n = SOMA i=2, infinito (-1)^(i-1) * x^i/i = - SOMA i=2, infinito (-1)^i * x^i/i (isso foi só pra sair o sinal e simplificar a SOMA) = - SOMA i=2, infinito, pelos i PARES (x^i/i - x^(i+1)/(i+1) ) e como o quociente dos termos de cada parcela da soma vale [x^i/i] / [x^(i+1)/(i+1)] = (i+1)/i/x que é 1/x * (i+1)/i que é maior do que 1 para x menor do que 1 (e maior do que zero) isso nos dá que a soma é negativa. 2. Sendo a soma negativa, vamos torná-la menor ainda, isso vai dificultar a convergência da soma de seus termos. Para isso, vou trocar os denominadores dos termos de ordem ímpar por um maior (de 1). A soma ficará entao -x^2/2 + SOMAi=4, infinito, pelos i PARES (x^(i-1)/i - x^i/i ) = -x^2/2 + SOMAi=4, infinito, pelos i PARES (x^(i-1)/i - x^i/i ) (isso é -x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6 +... vira -x^2/2 + x^3/4 - x^4/4 + x^5/6 - x^6/6 + ... ) = -x^2/2 + SOMAi=4, infinito, pelos i PARES x^(i-1)/i ( 1 - x ) 3. Observe que a soma agora é positiva, logo podemos descartá-la toda (queremos apenas provar que dá pra somar, a parte positiva sendo menor do que a negativa, isso nao é problema... se você quiser, dá pra majorar a parte positiva por uma PG de termo x^i(1-x) e razao x^2.) e sobra apenas o termo -x^2/2 4. A soma dos termos -x^2/2, substituindo x = 1/2^n dá -1/2 * 4/3 = -2/3 e portanto a soma original converge. # Uma outra idéia Uma idéia derivada da prova acima, que muda de direçao no 1. A gente provou que a soma é positiva (os logs em questao sao sempre positivos) e sua parte positiva converge. Ora, a parte negativa, sendo inferior à positiva termo à termo, também converge (para um valor negativo inferior ao valor da primeira soma, em módulo) e portanto a sua soma original também converge. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 9/15/06, Douglas Alexandre [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas, tenho muitas dúvidas ao verificar se uma série converge ou diverge. Como escolher o melhor teste para a série? Razão, Integral, comparação?? Não gostaria de ficar verificando no Maple. Existe algum livro que possui exercícios resolvidos? Por exemplo, como verifico se a série somat. n=1,infinit ln (1 + 1/2^n) converge ou diverge? Grato Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas! = Instruções para entrar na lista, sair da
Re: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES?
Na verdade, ln(1 + 1/2^n) = ln( (2^n) + 1) - ln(2^n), e isso não é uma série telescópica pois os termos não se cancelam. Seria telescópica se o +1 estivesse no expoente.On 9/14/06, George Brindeiro [EMAIL PROTECTED] wrote: note que ln(1+1/2^n)= ln(2^n+1)-ln(2^n).isso é uma série telescópica, ou seja, na soma parcial vários termos secancelam sobrando somento o primeiro e o último. no caso da soma de 1 a n,temos:Sn= ln(2^n+1)-ln(2) a série é o limite da soma parcial quando n-infinito.como nesta condição 2^n+1 cresce indefinidamente, ln(2^n+1) também cresce eportanto a série é divergente.From: Douglas Alexandre [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES?Date: Thu, 14 Sep 2006 19:32:50 -0300 (ART)Caros colegas, tenho muitas dúvidas ao verificar se uma série converge oudiverge.Como escolher o melhor teste para a série? Razão, Integral, comparação?? Não gostaria de ficar verificando no Maple. Existe algum livro que possuiexercícios resolvidos?Por exemplo, como verifico se a série somat. n=1,infinit ln (1 + 1/2^n)converge ou diverge?Grato-Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quercompartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas! _MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos.http://messenger.msn.com.br= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Re: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES?
ln(1) = 0...O critério do termo geral não se aplica neste caso.Vc simplesmente prova que todos os termos da série são positivos mostrando que são maiores que ln(1), o que não quer dizer que o limite não vá para 0 (ele vai na verdade)... On 9/14/06, George Brindeiro [EMAIL PROTECTED] wrote: Analogamente, é possível fazer a seguinte comparação:ln[(2^n+1)/2^n] ln(1)=1 que trivialmente converge.Não há necessidade real de se fazer teste algum de convergência, já que umacondição necessária (porém não suficiente) de convergência não está sendo obedecida. Os termos, em módulo, devem decrescer de valor. Uma série baseadaem uma sequência crescente não pode convergir.Em outras palavras:Se uma série infinita converge, então seus termo geral a_n deve ir a zero quando n tende a infinito.Abraços,GeorgeFrom: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Re: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES?Date: Thu, 14 Sep 2006 20:33:26 -0300 Olá,ln(1 + 1/2^n) ln(1/2^n) = n . ln1/2como a série de n . ln(1/2) diverge, entao ln(1 + 1/2^n) tb diverge, peloteste da comparacaoagora, qual teste usar, isso é dificil... é pratica pra buscar uma solucao simples..abraços,Salhab - Original Message - From: Douglas Alexandre To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, September 14, 2006 7:32 PM Subject: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES? Caros colegas, tenho muitas dúvidas ao verificar se uma série convergeou diverge. Como escolher o melhor teste para a série? Razão, Integral, comparação?? Não gostaria de ficar verificando no Maple. Existe algum livro quepossui exercícios resolvidos? Por exemplo, como verifico se a série somat. n=1,infinit ln (1 + 1/2^n)converge ou diverge? Grato-- Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!-- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.4/448 - Release Date:14/9/2006_MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
[obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES?
Caros colegas, tenho muitas dúvidas ao verificar se uma série converge ou diverge.Como escolher o melhor teste para a série? Razão, Integral, comparação??Não gostaria de ficar verificando no Maple. Existe algum livro que possui exercícios resolvidos?Por exemplo, como verifico se a série somat. n=1,infinit ln (1 + 1/2^n) converge oudiverge?Grato Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
[obm-l] Re: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES?
Olá, ln(1 + 1/2^n) ln(1/2^n) = n . ln1/2 como a série de n . ln(1/2) diverge, entao ln(1 + 1/2^n) tb diverge, pelo teste da comparacao agora, qual teste usar, isso é dificil... é pratica pra buscar uma solucao simples.. abraços, Salhab - Original Message - From: Douglas Alexandre To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, September 14, 2006 7:32 PM Subject: [obm-l] COMO RESOLVER SÉRIES? Caros colegas, tenho muitas dúvidas ao verificar se uma série converge ou diverge.Como escolher o melhor teste para a série? Razão, Integral, comparação??Não gostaria de ficar verificando no Maple. Existe algum livro que possui exercícios resolvidos?Por exemplo, como verifico se a série somat. n=1,infinit ln (1 + 1/2^n) converge oudiverge?Grato Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas! No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.4/448 - Release Date: 14/9/2006
