[obm-l] Pontos de condensacao
Serah que existe uma forma simples de provar o seguinte? Sendo A um subconjunto de R, dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca de x intersectar A segundo um conjunto nao enumeravel. Por exemplo, todo elemento de (0, 1), alem de 0 e de 1, sao pontos de condensacao de (0, 1). Sabemos que se A nao for enumeravel, entao o conjunto C, dos pontos de condensacao de A, eh fechado e nao-enumeravel. Dizemos que y eh ponto de condensacao bilateral de A se, para todo eps 0, os conjuntos (x -eps, x) Inter A e (x, x+ eps) Inter A forem ambos nao-enumeraveis. Isto eh, os pontos de A se condensam aa esquerda e aa direita de y. Assim, 0 e 1 sao pontos de condensacao de (0, 1) mas nao sao bilaterais. E dizemos que z eh ponto de condensacao unilateral de A - como o sao 0 e 1 no exemplo dado - se os pontos de A se condensarem ou aa esquerda ou aa direita de z, mas nao a ambas. Por estas definicoes, pontos de condensacao bilaterais nao sao unilaterais. Seja A um subconjunto nao-enumeravel de R e sejam B e U os conjuntos dos pontos de condensacao bilaterais e unilaterais de A (pelas definicoes, B e U formam uma particao de C). Mostre que B eh nao-numeravel e que U eh enumeravel (possivelmente vazio ou finito). O conjunto B tem que ser aberto? Eh possivel que U seja vazio para algum nao-enumeravel proprio de R? Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] pontos de condensacao
Em um espaco metrico (ou mesmo em um espaco topologico
geral) que nao seja separavel (isto eh, nao possua
nenhuma base enumeravel), eh possivel que um conjunto
nao enumeravel nao possua pontos de condensacao? (se o
espaco for separavel, sabemos que nao eh possivel)
Dizemos que p eh ponto de condensacao de um conjunto A
se, para toda vizinhanca V de p, V inter A nao for
enumeravel. Por exemplo, na reta real, 2 eh ponto de
condensacao do intervalo (2,3). 0 eh ponto de
acumulacao de {1, 1/2, 1/31/n}, mas nao eh
ponto de condensacao. Eh facil ver que conjuntos
ewnumeraveis nao possuem pontos de condensacao.
Obrigado
Artur
__
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[obm-l] pontos de condensacao
Boa tarde a todos.
Em um espaco metrico (ou mesmo em um espaco topologico
geral) que nao seja separavel (isto eh, nao possua
nenhuma base enumeravel), eh possivel que um conjunto
nao enumeravel nao possua pontos de condensacao? (se o
espaco for separavel, sabemos que nao eh possivel)
Dizemos que p eh ponto de condensacao de um conjunto A
se, para toda vizinhanca V de p, V inter A nao for
enumeravel. Por exemplo, na reta real, 2 eh ponto de
condensacao do intervalo (2,3). 0 eh ponto de
acumulacao de {1, 1/2, 1/31/n}, mas nao eh
ponto de condensacao. Eh facil ver que conjuntos
ewnumeraveis nao possuem pontos de condensacao.
Obrigado
Artur
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RE: [obm-l] Pontos de condensacao em R^n
Na minha outra mensagem sobre este assunto, eu escrevi: Espero que isto tudo esteja certo. Eu tenho ainda a impressao de que B inter S eh aberto e U inter S eh fechado, mas nao provei. Um abraco Nao, nao eh verdade que B inter S tenha que ser aberto. Um contrarexemplo simple eh o conjunto dos irracionais. Se S for o conjunto dos irracionais, entao eh imediato que B=R e que B inter S eh o proprio S, o qual nao eh abeto. Logo, o conjunto dos pontos de condensacao bilaterais de um conjunto que pertencem ao conjunto nao tem que ser aberto. Mas U inter S eh de fato fechado. U eh formado pelos pontos extremos de uma colecao de intervalos fechados disjuntos 2 a dois. Logo, U nao tem pontos de acumulacao, o que acarreta que seu subconjunto U inter S tambem nao tenha. Log, U inter S eh fechado. Boas festas ! Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Pontos de condensacao em R
Eu gostaria de explorer um pouco mais aquela questao que foi lancada alguns
dias atras pelo Domingos. Vamos tentar provar que, se S eh um subconjunto
nao numeravel de R, entao (1) O conjunto B dos pontos de condensacao
bilaterias de S nao eh numeravel e (2), o conjunto U dos pontos de
condensacao unilaterias de S eh numeravel.
