Re: Re: [obm-l] Dúvida sobre Álgebra
Olá! Obrigado por retornar!
Estive pesquisando neste meio-tempo sobre avanços na teoria dos números
de Fermat. Cheguei a uma proposição sobre que seguiriam um padrão de
'escada' de potências de 2:
F(0) = 2 + 1 = 3
F(1) = 2^{2} + 1 = 5
F(2) = 2^{2^{2}} + 1 = 2^4 + 1 = 17
F(4) = 2^{2^{2^{2}}} + 1 = 2^16 + 1 = 65537
F(16) = 2^{2^{2^{2^{2 + 1 = 2^256 + 1 = ...
Que infelizmente fura para F16 neste documento:
http://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-231/S0025-5718-00-01207-2/S0025-5718-00-01207-2.pdf
Agora sobre possivelmente serem os únicos primos eu não sabia.
Tem alguém mais (ou site) que se dedique a este problema.
Em Mon, 13 Apr 2015 04:53:45 -0300
g...@impa.br escreveu:
> Saudações.
> A sua afirmação é equivalente a dizer que 3, 5, 17, 257 e 65537
> são os únicos primos de Fermat (o que está em aberto, e muitos
> matemáticos consideram provável). Se F_n=2^{2^n}+1, F_n-2=2^{2^n}-1
> é o produto dos F_k de k=0 até n-1 (por exemplo, 255=3*5*17), o que
> pode ser facilmente provado por indução (pois
> F_n.(F_n-2)=F_{n+1}-2). Sabemos que F_5=4294967297 não é primo - é
> múltiplo, por exemplo, de 641 (e portanto não é possível construir
> com régua e compasso um polígono regular com F_5 lados). Como eu
> mencionei acima, não se conhece nenhum primo de Fermat F_n maior que
> F_4=65537, mas, se existir, F_n-2 seria múltiplo de F_5, e logo não
> seria possível dividir com régua e compasso uma circunferência em
> F_n-2 arcos congruentes (senão seria possível construir com régua e
> compasso um polígono regular com F_5 lados).
> Abraços,
> Gugu
>
> Quoting Listeiro 037 :
>
> >
> >
> > Saudações.
> >
> > Tenho a dúvida sobre como se pode demonstrar (se for realmente
> > verdade) que se 'p' é primo e divide uma circunferência com
> > instrumentos euclidianos, então p-1 e p-2 também a divide. Ou seja,
> > se existirem infinitos pp então existem infinitas tríades de
> > consecutivos. Na verdade p tem que ser um número de Fermat. E p-2 é
> > um produto de números de Fermat, se estiver correto.
> >
> > Grato a quem puder me orientar.
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > =
> > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
> >
> >
>
>
>
>
> This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
>
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Dúvida sobre Álgebra
Saudações.
A sua afirmação é equivalente a dizer que 3, 5, 17, 257 e 65537
são os únicos primos de Fermat (o que está em aberto, e muitos
matemáticos consideram provável). Se F_n=2^{2^n}+1, F_n-2=2^{2^n}-1 é
o produto dos F_k de k=0 até n-1 (por exemplo, 255=3*5*17), o que pode
ser facilmente provado por indução (pois
F_n.(F_n-2)=F_{n+1}-2). Sabemos que F_5=4294967297 não é primo - é
múltiplo, por exemplo, de 641 (e portanto não é possível construir com
régua e compasso um polígono regular com F_5 lados). Como eu mencionei
acima, não se conhece nenhum primo de Fermat F_n maior que F_4=65537,
mas, se existir, F_n-2 seria múltiplo de F_5, e logo não seria
possível dividir com régua e compasso uma circunferência em F_n-2
arcos congruentes (senão seria possível construir com régua e compasso
um polígono regular com F_5 lados).
Abraços,
Gugu
Quoting Listeiro 037 :
Saudações.
Tenho a dúvida sobre como se pode demonstrar (se for realmente verdade)
que se 'p' é primo e divide uma circunferência com instrumentos
euclidianos, então p-1 e p-2 também a divide. Ou seja, se existirem
infinitos pp então existem infinitas tríades de consecutivos. Na
verdade p tem que ser um número de Fermat. E p-2 é um produto de
números de Fermat, se estiver correto.
