Esse eu lembro que ele tá no livro do Elon!
Se U_1 é o conjunto dos pontos de condensação unilaterais à esquerda,
digamos que para cada x em U_1 temos que o intervalo J_x = ]x, x +
eps_x[ tem interseção enumerável com A. Para cada x em U_1, a
interseção U inter J_x é vazia, pois se houvesse pontos de U em J_x
(que é aberto), haveria uma quantidade não-enumerável de pontos de A
dentro de J_x. Portanto, os J_x sãp todos disjuntos, e escolhendo um
racional dentro de cada um deles mostramos que eles são enumeráveis!
Pelo mesmo argumento, o conjunto U_2 dos pontos de condensação à
direita também é enumerável.
Me lembrei agora que na verdade o exercício do Elon era pra mostrar
que o conjunto dos pontos de acumulação unilateral de qualquer
conjunto era enumerável. Era mais ou menos o mesmo argumento que esse,
só que cada J_x tinha interseção vazia com A, ao invés de ter
interseção enumerável.
Isso aí de mostrar que B inter A não é enumerável eu deixo pra depois.
abraços!
2013/2/11 Artur Costa Steiner :
> Em um espaço topológico qualquer, dizemos que x é ponto de condensação de um
> conjunto A se, para toda vizinhança V de x, V inter A não for enumerável.
> Por exemplo, todos os pontos de um disco fechado em R^2 são pontos de
> condensação do correspondente disco aberto.
>
> É imediato que todo ponto de condensação é ponto de acumulação.
>
> Em R, com a métrica euclidiana, temos ainda os seguintes conceitos correlatos:
>
> Dizemos que x é ponto de condensação bilateral de A se, para todo eps > 0,
> ambos os intervalos (x - eps, x) e (x + eps) tiverem com A interseções não
> enumeráveis. E dizemos que x é ponto de condensação unilateral de A se, para
> todo eps > 0, um destes intervalos, mas não ambos, tiver com A interseção não
> enumerável. Isto é, no caso bilateral, os pontos de A condensam-se à direita
> e à esquerda de x; e, no caso unilateral, apenas em um dos lados (podemos, se
> quisermos, definir pontos de condensação à direita e à esquerda). Observamos
> que, com base nestas definições, pontos de condensação bilaterais não são
> unilaterais. Estes últimos não são casos particulares dos primeiros.
>
> Por exemplo, todo elemento de (0, 1) é ponto de condensação bilateral do
> mesmo. 0 e 1 são os únicos pontos de condensação unilaterais deste conjunto.
> No caso, não pertencentes ao conjunto. Temos também que 1 é ponto de
> condensação bilateral de (0, 1) U (1, 2). Não pertencente à união.
>
> A questão é: seja A um subconjunto não enumerável de R. Sejam B o conjunto de
> seus pontos de condensação bilaterais e U o dos pontos de condensação
> unilaterais. Mostre que
>
> U é enumerável
> B inter A não é enumerável
>
> Os seguintes fatos, válidos em qualquer espaço métrico separável (que
> contenha um conjunto denso enumerável, como os racionais em R), talvez possam
> ajudar:
>
> Sendo C o conjunto de todos os pontos de condensação do não enumerável A,
> temos que
>
> C inter A não é enumerável
> C é fechado
> Todo elemento de C é ponto de condensação de A inter C
> O conjunto dos elementos de A que não são pontos de condensação do mesmo é,
> no máximo, enumerável
>
>
> Abraços a todos.
>
>
> Artur Costa Steiner
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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