Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Title: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Oi, Duda:
Eu estou mais lerdo que o de costume.
Aqui estah o contra-exemplo:
a = raiz(2) e b = 1 + raiz(3) tem ambos grau 2.
No entanto, a*b = raiz(2) + raiz(6) tem grau 4 > 2 = MMC(2,2).
Logo, o maximo que dah pra dizer eh realmente que:
grau(a+b) e grau(a*b) <= grau(a)*grau(b).
Um abraco,
Claudio.
on 28.09.03 21:48, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Verdade. E ainda nao consegui achar nenhum. O menor caso nao trivial (onde m < n < MMC(m,n) < m*n), seria com m = 4 e n = 6, mas eh meio sacal ficar tentando na mao pois eu nao tenho acesso a nenhum pacote matematico adequado. Por outro lado, pode ser que a conjectura esteja certa para o caso de a*b... Alias, agradeco a quem mandar uma demonstracao ou um contra-exemplo.
Um abraco,
Claudio.
on 27.09.03 21:29, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio.
Acho que faltou o contra-exemplo para o caso grau(a*b) <= MMC(grau(a), grau(b)).
Duda.
- Original Message -
From: claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Friday, September 26, 2003 8:42 AM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Oi, Domingos e Dirichlet:
De fato, a minha conjectura inicial de que grau(a+b), grau(a*b) <= MDC(grau(a),grau(b)) estava errada.
Contra-exemplos:
1 + raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 1.
raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2 mas seu produto tem grau 1
raiz(2) e raiz(3) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 4.
A resposta correta eh a seguinte:
Seja p(x) = x^n + c(n-1)*x^(n-1) + ... + c(1)*x + c(0) o polinomio minimal do numero algebrico "a" (que terah portanto grau n).
Isso quer dizer que a^n = -c(0)*1 - c(1)*a - ... - c(n-1)*a^(n-1), ou seja:
a^n pode ser expresso como uma combinacao linear racional de 1, a, ..., a^(n-1).
Eh facil ver que, para m > n, a^m tambem pode ser expresso como uma combinacao linear racional desses mesmos n numeros.
Alem disso, como a nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes racionais de grau menor do que n, o conjunto {1, a, ..., a^(n-1)} serah L.I. sobre os racionais.
Assim, este conjunto eh uma base do espaco vetorial de todos os polinomios em a de coeficientes racionais, o qual tem dimensao n = grau(a) sobre Q.
O maximo que dah pra afirmar em geral eh realmente:
grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b)
bastando para isso verificar que se grau(a) = m e grau(b) = n, entao os m*n numeros da forma a^i*b^j (0 <= i <= m-1, 0 <= j <= n-1) geram o espaco vetorial de todos os polinomios em a+b e a*b de coeficientes racionais.
Agradeco ao Eduardo Tengan pelos contra-exemplos e pelas explicacoes.
Um abraco,
Claudio.
De: [EMAIL PROTECTED]
Para:
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Data: Thu, 25 Sep 2003 18:22:48 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
> http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf
>
>
> Usando esse fato fica simples verificar que grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b), mas o que o Cláudio quer me parece bem mais forte...
> Basta ver que é possível obter matrizes que possuem autovalores a+b de dimensão mn x mn. A mesma coisa pro caso ab.
>
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From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, September 25, 2003 5:15 PM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
>
> Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia...
"Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional".
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Title: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Verdade. E ainda nao consegui achar nenhum. O menor caso nao trivial (onde m < n < MMC(m,n) < m*n), seria com m = 4 e n = 6, mas eh meio sacal ficar tentando na mao pois eu nao tenho acesso a nenhum pacote matematico adequado. Por outro lado, pode ser que a conjectura esteja certa para o caso de a*b... Alias, agradeco a quem mandar uma demonstracao ou um contra-exemplo.
Um abraco,
Claudio.
on 27.09.03 21:29, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi Cláudio.