Sabemos que, se P eh o conjunto dos pontos de condensacao de S, entao P eh
fechado e nao numeravel (isto jah foi provadao aqui na lista, para espacos
metricos gerais). Sendo W o complementar de P, temos que W eh aberto e,
portanto, W = Uniao (a_n , b_n), uma uniao numeravel de intervalos abertos
disjuntos 2 a dois. Alem disto, a intersecao de W com S eh numeravel. Temos
entao que P eh dado por uma uniao numeravel de intervalos fechados da forma
[b_n , a_n+1]. Nunca teremos b_n = a_n+1, pois, se isto ocorresse, b_n =
a_n+1 nao seria ponto de condensacao de S. Definamos W* = Uniao [a_n , b_n].
Entao, W* contem todos os reais que nao sao pontos de condensacao de S. Como
os a_n's e b_n's nao pertencem a W, segue-se que sao pontos de condensacao
de S. Da definicao dos intervalos (a_n, b_n), verificamos que os pontos de
S nao podem se condensar aa direita de a_n, pois (a_n, b_n) intersecta S
segundo uma quantidade enumeravel de elementos. Similarmente, nao podem se
condensar aa esquerda de b_n. Logo, os a_n's e b_n's sao pontos de
acumulacao unilaterais.
Ser x e ponto de condensacao de S, entao existe um n tal que x estah em [b_n
, a_n+1]. Suponhamos que b_n x a_n+1. Se os pontos de S nao se
condensarem aa direita de x, existe entao 0eps a_n+1 - x tal que (x,
x+eps) contem apenas uma quantidade numeravel de elementos de S, o que
contraria o fato de todos os elementos de (x, x+eps) sao pontos de
condensacao de S. De modo similar, verificamos que a hipotese de que os
elementos de S nao se condensem aa esquerda de x leva igualmente a
contradicao. Logo, x e ponto de condensacao bilateral de S. Disto concuimos
que B eh dado pela uniao de intervalos abertos da forma (b_n , a_n+1), sendo
assim um conjunto aberto e, portanto, nao numeravel. Isto prova (1). Por
outro lado, U = {a1, b1, a2, b2.}, logo um conjunto numeravel, o que
prova (2).
Temos ainda umas conclusoes interessantes:
(a) Como U = P -B, sendo P fechado e B aberto, segue-se que U eh fechado.
(b) Por ser um subconjunto de U, temos que U inter S, o conjunto dos
elementos de S que sao pontos de condensacao unilateral o mesmo, eh
numeravel.
(c) Temos que P inter S = (B inter S) Uniao (U inter S). Como P inter S nao
eh numeravel e U inter S eh, segue-se que B inter S, o conjunto dos
elementos de S que sao pontos de condensacao bilateral do mesmo, nao eh
numeravel.
(d) Como B eh aberto, todo x de B possui um intervalo aberto I contido em B.
Logo, todo x de B eh ponto de condensacao bilateral de B.
(e) Se x pertence a B inters S e I =(x, eps), eps 0, entao I inter S = (I
inter S inter B) Uniao (I inter S inter U) Uniao (I inter S inter W). Temos
que I inter S nao eh numeravel, I inter S inter U eh numeravel e I inter S
inter W eh numeravel. Logo I inter S inter B nao eh numeravel. Como uma
conclusao similar vale para o intervalo (x-eps, x) , concluimos que se x
estah em B inter S, entao x e ponto de acumulacao bilateral de B inter S.
Espero que isto tudo esteja certo. Eu tenho ainda a impressao de que B inter
S eh aberto e U inter S eh fechado, mas nao provei.
Um abraco
Artur
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