Re: [obm-l] Quadrilatero ciclico
Caro J.P.G.L. Dirichlet, Eu estive pensando sobre o seu problema e provarei um caso particular, admitindo que o quadrilátero cíclico seja um quadrado e M seja um ponto qualquer do primeiro quadrante e no interior desse quadrado. A demonstração para M nos outros quadrantes é análoga, portanto omitirei. No caso mais geral de um quadrilátero cíclico qualquer, não será mito difícil provar, talvez um pouco trabalhoso, mas como você ama trigonometria, vai adorar... Suponhamos que M tenha coordenadas (x;y). Imaginando um quadrado inscrito na circunferência de equação x^2 + y^2 = r^2, a projeção ortogonal de M em BC gera F e em AD gera H; o ponto médio de FH será o ponto P(0;y). A projeção ortogonal de M em AB gera o ponto E e em CD gera o ponto G; o ponto médio de EG será o ponto Q(x,0). Agora, lembremo-nos de que as diagonais do quadrado estão contidas nas bissetrizes dos quadrantes pares e ímpares de equações, respectivamente, x + y = 0 e x - y = 0. A projeção ortogonal de M em BD gera o ponto L(a,a) e em AC o ponto K(-b,b); para descobrimos tais coordenadas, levamos em conta que a distância entre os pontos M e L será igual à distância do ponto M à reta bissetriz dos quadrantes ímpares; semelhantemente, a distância entre os pontos M e K será igual à distância do ponto M à reta bissetriz dos quadrantes pares. Assim: sqrt((x - a)^2 + (y - a)^2) = |x - y|/sqrt(2) e sqrt((x + b)^2 + (y - b)^2) = |x + y|/sqrt(2) Desenvolvendo essas equações e resolvendo para 'a' e 'b', obteremos: a = (x + y)/2eb = (y - x)/2 Portanto, L((x + y)/2 ; (x + y)/2) e K((x - y)/2 ; (y - x)/2). O ponto médio de KL será o ponto R(x/2 ; y/2). Calculando o determinante da matriz correspondente aos pontos P, Q e R: | x 0 1 | | 101 | | 0 y 1 | = xy | 011 | | x/2 y/2 1 | | 1/2 1/2 1 | Pelo teorema de Jacobi, podemos multiplicar a terceira linha por 2 e subtrair da primeira linha: | 0 11 | xy | 0 11 | = 0 | 1/2 1/2 1 | Tínhamos, assim, uma das linhas da matriz como combinação linear de outras duas; sabemos que quando duas filas paralelas são iguais o determinante é nulo. Logo, se o determinante é nulo, os pontos são colineares, conforme queríamos demonstrar. É claro que a solução foi facilitada, pois conhecíamos de antemão as retas que contêm as diagonais do quadrado, as coordenadas dos pontos P e Q, enfim... Tudo isso terá de ser esquecido para um quadrilátero cíclico qualquer e aí está a parte trabalhosa. Ressalto que esta foi apenas uma sugestão, em que aproveitei para demonstrar um caso particular desse teorema. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, March 22, 2004 8:04 PM Subject: [obm-l] Quadrilatero ciclico ABCD é um quadrilátero cíclico. M é um ponto qualquer. E, F, G, H, K, L são as projeções de M em AB, BC, CD, DA, AC, BD, respectivamente. Prove que os pontos médios de EG, FH, KL são colineares. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quadrilatero ciclico
Legal Rafael...talvez ficaria mais facil em plano complexo.Os vertices do seu quadrado seriam 1,i,-1,-i. Sera que essa e a ideia???Vou testar em casa...Se eu conseguir envio em cima dessa.Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro "J.P.G.L. Dirichlet",Eu estive pensando sobre o seu problema e provarei um caso particular,admitindo que o quadrilátero cíclico seja um quadrado e M seja um pontoqualquer do primeiro quadrante e no interior desse quadrado. A demonstraçãopara M nos outros quadrantes é análoga, portanto omitirei. No caso maisgeral de um quadrilátero cíclico qualquer, não será mito difícil provar,talvez um pouco trabalhoso, mas como você ama trigonometria, vai adorar...Suponhamos que M tenha coordenadas (x;y). Imaginando um quadrado inscrito nacircunferência de equação x^2 + y^2 = r^2, a projeção ortogonal de M em BCgera F e em AD gera H; o ponto médio de FH será o ponto P(0;y). A projeçãoortogonal de M em AB gera o ponto E e em CD gera o ponto G; o ponto médio deEG será o ponto Q(x,0). Agora, lembremo-nos de que as diagonais do quadradoestão contidas nas bissetrizes dos quadrantes pares e ímpares de equações,respectivamente, x + y = 0 e x - y = 0. A projeção ortogonal de M em BD gerao ponto L(a,a) e em AC o ponto K(-b,b); para descobrimos tais coordenadas,levamos em conta que a distância entre os pontos M e L será igual àdistância do ponto M à reta bissetriz dos quadrantes ímpares;semelhantemente, a distância entre os pontos M e K será igual à distância doponto M à reta bissetriz dos quadrantes pares. Assim:sqrt((x - a)^2 + (y - a)^2) = |x - y|/sqrt(2)esqrt((x + b)^2 + (y - b)^2) = |x + y|/sqrt(2)Desenvolvendo essas equações e resolvendo para 'a' e 'b', obteremos:a = (x + y)/2 e b = (y - x)/2Portanto, L((x + y)/2 ; (x + y)/2) e K((x - y)/2 ; (y - x)/2).O ponto médio de KL será o ponto R(x/2 ; y/2).Calculando o determinante da matriz correspondente aos pontos P, Q e R:| x 0 1 | | 1 0 1 || 0 y 1 | = xy | 0 1 1 || x/2 y/2 1 | | 1/2 1/2 1 |Pelo teorema de Jacobi, podemos multiplicar a terceira linha por 2 esubtrair da primeira linha:| 0 1 1 |xy | 0 1 1 | = 0| 1/2 1/2 1 |Tínhamos, assim, uma das linhas da matriz como combinação linear de outrasduas; sabemos que quando duas filas paralelas são iguais o determinante énulo. Logo, se o determinante é nulo, os pontos são colineares, conformequeríamos demonstrar.É claro que a solução foi facilitada, pois conhecíamos de antemão as retasque contêm as diagonais do quadrado, as coordenadas dos pontos P e Q,enfim... Tudo isso terá de ser esquecido para um quadrilátero cíclicoqualquer e aí está a parte trabalhosa. Ressalto que esta foi apenas umasugestão, em que aproveitei para demonstrar um caso particular desseteorema.Abraços,Rafael de A. Sampaio- Original Message -From: Johann Peter Gustav Lejeune DirichletTo: [EMAIL PROTECTED]Sent: Monday, March 22, 2004 8:04 PMSubject: [obm-l] Quadrilatero ciclicoABCD é um quadrilátero cíclico. M é um ponto qualquer. E, F, G, H, K, L sãoas projeções de M em AB, BC, CD, DA, AC, BD, respectivamente. Prove que ospontos médios de EG, FH, KL são colineares.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] Quadrilatero ciclico
Vamos fazer um pouco de geometria so para nao se desacostumar... ABCD e um quadrilatero ciclico.M we um ponto qualquer. E,F,G,H,K,L, sao as projeçoes de M em AB,BC,CD,DA,AC,BD respectivamente. Prove que os pontos medios de EG,FH,KL sao colineares. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
