Mas fraçoes continuas e o que ha pra esse tipo de
problema...
A soluçao com PCP deve ser parecida...Veja o
artigo do Gugu.
--- Claudio Buffara
[EMAIL PROTECTED] escreveu: on
09.09.03 20:10, Marcio Afonso A. Cohen at
[EMAIL PROTECTED]
wrote:
Espero que esteja certo, de uma conferida..
Se a eh irracional positivo, olhe para as
aproximacoes por fracoes
continuas de a.
Oi, Marcio:
Realmente, com fracoes continuas o resultado
sai, mas eu estava pensando
numa solucao mais elementar, usando apenas o
PCP.
Temos a = a0 + 1/[a1 + 1/[a2+ e as
reduzidas p_n/q_n (p0/q0 = a0,
p1/q1= a0+1/a1, p2/q2=a0+1/[a1+1/a2]... )
com n par satisfazem 0 a - p_n/q_n
(1/q_n)^2
Como os p_n,q_n sao positivos e tendem para
infinito, podemos, dado um
eps0 qualquer, escolher n tq 1/q_n eps.
Nesse caso, a desigualdade acima implica 0
(q_n)*a - p_n eps.
Portanto, dado qualquer intervalo (r,r+eps)
de R+, sempre existe algum
multiplo de (q_n)*a - p_n que cai nesse
intervalo.
Para intervalos em R-, voce pode adotar uma
ideia parecida, mas agora
olhando para as reduzidas de ordem impar.
Esse eh a ideia chave: separar os casos B inter
R+ e B inter R-. Obvia,
depois que alguem pensa nisso! Vou mandar uma
msg com a solucao mais
elementar usando essa ideia.
Obs: As demonstracoes desses resultados sobre
as reduzidas decorrem das
relacoes t(n+2) = a(n+2)t(n+1)+t(n),
satisfeitas tanto por t(n)=p(n) quanto
por t(n)=q(n). Isso pode ser verificado por
inducao, e pode ser conjecturado
a partir de uma analise das fracoes continuas
de numeros racionais (que eh
o algoritmo de euclides).
Obs2: Se a = p/q, p,q inteiros, entao os
elementos de B sao da forma
(np-mq)/q, e como o numerador eh inteiro,
todos os elementos de B tem modulo
= 1/q. Em particular, B nao eh denso em R.
Se a for negativo, entao B soh tem elementos
negativos e nao eh denso em
R.
Bom ponto. O Domingos tambem observou isso. Com
a negativo, serah que B tem
algum ponto de acumulacao?
Um abraco,
Claudio.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista
e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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