[obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
Oi, Eu gostaria de ajuda para dar uma prova matematicamente valida para as seguintes afirmacoes sobre conjuntos de R^n: 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo ser finito. Eh entretanto possivel que o conjunto dos pontos de acumulacao de B naum seja enumeravel mas que B seja infinito enumeravel. 2) Se A eh um subconjunto de R limitado superiormente, entao o supremo de A pertence a A. No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira parte, embora a conclusao pareca intuitiva. Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B = conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio R, que naum eh enumeravel. (2) é bastante obvia, mas num to conseguindo dar uma prova matematica. Obrigada Ana __ Do you Yahoo!? New and Improved Yahoo! Mail - 100MB free storage! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
> Oi, > Eu gostaria de ajuda para dar uma prova > matematicamente valida para as seguintes afirmacoes > sobre conjuntos de R^n: > > 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for > enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo > ser finito. Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n (assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de condensacao (se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel). Logo, A eh enumeravel. > 2) Se A eh um subconjunto de R limitado > superiormente, entao o supremo de A pertence a A. Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao de A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo, temos necessariamente que s pertence a A. > No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira > parte, embora a conclusao pareca intuitiva. Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata > Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B = > conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o > conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio > R, que naum eh enumeravel. Exatamente. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
E quanto ao intervalo aberto A = (a, b) com a < b? O supremo de A é b, mas b não pertence a A. Bernardo On Mon, 13 Sep 2004 12:26:19 -0300, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Oi, > > Eu gostaria de ajuda para dar uma prova > > matematicamente valida para as seguintes afirmacoes > > sobre conjuntos de R^n: > > > > 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for > > enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo > > ser finito. > Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de > condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca > de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n > (assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis > possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um > conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh > ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh > enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de condensacao > (se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de > acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel). > Logo, A eh enumeravel. > > > 2) Se A eh um subconjunto de R limitado > > superiormente, entao o supremo de A pertence a A. > Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao de > A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo, > temos necessariamente que s pertence a A. > > > No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira > > parte, embora a conclusao pareca intuitiva. > Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata > > > Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B = > > conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o > > conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio > > R, que naum eh enumeravel. > Exatamente. > > Artur > > > OPEN Internet > @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ > > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
>E quanto ao intervalo aberto A = (a, b) com a < b? O supremo de A é b,
>mas b não pertence a A.
>Bernardo
Ela disse conjuntos FINITOS. O intervalo (a,b) eh INFINITO. Ela NAUM disse
intervalos com pontos extremos finitos. Por conjunto finito entendemos um
conjunto equivalente, para algum natural n, a um segmento inicial {1,
2,.n} do conjunto dos naturais.
Artur
On Mon, 13 Sep 2004 12:26:19 -0300, Artur Costa Steiner
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Oi,
> > Eu gostaria de ajuda para dar uma prova
> > matematicamente valida para as seguintes afirmacoes
> > sobre conjuntos de R^n:
> >
> > 1) Se o conjunto dos pontos de acumulacao de A for
> > enumeravel ou finito, entao A eh enumeravel, podendo
> > ser finito.
> Uma forma de provar isso eh tomar por base o conceito de ponto de
> condensacao. Dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca
> de x contiver uma quantidade naum-enumeravel de elementos de A. Em R^n
> (assim como em todo espaco metrico separavel), conjuntos naum enumeraveis
> possuem pontos de condensacao e o conjunto dos pontos de condensacao de um
> conjunto naum eh enumeravel. Eh imediato que todo ponto de condensacao eh
> ponto de acumulacao. Como o conjunto dos pontos de acumulacao de A eh
> enumeravel, segue-se automaticamente que A naum possui pontos de
condensacao
> (se A possuisse um de tais pontos, entao o conjunto de seus pontos de
> acumulacao conteria pontos de condensacao e naum poderia ser enumeravel).
> Logo, A eh enumeravel.
>
> > 2) Se A eh um subconjunto de R limitado
> > superiormente, entao o supremo de A pertence a A.
> Se s = supremo A naum pertencesse a A, entao s seria ponto de acumulacao
de
> A. Mas como A eh finito, A naum possui nenhum ponto de acumulacao. Logo,
> temos necessariamente que s pertence a A.
>
> > No caso (1) eu estou com dificuldades na primeira
> > parte, embora a conclusao pareca intuitiva.
> Tambem acho, embora a prova formal naum seja assim tao imediata
>
> > Com relacao a segunda parte, um bom exemplo eh B =
> > conjunto dos racionais, certo? Eh enumeravel, mas o
> > conjunto de seus pontos de acumulacao eh o proprio
> > R, que naum eh enumeravel.
> Exatamente.
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Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
E, de fato a mensagem original da Ana nao dizia, conforme eu erradamente interpretei, que o conjunto limitado superiormente era finito. A prova que eu dei supunha isto. Mas acho que foi isto que ela quis dizer, porque senão naum hah nada a provar, a afirmacao eh obvia. E ela mesma disse que a afirmacao parecia obvia Artur ___ Do you Yahoo!? Shop for Back-to-School deals on Yahoo! Shopping. http://shopping.yahoo.com/backtoschool = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos enumeraveis e finitos
Esclarecendo: Na segunda afirmação o conjunto em questão era de fato finito. A afirmação era: Se A é um subconjunto de R finito e limitado superiormente, então o supremo de A pertence a A. Desculpem ter comido a palavra finito. O Artur interpretou certo, acho que porque isto estava escrito no cabeçalho da mensagem. Ana __ Do you Yahoo!? New and Improved Yahoo! Mail - Send 10MB messages! http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
