[obm-l] Números inteiros e probabilidade
Boa noite, pessoal. Por esses dias, deparei-me com o seguinte problema: "Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a probabilidade de que não haja fator comum que os divida é...?" Não imagino como isso poderia ser calculado. Alguém tem alguma idéia? Obrigado, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números inteiros e probabilidade
On Sat, Feb 28, 2004 at 06:51:31PM -0300, Rafael wrote:
> "Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a probabilidade de que não haja
> fator comum que os divida é...?"
O problema se generaliza naturalmente para n inteiros.
A resposta no caso geral é 1/zeta(n) e no caso que você enunciou
é 1/zeta(3) ~= 0.8319073727. Aqui
zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + 1/5^s + ...
é a função zeta de Riemann. Acredita-se que zeta(3) é um número irracional
que não admite nenhuma expressão simples em termos de outras constantes
como pi e e, mas tanto quanto eu saiba, ninguém sabe provar nada disso.
Por outro lado zeta(2) = pi^2/6, zeta(4) = pi^4/90, zeta(6) = pi^6/945
e zeta(2n) é sempre um múltiplo racional de pi^(2n).
Antes de mais nada vamos ter certeza de que concordamos com a interpretação
do problema. Definimos Xn, um subconjunto de Z^n, da seguinte maneira:
(a1,a2,...,an) pertence a Xn se e somente se mdc(a1,a2,...,an) = 1, i.e.,
se e somente se o único inteiro positivo d para os qual a1/d, a2/d, ... an/d
são todos inteiros é 1. Queremos provar que a densidade de Xn é 1/zeta(n).
A densidade de um subconjunto Y de Z^n é definida pelo limite:
densidade(Y) = lim_{r -> infinito} |Y interseção B(r)|/|Z^n interseção B(r)|
onde B(r) é a bola de raio r centrada no origem. Note que a densidade pode
não existir: numa solução completa do problema, precisaríamos provar que
a densidade de Xn existe para todo n.
Eu não vou provar que a densidade existe mas vou provar que se ela existe
ela vale 1/zeta(n). Defina dXn = { dv, v em Xn } = { v em Z^n, mdc(v) = d }.
Assim dXn é semelhante a Xn, mas expandido por um fator d. Não é difícil
ver que densidade(dXn) = (1/d^n) * densidade(Xn). Mas Zn - {0}, que tem
densidade 1, é a união disjunta dos dXn, d um inteiro positivo.
Assim
1 = densidade(Z^n - {0}) = densidade(Xn) + densidade(2Xn) + densidade(3Xn) +...
= (1 + 1/2^n + 1/3^n + ... ) * densidade(Xn) = zeta(n) * densidade(Xn)
ou
densidade(Xn) = 1/zeta(n).
[]s, N.
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[obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros e probabilidade
Ola "Rafael" e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Se P1 e um numero primo, para cada P1 numeros na sequencia 1, 2, ..., N,
... havera um numero
divisivel por P1, isto e, havera um numero que tem P1 como fator primo.
Vale dizer que entre os
numeros naturais, ao escolhermos um ao acaso, a probabilidade de que ele
tenha P1 como fator
primo e 1/P1
Supondo ( o que e razoavel ) que as escolhas sao eventos independentes,
entao a probabilidade de
que os tres numeros escolhidos tenham P1 por fator primo e :
(1/P1)*(1/P1)*(1/P1) = 1/(P1^3)
O que nos interssa e justamente o contrario, isto e, queremos que os tres
nao tenham o fator
primo P1 em comum. Portanto, a probabilidade e :
1 - [1/(P1^3)]
Devemos repetir este raciocinio para todos os numeros primos. A
probabilidade que procuramos sera
portanto :
R = {1 - [1/(2^3)]}*{1 - [1/(3^3)]}*{1 - [1/(5^3)]}*...*{1 - [1/(P^3)]}*...
R =
{[(2^3)-1]/(2^3)]}*{[(3^3)-1]/(3^3)]}*{[(5^3)-1]/(5^3)]}*...*{[(P^3)-1]/(P^3)]}*...
1/R
={(2^3)/[(2^3)-1]}*{(3^3)/[(3^3)-1]}*{(5^3)/[(5^3)-1]}*...*{(P^3)/[(P^3)-1]}*...
1/R
={1/[1-(2^(-3))]}*{1/[1-(3^(-3))]}*{1/[1-(5^(-3))]}*...*{1/[1-(P^(-3))]}*...
Observe que cada fator e da forma :
{1/[1-(P^(-3))]}= 1 + (1/P)^3 + (1/P)^6 + (1/P)^9 + ... + (1/P)^(3*N) + ...
Olhando com tranquilidade, se convenca de que para qualquer natural N, o
valor de 1/R contem
1/(N^3), isto e :
1/R = 1 + (1/2)^3 + (1/3)^3 + (1/4)^3 + ... + (1/N)^3 + ...
Esta serie e evidentemente convergente. Todavia, se voce propor o problema
de se determinar
o seu valor, muito provavelmente, nenhum matematico do mundo sabera
responder. Euler e Gauss
se ocuparam dela, sem sucesso. O "valor simbolico" e ZETA(3), onde ZETA e a
famoso funcao
de Riemann sobre a qual ninguem sabe provar se todos os seus zeros
nao-triviais tem realmete
parte real igual a 1/2.
