Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Boa noite! Bela e simples solução! Saudações, PJMS Em 29 de junho de 2017 18:21, Julio César Saldaña escreveu: > > > Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH, > então > AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi > desenhar a > perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei > PN até > K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também. > > Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum > tempo > mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o > circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30 > então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois > BC é > mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se > encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o > circuncentro do > triângulo ABK. > > Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto > anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo > BEC. > Resposta: anguloMEC=60 > > Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou > tentar > lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK > > Julio Saldaña > > > -- Mensaje original --- > De : obm-l@mat.puc-rio.br > Para : obm-l@mat.puc-rio.br > Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300 > Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda) > >Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P. > > > >Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" > escreveu: > > > >> Bom dia! > >> > >> O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de > ângulos > >> aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus. > >> Não faltou definir o ponto F? > >> > >> Sds, > >> PJMS > >> > >> Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima < > >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> > >>> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: > >>> > >>> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no > >>> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 > graus, > >>> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os > >>> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. > >>> > >>> GRATO!! > >>> Douglas Oliveira. > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > >-- > >Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > __ > Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese > a: > http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH, então AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi desenhar a perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei PN até K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também. Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum tempo mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30 então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois BC é mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o circuncentro do triângulo ABK. Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo BEC. Resposta: anguloMEC=60 Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou tentar lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300 Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda) Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P. Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" escreveu: Bom dia! O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus. Não faltou definir o ponto F? Sds, PJMS Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus, traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. GRATO!! Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P. Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" escreveu: > Bom dia! > > O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos > aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus. > Não faltou definir o ponto F? > > Sds, > PJMS > > Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > >> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: >> >> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no >> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus, >> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os >> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. >> >> GRATO!! >> Douglas Oliveira. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Bom dia! O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus. Não faltou definir o ponto F? Sds, PJMS Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: > > Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no > ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus, > traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os > pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. > > GRATO!! > Douglas Oliveira. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Geometria plana (Ajuda)
Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão: Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus, traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME. GRATO!! Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.