on 10.08.03 00:50, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Eu, por exemplo, acho um tanto contra intuitivo que o fato de f ser > diferenciavel em R e apresentar limite no infinito nao implique > que f' apresente limite zero no infinito. > Artur > Oi, Artur: Quando li sua mensagem tambem fiquei com a mesma impressao. Entao, fui olhar no livro Counterexamples in Analysis e achei um exemplo bem elementar: f(x) = sen(x^2)/x ==> f'(x) = 2*cos(x^2) - sen(x^2)/x^2 Naturalmente, lim(x -> +inf) f(x) = 0 mas lim(x -> +inf) f'(x) nao existe. Acho que uma explicacao seria a seguinte: a derivada de uma funcao mede a taxa de variacao dessa funcao em relacao ao seu argumento, certo? No caso de f(x) acima, a variacao tem duas "componentes": o decaimento da amplitude (dado por 1/x) e o "zig-zag" (dado por sen(x^2)). No caso de f(x), quando x -> infinito, o crescimento da frequencia do zig-zag eh mais rapido do que a reducao da amplitude (x^2 contra 1/x). Logo, eh de se esperar que a derivada nao tenda a zero. De fato, se tomarmos um exemplo mais vivido: g(x) = sen(x^3)/x ==> g'(x) = 3*x*cos(x^3) - sen(x^3)/x^2. veremos que, quando x cresce sem limite, a derivada nao soh nao se anula, como tambem assume valores arbitrariamente grandes (positivos e negativos). Nao sei se essa explicacao torna o fenomeno intuitivo, mas pelo menos pra mim, joga o pepino pra definicao de derivada e pro vilao de sempre - o infinito. ***** Serah que existe alguma f tal que: f(x) tende a zero e f'(x) tende a L (diferente de zero) quando x -> infinito? ***** Acho que um sinal de que estamos fazendo progresso no nosso entendimento de matematica (e de qualquer outro assunto) eh o fato de passarmos a achar natural algo que antes parecia contra-intuitivo. Quanto maior esse entendimento, menor o numero de fatos que permanecem contra-intuitivos. O que eh meio chato eh eu ter levado uns 5 minutos pra pensar nos 10 exemplos da minha msg anterior, mas pelo menos eu tenho uma vaga ideia da extensao da minha ignorancia. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================