Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
Neste o gabarito tirou zero[EMAIL PROTECTED] wrote: PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhãode alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola"Cocoa Beach"Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulosequiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulosequiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que sejuntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIHdo tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem estepoliedro?(Educational Testing Service-EUA)NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vinada igual. (CAMPEÃO!).__WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
São 5 faces. De fato, considere a pirâmide ABCDE nos termos do enunciado. Agora, construa outra pirâmide congruente, ABXYZ, tal que ABCD e ABXY estejam no mesmo plano pi. Repare que a inclinação das faces das pirâmides com relação a pi é a mesma, logo, se preenchêssemos os triângulos AZE e BZE, teríamos um poliedro CDYXZE de 5 faces. Se tirássemos a pirâmide ABXYZ, continuaríamos com um poliedro de 5 faces. Logo, se mostrarmos que ZE = AB, virá que ABZE será tetraedro, e neste caso, ABZE faz o papel de FGHI. Ora, mas é trivial ver que ZE = AB, basta considerar as projeções de Z e E sobre pi; elas correspondem aos centros das bases ABXY e ABCD. Ainda, ZE é paralelo a pi, pois as pirâmides são congruentes. Logo, ZE = AB, e estamos feitos. []s, Daniel [EMAIL PROTECTED] escreveu: > >PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão >de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola >"Cocoa Beach" > >Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos >equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos >equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se >juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH >do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este >poliedro? > > (Educational Testing Service-EUA) > >NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi >nada igual. (CAMPEÃO!). > > > >__ >WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
É verdade .. quando o Guilherme mandou a resposta eu fui fazer as contas tb ... Não me admiro que tanta gente tenha errado. []'s MP At 00:02 10/8/2004, you wrote: Marcos, acho que você se equivocou na resposta. Realmente Jorge, o problema é interessantíssimo e nunca tinha me deparado com algo similar. Se fizerem um esboço do poliedro resultante vão ver que existe a junção de dois ângulos poliédricos. Fazendo os pontos A=G, D=I, E=H. Vamos encontrar o valor destes ângulos. No Tetraedro: l^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(T) Resolvendo temos que cos(T) = 1/3 Na Pirâmide: [L*sqrt(2)]^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(P) Resolvendo temos que cos(P) = -1/3 Com isso descobrimos que estes ângulos são suplementares, e a junção deles forma um plano perfeito! Isto ocorre com a junção de duas faces do tetraedro com a pirâmide, e o sólido resultante possui duas faces triangulares e três faces quadrangulares. Belíssima questão de Geometria Jorge! Se tiver mais dessas mande! =) Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Paulo Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! = >De:[EMAIL PROTECTED] >Para:[EMAIL PROTECTED] >Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! > >PASMEM! Este problema de geometria, proposto >numa prova para mais de um milhão >de alunos, teve somente um único acertador, >Daniel Lowen, de 17 anos da Escola >"Cocoa Beach" > >Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas >faces laterais são triângulos >equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular >cujas faces sejam (triângulos >equiláteros) congruentes às faces laterais da >pirâmide. Suponhamos que se >juntem os sólidos de maneira que a face ADE da >pirâmide coincida com a face GIH >do tetaedro, o resultado sendo o poliedro >ABCDEF. Quantas faces tem este >poliedro? Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares. > > (Educational Testing Service-EUA) > >NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um >problema fascinante. Nunca vi >nada igual. (CAMPEÃO!). > > > >__ >WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e >usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h >tml > >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Este e-mail está livre de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 Data de Lançamento: 9/8/2004 -- Mensagens enviadas estão livres de vírus. Verificado por AVG Anti-Vírus (http://www.avgbrasil.com.br). Versão: 7.0.262 / Banco de dados de Vírus: 264.5.0 Data de Lançamento: 9/8/2004 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
Marcos, acho que você se equivocou na resposta. Realmente Jorge, o problema é interessantíssimo e nunca tinha me deparado com algo similar. Se fizerem um esboço do poliedro resultante vão ver que existe a junção de dois ângulos poliédricos. Fazendo os pontos A=G, D=I, E=H. Vamos encontrar o valor destes ângulos. No Tetraedro: l^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(T) Resolvendo temos que cos(T) = 1/3 Na Pirâmide: [L*sqrt(2)]^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(P) Resolvendo temos que cos(P) = -1/3 Com isso descobrimos que estes ângulos são suplementares, e a junção deles forma um plano perfeito! Isto ocorre com a junção de duas faces do tetraedro com a pirâmide, e o sólido resultante possui duas faces triangulares e três faces quadrangulares. Belíssima questão de Geometria Jorge! Se tiver mais dessas mande! =) Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Paulo Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! = >De:[EMAIL PROTECTED] >Para:[EMAIL PROTECTED] >Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! > >PASMEM! Este problema de geometria, proposto >numa prova para mais de um milhão >de alunos, teve somente um único acertador, >Daniel Lowen, de 17 anos da Escola >"Cocoa Beach" > >Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas >faces laterais são triângulos >equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular >cujas faces sejam (triângulos >equiláteros) congruentes às faces laterais da >pirâmide. Suponhamos que se >juntem os sólidos de maneira que a face ADE da >pirâmide coincida com a face GIH >do tetaedro, o resultado sendo o poliedro >ABCDEF. Quantas faces tem este >poliedro? Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares. > > (Educational Testing Service-EUA) > >NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um >problema fascinante. Nunca vi >nada igual. (CAMPEÃO!). > > > >__ >WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e >usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h >tml > >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
5 faces! É muito interessante mesmo! Um abração, Guilherme. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:07 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola "Cocoa Beach" Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
= >De:[EMAIL PROTECTED] >Para:[EMAIL PROTECTED] >Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! > >PASMEM! Este problema de geometria, proposto >numa prova para mais de um milhão >de alunos, teve somente um único acertador, >Daniel Lowen, de 17 anos da Escola >"Cocoa Beach" > >Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas >faces laterais são triângulos >equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular >cujas faces sejam (triângulos >equiláteros) congruentes às faces laterais da >pirâmide. Suponhamos que se >juntem os sólidos de maneira que a face ADE da >pirâmide coincida com a face GIH >do tetaedro, o resultado sendo o poliedro >ABCDEF. Quantas faces tem este >poliedro? Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares. > > (Educational Testing Service-EUA) > >NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um >problema fascinante. Nunca vi >nada igual. (CAMPEÃO!). > > > >__ >WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e >usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h >tml > >= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola "Cocoa Beach" Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