Acho que faltou o contra-exemplo para o caso grau(a*b) <= MMC(grau(a), grau(b)).
Duda.
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From: claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Friday, September 26, 2003 8:42 AM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Oi, Domingos e Dirichlet:
De fato, a minha conjectura inicial de que grau(a+b), grau(a*b) <= MDC(grau(a),grau(b)) estava errada.
Contra-exemplos:
1 + raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 1.
raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2 mas seu produto tem grau 1
raiz(2) e raiz(3) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 4.
A resposta correta eh a seguinte:
Seja p(x) = x^n + c(n-1)*x^(n-1) + ... + c(1)*x + c(0) o polinomio minimal do numero algebrico "a" (que terah portanto grau n).
Isso quer dizer que a^n = -c(0)*1 - c(1)*a - ... - c(n-1)*a^(n-1), ou seja:
a^n pode ser expresso como uma combinacao linear racional de 1, a, ..., a^(n-1).
Eh facil ver que, para m > n, a^m tambem pode ser expresso como uma combinacao linear racional desses mesmos n numeros.
Alem disso, como a nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes racionais de grau menor do que n, o conjunto {1, a, ..., a^(n-1)} serah L.I. sobre os racionais.
Assim, este conjunto eh uma base do espaco vetorial de todos os polinomios em a de coeficientes racionais, o qual tem dimensao n = grau(a) sobre Q.
O maximo que dah pra afirmar em geral eh realmente:
grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b)
bastando para isso verificar que se grau(a) = m e grau(b) = n, entao os m*n numeros da forma a^i*b^j (0 <= i <= m-1, 0 <= j <= n-1) geram o espaco vetorial de todos os polinomios em a+b e a*b de coeficientes racionais.
Agradeco ao Eduardo Tengan pelos contra-exemplos e pelas explicacoes.
Um abraco,
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Data: Thu, 25 Sep 2003 18:22:48 -0300
Assunto: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
> http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf
>
>
> Usando esse fato fica simples verificar que grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b), mas o que o Cláudio quer me parece bem mais forte...
> Basta ver que é possível obter matrizes que possuem autovalores a+b de dimensão mn x mn. A mesma coisa pro caso ab.
>
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From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, September 25, 2003 5:15 PM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
>
> Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia...
"Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional".
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Oi Cláudio.
Acho que faltou o contra-exemplo para o caso
grau(a*b) <= MMC(grau(a), grau(b)).
Duda.
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claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Friday, September 26, 2003 8:42
AM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero
algebrico
Oi, Domingos e Dirichlet:
De fato, a minha conjectura inicial de que grau(a+b), grau(a*b) <=
MDC(grau(a),grau(b)) estava errada.
Contra-exemplos:
1 + raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2, mas sua
soma tem grau 1.
raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2 mas seu produto tem grau
1
raiz(2) e raiz(3) tem ambos grau 2, mas sua soma tem
grau 4.
A resposta correta eh a seguinte:
Seja p(x) = x^n + c(n-1)*x^(n-1) + ... + c(1)*x + c(0) o polinomio
minimal do numero algebrico "a" (que terah portanto grau n).
Isso quer dizer que a^n = -c(0)*1 - c(1)*a - ... - c(n-1)*a^(n-1), ou
seja:
a^n pode ser expresso como uma combinacao linear racional de 1, a, ...,
a^(n-1).
Eh facil ver que, para m > n, a^m tambem pode ser expresso como uma
combinacao linear racional desses mesmos n numeros.
Alem disso, como a nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes
racionais de grau menor do que n, o conjunto {1, a, ..., a^(n-1)} serah L.I.
sobre os racionais.
Assim, este conjunto eh uma base do espaco vetorial de todos os
polinomios em a de coeficientes racionais, o qual tem dimensao n = grau(a)
sobre Q.
