on 09.09.03 14:08, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Um resultado relacionado que eu nao estou conseguindo provar (ou dar algum > contra-exemplo) eh que o conjunto B = {n*a - m; m, n inteiros POSITIVOS} eh > denso em R. >
Infelizmente a demonstracao abaixo tem um furo...veja o item (d): a) Particionamos [0,1) = [0,1/n) U [1/n,2/n) U ... U [(n-1)/n,1) b) Consideramos os n+1 numeros: 0, a - [a], 2a - [2a], ..., na - [na] e usamos o PCP para concluir que dois deles, digamos ra - [ra] e sa - [sa], com 0 <= r < s <= n, pertencem ao mesmo sub-intervalo. c) Isso quer dizer que 0 < | (sa - [sa]) - (ra - [ra]) | < 1/n, ou seja: 0 < | (s - r)a - ([sa] - [ra]) | < 1/n d) Mas a > 0 e r < s ==> s - r > 0 e [sa] - [ra] >= 0. **** A PASSAGEM A SEGUIR NAO EH VALIDA **** Assim: 0 < (s - r)a - ([sa] - [ra]) < 1/n. Isso nao eh sempre verdade. Por exemplo: a = 1,501..., r = 1, s = 2 ==> (s - r)a = 1,501... [sa] - [ra] = 3 - 1 = 2 ==> (s - r)a - ([sa] - [ra]) = 0,002... - 1,501... = -0,491... < 0 Foi mal! **** OBS: A demonstracao mais sofisticada do Marcio, usando a representacao de a em fracao continua (cujas reduzidas de ordem par sao sempre > a), continua valendo. Ou seja, o resultado eh verdadeiro. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================