T(1)=1
T(n)=T(n-2) + 2n + 1
essa primeira
faça na recorrencia n+2 ao inves de n, ficando com
T(n+2)=T(n+2-2) + 2(n+2) + 1
T(n+2)=t(n)+2n+4+1=t(n)+2n+5
temos então a recorrencia
t(n+2)=t(n)+2n+5
seja E^k o operador que faz E^k f(n)=f(n+k), escrevemos
essa recorrencia como
(E^2-1) t(n)=2n+5
(E-1)(E+1)t(n)=2n+5
o operador (E-1) abaixa grau de polinomio e o operador (E+1) anula
termo do tipo c(-1)^n
então a solução tem que ser do tipo
t(n)=an^2+bn+c+d(-1)^n
agora achando os coeficientes, aplicando (E+1) o termo d(-1)^n "some"
agora temos que aplicar (E-1)(E+1) no polinomio, aplicando primeiro
(E-1) (esses operadores comutam)
temos
(E-1)t(n)=a(2n+1)+b
aplicando (E+1) agora
(E+1)(E-1)t(n)=a(2(n+1)+1)+b+a(2n+1)+b=a(2n+2+1)+2b+a(2n+1)=a(2n+3)+2b+a(2n+1)=
a(4n+4)+2b=4n.a+4a+2b que tem que ser igual a 2n+5
temos então 4n.a+4a+2b=2n+5
dai tiramos 4a=2, a=1/2
4/2 +2b=5 , 2+2b=5 2b=3, b=3/2
então t(n), fica da forma
n^2 /2 +3/2n+c+d(-1)^n=t(n)
usando a condição inicial
t(1)=1
temos
1/2 +3/2 +c -d=1
2 +c-d=1
1+c=d
assim a solução fica
n^2 /2 +3/2n+c+(1+c)(-1)^n=t(n)
n^2/2 +3/2 n +c + (-1)^n +c (-1)^n=t(n)
perceba que se n é impar (-1)^n=-1
então t(n) fica da forma
n^2/2 +3/2 n +c -1 -c=n^2/2 +3/2 n -1=t(n)
agora para os pares
n^2/2 +3/2 n +c +1+c=t(n)
mostrando que precisamos de mais uma condição inicial para determinar
o coeficiente "c"
2008/9/6 Rafael Ando <[EMAIL PROTECTED]>:
> Para a segunda, olha só... T(2) = T(1)+2 = 1+2 = 3. A sua fórmula dá T(2) =
> (2²-1)/2 = 3/2, então não está certo não :(
>
> Podemos fazer assim:
>
> T(n) = n + T(n-1)
> = n + (n-1 + T(n-2)) = ... = n + (n-1) + (n-2) + ...+ 1.
>
> Logo T(n) = n*(n+1)/2, ou (n² + n) /2.
>
> Para a primeira T é uma função definida apenas nos valores impares? Com
> os dados apresentados T poderia ser qualquer coisa nos pares...
>
> On Fri, Sep 5, 2008 at 11:04 PM, Venildo Amaral <[EMAIL PROTECTED]>
> wrote:
>>
>> Estou com uma dúvida em como resolver essas duas recorrências, cheguei a
>> um ponto que não consigo achar a forma fechada das mesmas.
>>
>> T(1)=1
>> T(n)=T(n-2) + 2n + 1 ???
>>
>> outra
>>
>> T(1)=1
>> T(n)=T(n-1) + n, essa aqui cheguei na forma fechada de (n^2-1)/2, mas não
>> sei se esta certo.
>>
>>
>> Atenciosamente,
>> Venildo Junio do Amaral
>> [EMAIL PROTECTED]
>> www.venildo.mat.br
>> http://venildo.dv01.discovirtual.ws - Diretório Virtual
>> Home Work
>> (11) 4748-0159 / (11) 9167-1450
>
>
>
> --
> Rafael
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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