Portanto :
1/R = ZETA(3) => R = 1/ZETA(3)
Observe que se fossem escolhidos 2 numeros, teriamos R=1/ZETA(2)=6/(pi^2).
Esta e tambem
a probabilidade de se escolher um numero natural de forma que ele nao tenha
fator primo duplicado
( alguem ja provou isso aqui nesta lista ). Dai eu concluo que para N
numeros bastaria saber a
probabilidade do numero nao ter fator primo elevado a N.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
1,2154,010304
From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: "OBM-L" <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] Números inteiros e probabilidade
Date: Sat, 28 Feb 2004 18:51:31 -0300
Boa noite, pessoal.
Por esses dias, deparei-me com o seguinte problema:
"Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a probabilidade de que não haja
fator comum que os divida é...?"
Não imagino como isso poderia ser calculado. Alguém tem alguma idéia?
Obrigado,
Rafael de A. Sampaio
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Re: [obm-l] RE: [obm-l] Números inteiros e probabilidade
O que é a funçao Zeta de Riemann e que zeros nao
triviais sao esses??
--- Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: >
Ola "Rafael" e demais
> colegas desta lista ... OBM-L,
>
> Se P1 e um numero primo, para cada P1 numeros na
> sequencia 1, 2, ..., N,
> ... havera um numero
> divisivel por P1, isto e, havera um numero que tem
> P1 como fator primo.
> Vale dizer que entre os
> numeros naturais, ao escolhermos um ao acaso, a
> probabilidade de que ele
> tenha P1 como fator
> primo e 1/P1
>
> Supondo ( o que e razoavel ) que as escolhas sao
> eventos independentes,
> entao a probabilidade de
> que os tres numeros escolhidos tenham P1 por fator
> primo e :
>
> (1/P1)*(1/P1)*(1/P1) = 1/(P1^3)
>
> O que nos interssa e justamente o contrario, isto e,
> queremos que os tres
> nao tenham o fator
> primo P1 em comum. Portanto, a probabilidade e :
>
> 1 - [1/(P1^3)]
>
> Devemos repetir este raciocinio para todos os
> numeros primos. A
> probabilidade que procuramos sera
> portanto :
>
> R = {1 - [1/(2^3)]}*{1 - [1/(3^3)]}*{1 -
> [1/(5^3)]}*...*{1 - [1/(P^3)]}*...
> R =
>
{[(2^3)-1]/(2^3)]}*{[(3^3)-1]/(3^3)]}*{[(5^3)-1]/(5^3)]}*...*{[(P^3)-1]/(P^3)]}*...
> 1/R
>
={(2^3)/[(2^3)-1]}*{(3^3)/[(3^3)-1]}*{(5^3)/[(5^3)-1]}*...*{(P^3)/[(P^3)-1]}*...
> 1/R
>
={1/[1-(2^(-3))]}*{1/[1-(3^(-3))]}*{1/[1-(5^(-3))]}*...*{1/[1-(P^(-3))]}*...
>
> Observe que cada fator e da forma :
>
> {1/[1-(P^(-3))]}= 1 + (1/P)^3 + (1/P)^6 + (1/P)^9 +
> ... + (1/P)^(3*N) + ...
>
> Olhando com tranquilidade, se convenca de que para
> qualquer natural N, o
> valor de 1/R contem
> 1/(N^3), isto e :
>
> 1/R = 1 + (1/2)^3 + (1/3)^3 + (1/4)^3 + ... +
> (1/N)^3 + ...
>
> Esta serie e evidentemente convergente. Todavia, se
> voce propor o problema
> de se determinar
> o seu valor, muito provavelmente, nenhum matematico
> do mundo sabera
> responder. Euler e Gauss
> se ocuparam dela, sem sucesso. O "valor simbolico" e
> ZETA(3), onde ZETA e a
> famoso funcao
> de Riemann sobre a qual ninguem sabe provar se
> todos os seus zeros
> nao-triviais tem realmete
> parte real igual a 1/2.
>
> Portanto :
>
> 1/R = ZETA(3) => R = 1/ZETA(3)
>
> Observe que se fossem escolhidos 2 numeros, teriamos
> R=1/ZETA(2)=6/(pi^2).
> Esta e tambem
> a probabilidade de se escolher um numero natural de
> forma que ele nao tenha
> fator primo duplicado
> ( alguem ja provou isso aqui nesta lista ). Dai eu
> concluo que para N
> numeros bastaria saber a
> probabilidade do numero nao ter fator primo elevado
> a N.
>
> Um Abraco
> Paulo Santa Rita
> 1,2154,010304
>
>
>
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> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
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> >Subject: [obm-l] Números inteiros e probabilidade
> >Date: Sat, 28 Feb 2004 18:51:31 -0300
> >
> >Boa noite, pessoal.
> >
> >Por esses dias, deparei-me com o seguinte problema:
> >
> >"Sejam três inteiros escolhidos ao acaso, a
> probabilidade de que não haja
> >fator comum que os divida é...?"
> >
> >Não imagino como isso poderia ser calculado. Alguém
> tem alguma idéia?
> >
> >
> >Obrigado,
> >
> >Rafael de A. Sampaio
> >
>
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