Grato a quem puder me orientar.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Dúvida sobre Álgebra
Saudações. Tenho a dúvida sobre como se pode demonstrar (se for realmente verdade) que se 'p' é primo e divide uma circunferência com instrumentos euclidianos, então p-1 e p-2 também a divide. Ou seja, se existirem infinitos pp então existem infinitas tríades de consecutivos. Na verdade p tem que ser um número de Fermat. E p-2 é um produto de números de Fermat, se estiver correto. Grato a quem puder me orientar. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre álgebra
On Sat, Jun 19, 2004 at 07:25:47PM -0300, claudio.buffara wrote: > Serah que nao podemos achar inteiros a e b tais que o homomorfismo: > F: Z[t] -> Q(raiz(2)) dado por F(p(t)) = p((a+b*raiz(2))/3) > tem como imagem Z[raiz(2),1/3]? > > Se pudermos, entao Ker(F) = (9x^2 - 6ax + a^2 - 2b^2) serah o ideal procurado. Basta tomar a = 0 e b = 1. Ou seja, Z[sqrt(2)/3] = Z[sqrt(2), 1/3]. De fato, basta mostrar que sqrt(2)/3 pertence a Z[sqrt(2), 1/3] (fácil) sqrt(2) pertence a Z[sqrt(2)/3] (fácil) 1/3 pertence a Z[sqrt(2)/3] (1/3 = 1 - 3*(sqrt(2)/3)^2). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre álgebra
Oi, Joao: Nao tenho certeza. Serah que nao podemos achar inteiros a e b tais que o homomorfismo: F: Z[t] -> Q(raiz(2)) dado por F(p(t)) = p((a+b*raiz(2))/3) tem como imagem Z[raiz(2),1/3]? Se pudermos, entao Ker(F) = (9x^2 - 6ax + a^2 - 2b^2) serah o ideal procurado. *** Sobre o problema original: Z[t]/(x^2 - 2,3x - 1) eh isomorfo a Z/(17). Nao eh muito obvio a primeira vista... []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Sat, 19 Jun 2004 11:58:54 -0500 Assunto: Re: [obm-l] Dúvida sobre álgebra > Oi Claudio, obrigado pela ajuda, > eu ainda tenho uma dúvida, será que dá pra mostrar que não existe ideal I tal que Z[t]/I seja isomorfo a Z[sqrt(2),1/3]? pois já que você só tem uma indeterminada em Z[t], então não teria como fazer um homomorfismo sobrejetivo em Z[sqrt(2),1/3]. > Bem, obrigado por tudo, > []'s > João > > > > > Outra solucao: > > > > Seja I = (t^2 - 2,3t - 1) = (t - 6,17) > > Claramente 1 nao pertence a I ==> I <> Z[t]. > > > > Seja p(t) pertencente a Z[t]. > > > > O resto da divisao de p(t) por t - 6 eh um polinomio constante r. > > > > Se 17 divide r, entao p(t) pertence a I. > > Se 17 nao divide r, entao, o ideal I + p(t)*Z[t] eh igual a Z[t]. > > Logo, I eh um ideal maximal de Z[t] ==> Z[t]/I eh um corpo > > > > Por outro lado, Z[raiz(2),1/3] nao eh um corpo, pois nao contem 1/raiz(2). > > > > Logo, os aneis nao sao isomorfos. > > > > []s, > > Claudio. > > > > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > -- > ___ > Sign-up for Ads Free at Mail.com > http://promo.mail.com/adsfreejump.htm > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = >
Re: [obm-l] Dúvida sobre álgebra
Oi Claudio, obrigado pela ajuda, eu ainda tenho uma dúvida, será que dá pra mostrar que não existe ideal I tal que Z[t]/I seja isomorfo a Z[sqrt(2),1/3]? pois já que você só tem uma indeterminada em Z[t], então não teria como fazer um homomorfismo sobrejetivo em Z[sqrt(2),1/3]. Bem, obrigado por tudo, []'s João > Outra solucao: > > Seja I = (t^2 - 2,3t - 1) = (t - 6,17) > Claramente 1 nao pertence a I ==> I <> Z[t]. > > Seja p(t) pertencente a Z[t]. > > O resto da divisao de p(t) por t - 6 eh um polinomio constante r. > > Se 17 divide r, entao p(t) pertence a I. > Se 17 nao divide r, entao, o ideal I + p(t)*Z[t] eh igual a Z[t]. > Logo, I eh um ideal maximal de Z[t] ==> Z[t]/I eh um corpo > > Por outro lado, Z[raiz(2),1/3] nao eh um corpo, pois nao contem 1/raiz(2). > > Logo, os aneis nao sao isomorfos. > > []s, > Claudio. > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = -- ___ Sign-up for Ads Free at Mail.com http://promo.mail.com/adsfreejump.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida sobre álgebra
on 18.06.04 20:36, João Paulo at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Prezados amigos da lista, eu gostaria de saber porque o seguinte fato > (aparentemente óbvio), mas que eu não consegui argumentos, é verdade: > Z[t]/(t^2 - 2,3t -1) não é isomorfo à Z[sqrt(2),1/3]. > desde já agradeço, > []'s > João. Outra solucao: Seja I = (t^2 - 2,3t - 1) = (t - 6,17) Claramente 1 nao pertence a I ==> I <> Z[t]. Seja p(t) pertencente a Z[t]. O resto da divisao de p(t) por t - 6 eh um polinomio constante r. Se 17 divide r, entao p(t) pertence a I. Se 17 nao divide r, entao, o ideal I + p(t)*Z[t] eh igual a Z[t]. Logo, I eh um ideal maximal de Z[t] ==> Z[t]/I eh um corpo Por outro lado, Z[raiz(2),1/3] nao eh um corpo, pois nao contem 1/raiz(2). Logo, os aneis nao sao isomorfos. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida sobre álgebra
on 18.06.04 20:36, João Paulo at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Prezados amigos da lista, eu gostaria de saber porque o seguinte fato > (aparentemente óbvio), mas que eu não consegui argumentos, é verdade: > Z[t]/(t^2 - 2,3t -1) não é isomorfo à Z[sqrt(2),1/3]. > desde já agradeço, > []'s > João. 17 = (3t + 1)*(3t - 1) - 9*(t^2 - 2) ==> 17 pertence ao ideal I = (t^2 - 2,3t - 1) de Z[t] ==> I = 17 + I = (1 + I) + (1 + I) + ... + (1 + I) (17 parcelas) ==> Z[t]/I tem caracteristica 17. Por outro lado, Z[raiz(2),1/3] tem caracteristica zero. Logo, os dois aneis nao podem ser isomorfos. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida sobre álgebra
Prezados amigos da lista, eu gostaria de saber porque o seguinte fato (aparentemente óbvio), mas que eu não consegui argumentos, é verdade: Z[t]/(t^2 - 2,3t -1) não é isomorfo à Z[sqrt(2),1/3]. desde já agradeço, []'s João. -- ___ Sign-up for Ads Free at Mail.com http://promo.mail.com/adsfreejump.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
