Para ser chato, todas as frases abaixo estao corretas no universo dos Reais:
x^x^x^x...=2 IMPLICA x=raiz(2)
x^x^x^x...=4 IMPLICA x=raiz(2)
x^2+4=0 IMPLICA x=2
x^2+4=0 IMPLICA x=13
2x+x-3x=25 IMPLICA x=755
2x+x-3x=25 IMPLICA que eu sou o Papa
(O problema eh entender o que significa a palavra IMPLICA...)
O problema que voce descobriu ali eh o seguinte: para resolver uma equacao,
nao basta sair dela via implicacoes e chegar a valores de x! Se voce usou
apenas implicacoes, agora voce tem que TESTAR os ***candidatos a solucao
*** que voce achou para ver quais servem!
Em outras palavras, voce tem que ler o que voce fez assim: SE EXISTIR UMA
SOLUCAO POSITIVA x DA EQUACAO x^x^x^x...=4, entao ela DEVE SATISFAZER
x^4=4, portanto ela deve ser x=raiz(2). Note, SE EXISTIR!!! Infeliamente, o
mesmo se aplica a x^x^x^x...=2... Entao a pergunta que voce realmente quer
fazer eh ao contrario:
Se x=raiz(2), entao L=x^x^x^x... existe? Em caso positivo, L vale quanto?
Para resolver isso, vamos definir x(0)=1, e, recursivamente,
x(n+1)=raiz(2)^x(n) para n=0,1,2,... Vejamos dois fatos sobre esta
sequencia:
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I) x(n) eh limitada, e 2 eh uma cota superior.
De fato, eh obvio que x(0)2; e para todo k, se x(k)2, entao
x(k+1)=raiz(2)^x(k)raiz(2)^22.
Portanto, por inducao, mostramos que x(n)2 para n=0,1,2,3,...
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Deste item, jah concluimos que, **se existir**, L = lim (n-+Inf) x(n) =2.
Portanto, fica claro que a resposta NAO PODE SER 4. Mas ainda falta ver se
a resposta eh 2 (a priori, poderia ser que L simplesmente nao existisse, ou
fosse um outro numero!).
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II) {x_n} eh crescente.
Eh facil fazer isso por inducao, mas vou provar logo que se 0y2, entao
yraiz(2)^y, porque isso vai ser util daqui a pouco.
Entao crie F(y)=raiz(2)^y-y e note que quando 0y2 tem-se
F'(y)=ln(raiz(2)).raiz(2)^y-1ln(raiz(2)).raiz(2)^2-1=ln(2)-10. Entao F(y)
eh decrescente em (0,2); como F(2)=0, vemos que F(y)0 em (0,2).
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Pronto, agora usamos os canhoes de Navarone:
TEOREMA DE ANALISE REAL: TODA SEQUENCIA CRESCENTE COM COTA SUPERIOR TEM QUE
TER LIMITE.
Portanto, por (I) e (II), vemos que L existe. Mais ainda, por (I), jah
sabemos que L=2.
Enfim, lembre que x(n+1)=raiz(2)^x(n). Tomando n-+Inf (e SABENDO QUE L
EXISTE), podemos escrever L=raiz(2)^L. Mas lembra que se 0L2, temos
Lraiz(2)^L... Entao nao pode ser L2!
Ufa! Das duas ultimas linhas, conclui-se que L=2. Entao agora a gente pode
afirmar com certeza que
x^x^x^x^...=2 se, e somente se, x=raiz(2)
x^x^x^x^...=4 nao tem solucao real (se tivesse solucao, como voce
mostrou, esta solucao teria que ser raiz(2)...mas a linha anterior diz que
nao pode ser)
Abraco, Ralph.
2015-01-15 15:10 GMT-02:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Estou reenviando, pois parece que não foi recebido.
Pessoal, estou com uma dúvida:
*Na igualdade x^x^x^... = 2, temos que x^2 = 2, que implica x = raiz
quadrada de 2.*
Se fizermos x^x^x^... = 4, temos x^4 = 4, que também implica x = raiz
quadrada de 2.
Claro que o segundo resultado está errado, mas como justificar?
Mais que isso, como saber quando podemos utilizar esses artifícios sem
incorrer em um absurdo. Imagine que alguém tivesse proposto apenas a
segunda equação? Como saber quando o limite existe?
Obrigado!
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