O maximo que dah pra afirmar em geral eh realmente:
grau(a + b), grau(ab) <=
grau(a)*grau(b)
bastando para isso verificar que se grau(a) = m e grau(b) =
n, entao os m*n numeros da forma a^i*b^j (0 <= i <= m-1, 0 <= j <=
n-1) geram o espaco vetorial de todos os polinomios em a+b e a*b de
coeficientes racionais.
Agradeco ao Eduardo Tengan pelos contra-exemplos e pelas
explicacoes.
Um abraco,
Claudio.
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18:22:48 -0300
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Re: [obm-l] Grau de
um numero algebrico
> http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf
>
>
> Usando esse fato fica simples verificar que
grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b), mas o que o Cláudio quer me
parece bem mais forte...
> Basta ver que é possível obter matrizes que
possuem autovalores a+b de dimensão mn x mn. A mesma coisa pro caso
ab.
>
- Original Message -
From:
Johann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, September 25, 2003 5:15
PM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero
algebrico
>
> Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia..."Um
numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz
racional".
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Oi, Domingos e Dirichlet:
De fato, a minha conjectura inicial de que grau(a+b), grau(a*b) <= MDC(grau(a),grau(b)) estava errada.
Contra-exemplos:
1 + raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 1.
raiz(2) e -raiz(2) tem ambos grau 2 mas seu produto tem grau 1
raiz(2) e raiz(3) tem ambos grau 2, mas sua soma tem grau 4.
A resposta correta eh a seguinte:
Seja p(x) = x^n + c(n-1)*x^(n-1) + ... + c(1)*x + c(0) o polinomio minimal do numero algebrico "a" (que terah portanto grau n).
Isso quer dizer que a^n = -c(0)*1 - c(1)*a - ... - c(n-1)*a^(n-1), ou seja:
a^n pode ser expresso como uma combinacao linear racional de 1, a, ..., a^(n-1).
Eh facil ver que, para m > n, a^m tambem pode ser expresso como uma combinacao linear racional desses mesmos n numeros.
Alem disso, como a nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes racionais de grau menor do que n, o conjunto {1, a, ..., a^(n-1)} serah L.I. sobre os racionais.
Assim, este conjunto eh uma base do espaco vetorial de todos os polinomios em a de coeficientes racionais, o qual tem dimensao n = grau(a) sobre Q.
O maximo que dah pra afirmar em geral eh realmente:
grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b)
bastando para isso verificar que se grau(a) = m e grau(b) = n, entao os m*n numeros da forma a^i*b^j (0 <= i <= m-1, 0 <= j <= n-1) geram o espaco vetorial de todos os polinomios em a+b e a*b de coeficientes racionais.
Agradeco ao Eduardo Tengan pelos contra-exemplos e pelas explicacoes.
Um abraco,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
<[EMAIL PROTECTED]>
Cópia:
Data:
Thu, 25 Sep 2003 18:22:48 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
> http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf
>
>
> Usando esse fato fica simples verificar que grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b), mas o que o Cláudio quer me parece bem mais forte...
> Basta ver que é possível obter matrizes que possuem autovalores a+b de dimensão mn x mn. A mesma coisa pro caso ab.
>
- Original Message -
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, September 25, 2003 5:15 PM
Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
>
> Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia..."Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional".
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
http://www.maths.ex.ac.uk/~rjc/notes/algn.pdf Usando esse fato fica simples verificar que grau(a + b), grau(ab) <= grau(a)*grau(b), mas o que o Cláudio quer me parece bem mais forte... Basta ver que é possível obter matrizes que possuem autovalores a+b de dimensão mn x mn. A mesma coisa pro caso ab. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, September 25, 2003 5:15 PM Subject: Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia..."Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional".
