[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Olá Cláudio. está aí o nó da questão. Não conheço demonstração de que 1/p seja dízima periódica simples que não use o Peq. teorema... Um abraço, Frederico. From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar. Date: Sat, 2 Apr 2005 16:36:05 -0300 Se p = 3, então p divide 111, 11, 1, e qualquer número formado por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo). Suponhamos, portanto, que p 2, 3 e 5. Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de Euler) Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2..., teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2a_na_1a_2... de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja, p divide 10^n - 1 = 9*11...1 Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1). Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300 Assunto:[obm-l] DEmonstração Mais elementar. Olá a todos. è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? Agradeço desde já a todas as sugestões. Um abraço a todos, Frederico. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
A coisa é um pouco mais geral: basta que n seja primo com 10. Assim, seja n um inteiro positivo primo com 10. Considere as n divisões euclidianas: 10 = q_1*n + r_1 100 = q_2*n + r_2 ... 10^n = q_n*n + r_n onde, para cada i (1=i=n),vale 1 = r_i = n-1. Nenhum r_i será zero pois n é primo com 10 e, portanto, não pode dividir nenhum 10^k exatamente. Mas nesse caso, teremos n restos que só podem assumir n-1 valores distintos (de 1 a n-1, inclusive). Logo, pelo PCP, vão existir inteirosu ev com 1 = u v = n tais que: r_u = r_v == 10^u - q_u*n = 10^v - q_v*n == 10^v - 10^u = (q_v - q_u)*n == n divide 10^u*(10^(v-u) - 1) == n divide 10^(v-u) - 1, pois n é primo com 10. Sejam k = v - u e q = (10^k - 1)/n = 10^k/n - 1/n = inteiro. Seja 1/n = a_1/10 + a_2/10^2 + ... + a_k/10^k + a_(k+1)/10^(k+1) + ... Então: 10^k/n = 10^(k-1)*a_1 + 10^(k-2)*a_2 + ... + a_k + a_(k+1)/10 + ... Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: q = (10^k - 1)/n = 10^(k-1)*a_1 + ... +a_k + (a_(k+1)-a_1)/10 + (a_(k+2)-a_2)/10^2 + ... 10^(k-1)*a_1 + ... + a_k é inteiro e positivo. Em particular, k = 1 e a_1 = 1. No entanto, (a_(k+1) - a_1)/10 + (a_(k+2) - a_2)/10^2 + ... só será inteiro se a(k+1) - a_1 =a_(k+1) - a_2 = ... = 0 e isso significa que: a_(k+1) = a_1, a_(k+2) = a_2, ... a_(2k) = a_(k), a_(2k+1) = a_(k+1) = a_1, ... Ou seja, 1/n é uma dízima periódica simples cujo período é (a_1a_2...a_k). []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sun, 03 Apr 2005 11:56:49 -0300 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar. Olá Cláudio. está aí o nó da questão. Não conheço demonstração de que 1/p seja dízima periódica simples que não use o Peq. teorema... Um abraço, Frederico. From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: "obm-l" <OBM-L@MAT.PUC-RIO.BR> Subject: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar. Date: Sat, 2 Apr 2005 16:36:05 -0300 Se p = 3, então p divide 111, 11, 1, e qualquer número formado por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo). Suponhamos, portanto, que p 2, 3 e 5. Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de Euler) Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2..., teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2a_na_1a_2... de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja, p divide 10^n - 1 = 9*11...1 Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1). Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p. []s, Claudio. De:[EMAIL PROTECTED] Para:obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300 Assunto:[obm-l] DEmonstração Mais elementar. Olá a todos. è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? Agradeço desde já a todas as sugestões. Um abraço a todos, Frederico. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Olá a todos. è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? Agradeço desde já a todas as sugestões. Um abraço a todos, Frederico. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
Se p = 3, então p divide 111, 11, 1, e qualquer número formado por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo). Suponhamos, portanto, que p 2, 3 e5. Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de Euler) Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2..., teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2a_na_1a_2... de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja, p divide 10^n - 1 = 9*11...1 Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1). Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300 Assunto: [obm-l] DEmonstração Mais elementar. Olá a todos. è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p divide infinitos dos números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq. Teorema de Fermat, que não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa, que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma? Agradeço desde já a todas as sugestões. Um abraço a todos, Frederico. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =