[obm-l] Re: [obm-l] Função Iterada
Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, E verdade. Verifiquei a mensagem original do Conway. O enunciado correto e : Seja f(x)=x^2 + x + 1. Mostre que para todo natural N 1, os numeros N, f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), ... sao primos entre si. Um problema trivial. Basta analisar o MDC(N,f(N)). O problema abaixo nao e facil. Este problema me foi proposto a cerca de 8 anos atras e a pessoa me contou que o problema havia sido proposto ao Euler, que nao o resolveu. Mas nao sei se esta historia e verdadeira. PROBLEMA : Num poligono convexo de N lados e tal que duas diagonais quaisquer nao sao paralelas. Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de interseccao de diagonais ? OBS : Considere que nenhum ponto ( interior ou exterior ao poligono ) e ponto de interseccao de mais de duas diagonais. SUJESTAO : Antes de fazer uma sugestao, gostaria de registrar que o nosso colega Alexandre Tessarolo resolveu esta questao aqui nesta lista. A solucao dele nao e essa que vou sugerir. De um vertice partem N-3 diagonais. Se N e par havera uma unica diagonai N-3 diagonais se encontram. Afora este caso, duas diagonais quaisquer se encontraram ou fora ou dentro do poligono. IMAGINE as diagonais que partem de um vertice. Considerando qualquer uma delas em particular, observe que ela cinde o poligono em dois outros sub-poligonos que tem um lado em comum ( que e a diagonal sob analise ). Qualquer par de diagonais, uma de cada um dos sub-poligonos representam um ponto de interseccao no exterior, a excecao daqueles pares que tem um vertice comum. Finalmente, para que nao surjam dificuldades devido a paridade de N, use [N], a funcao maximo inteiro : o maior inteiro que nao supera N. Lembre-se tambem que em somatorios complicados, o uso de numeros binomiais costuma facilitara as coisas. Um Grande Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1214,060203 From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Função Iterada Date: Tue, 4 Feb 2003 20:35:22 -0200 Caro Paulo: Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um contra-exemplo: N = 4 Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N 1, os numeros f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N, ... sao dois a dois primos entre si. N = 4 == f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 == f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463 == f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833 Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3 _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Função Iterada
Ola Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,
Eu vou encontrar o problema e a minha solucao enviarei novamente para esta
lista. Talvez, por te-lo reconstituido de memoria, eu tenha colocado uma
composicao a mais - deve ser so f(n), f(f(N)) e
f(f(f(N)))- no enunciado abaixo. Peco desculpas a todos.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
4,1016,050203
OBS : Nao vi o problema. Mais tarde, quando estiver com mais tempo, eu vou
dar uma olhada e envio a solucao.
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Função Iterada
Date: Tue, 4 Feb 2003 20:35:22 -0200
Caro Paulo:
Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um
contra-exemplo: N = 4
Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N 1, os
numeros
f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N, ... sao dois a dois primos entre
si.
N = 4 ==
f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 ==
f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463 ==
f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833
Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3
Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática?
Escolha 9 subconjuntos de 6 elementos de {1, 2, ..., 36 } tais que,
qualquer
que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } - a interseção
de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia.
Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução.
Um abraço,
Claudio.
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[obm-l] Função Iterada
Caro Paulo:
Acho que o enunciado abaixo não está correto, pois encontrei um
contra-exemplo: N = 4
Seja f(x)=x^2 + x + 1. Prove que para todo numero natural N 1, os numeros
f(N), f(f(N)), f(f(f(N))), f(f(f(f(N, ... sao dois a dois primos entre
si.
N = 4 ==
f(4) = 4^2 + 4 + 1 = 21 ==
f(f(4)) = 21^2 + 21 + 1 = 463 ==
f(f(f(4))) = 463^2 + 463 + 1 = 214.833
Mas MDC( f(4) , f(f(f(4))) ) = MDC( 21, 214.833 ) = 3
Você chegou a olhar o problema da Loteria Matemática?
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que seja T - subconjunto de 6 elementos de { 1, 2, ..., 36 } - a interseção
de T com pelo menos um dos 9 subconjuntos escolhidos é vazia.
Eu achei que tinha resolvido, mas descobri um furo na minha solução.
Um abraço,
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