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Talvez se alguem demonstrar isto aqui o problema saia..."Um numero e algebrico se e somente se e autovalor de alguma matriz racional". Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Pensando um pouco neste problema observei que, se a eh algebrico de grau n eP eh um polinomio de grau n que admite a como raiz, entao a eh raiz demultiplicidade 1. Mas nao estou vendo como esta observacao, certamente muitoconhecida dos que estudam teoria dos numeros, pode ajudar a resolver oproblema.ArturOi, pessoal:O problema do Macaranduba me deu uma ideia:Sabemos que um numero "a" eh dito algebrico de grau n (n >= 1) se "a" ehraiz de um polinomio de grau n e coeficientes inteiros mas nao eh raiz denenhum polinomio de coeficientes inteiros e grau < n.Sejam a e b numeros algebricos de graus m e n, respectivamente.Sabemos que a+b e a*b tambem sao algebricos.O que podemos afirmar sobre os graus de a+b e a*b?Eu diria que os graus de ambos sao sempre <= MMC(m,n), com igualdade se esomente se a e b sao L.I. sobre os racionais (ou seja, se r*a + s*b = 0, comr e s racionais, entao r = s = 0), mas nao tenho uma demonstracao disso (enem um contra-exemplo).Alguem se habilita?Um abraco,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=OPENInternet@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
[obm-l] Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Tem um livro muito legal do Robin Chapman sobre inteiros algebricos, e o Tengan deu umas referencias na Semana Olimpica. -- Mensagem original -- >Oi, pessoal: > >O problema do Macaranduba me deu uma ideia: >Sabemos que um numero "a" eh dito algebrico de grau n (n >= 1) se "a" eh >raiz de um polinomio de grau n e coeficientes inteiros mas nao eh raiz de >nenhum polinomio de coeficientes inteiros e grau < n. > >Sejam a e b numeros algebricos de graus m e n, respectivamente. >Sabemos que a+b e a*b tambem sao algebricos. > >O que podemos afirmar sobre os graus de a+b e a*b? > >Eu diria que os graus de ambos sao sempre <= MMC(m,n), com igualdade se e >somente se a e b sao L.I. sobre os racionais (ou seja, se r*a + s*b = 0, >com >r e s racionais, entao r = s = 0), mas nao tenho uma demonstracao disso (e >nem um contra-exemplo). > >Alguem se habilita? > >Um abraco, >Claudio. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Grau de um numero algebrico
Pensando um pouco neste problema observei que, se a eh algebrico de grau n e P eh um polinomio de grau n que admite a como raiz, entao a eh raiz de multiplicidade 1. Mas nao estou vendo como esta observacao, certamente muito conhecida dos que estudam teoria dos numeros, pode ajudar a resolver o problema. Artur Oi, pessoal: O problema do Macaranduba me deu uma ideia: Sabemos que um numero "a" eh dito algebrico de grau n (n >= 1) se "a" eh raiz de um polinomio de grau n e coeficientes inteiros mas nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes inteiros e grau < n. Sejam a e b numeros algebricos de graus m e n, respectivamente. Sabemos que a+b e a*b tambem sao algebricos. O que podemos afirmar sobre os graus de a+b e a*b? Eu diria que os graus de ambos sao sempre <= MMC(m,n), com igualdade se e somente se a e b sao L.I. sobre os racionais (ou seja, se r*a + s*b = 0, com r e s racionais, entao r = s = 0), mas nao tenho uma demonstracao disso (e nem um contra-exemplo). Alguem se habilita? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Grau de um numero algebrico
Oi, pessoal: O problema do Macaranduba me deu uma ideia: Sabemos que um numero "a" eh dito algebrico de grau n (n >= 1) se "a" eh raiz de um polinomio de grau n e coeficientes inteiros mas nao eh raiz de nenhum polinomio de coeficientes inteiros e grau < n. Sejam a e b numeros algebricos de graus m e n, respectivamente. Sabemos que a+b e a*b tambem sao algebricos. O que podemos afirmar sobre os graus de a+b e a*b? Eu diria que os graus de ambos sao sempre <= MMC(m,n), com igualdade se e somente se a e b sao L.I. sobre os racionais (ou seja, se r*a + s*b = 0, com r e s racionais, entao r = s = 0), mas nao tenho uma demonstracao disso (e nem um contra-exemplo). Alguem se habilita? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
