Re: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999
Sim, a resposta da primeira é essa mesmo.Pra segunda, basta olhar pra soma dos elementos de cada linha.A soma da primeira e a soma da segunda são 55. Se todos os últimos dígitos da terceira linha fossem distintos, então a soma da terceira linha terminaria em 5, o que não é possível, pois sua soma é 55+55=110.Abraços, Villard - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "OBM - Lista" <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999Data: 10/09/03 15:22 Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de saber as respostas: Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é essa. Problema 1 Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos. Problema 3 A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente. A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem. Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima. Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada)
Questão 1: Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos. 100x + 10y + z = x3 + y3 + z3 e 100x + 10y + (z+1) = x3 + y3 + (z+1)3 Subtraindo uma da outra e desenvolvendo, temos z2 + z=0, logo z = 0 (não pode ser negativo) Logo, x3 + y3 é divisível por 10. Analisando os cubos módulo 10 obtemos que y = x-10 Logo, 100x + 10*(x-10) = x3 + (x-10)^3 x^2 - 13x + 30=0 x = 3 ou x = 10 (não vale) logo, os únicos tricubicos consecutivos são 370 e 371 -Original Message- From: Rodrigo Maranhão [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, September 10, 2003 8:30 PM To: OBM - Lista Subject: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada) Estou reenviando o e-mail pq acho q o Server da lista não o encaminhou já q estava com figura. Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de saber as respostas: Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é essa. Problema 1 Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos. Problema 3 A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem. Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima. Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada)
De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM - Lista" <[EMAIL PROTECTED]> Cópia: Data: Wed, 10 Sep 2003 20:30:11 -0300 Assunto: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada) Problema 3 A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem. Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima. Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos? Resposta: Não. Seja S(k) = soma dos últimos algarismos da k-ésima linha (k = 1, 2, 3). Então S(1) = S(2) = 1 + 2 + ... + 9 + 10 = 55. Logo: S(1) = S(2) == 5 (mod 10) Além disso, vale S(3) == S(1) + S(2) (mod 10) ==> S(3) == 0 (mod 10). Mas, se os algarismos das unidades da 3a. linha forem todos distintos, então teremos também S(3) = 55 == 5 (mod 10) ==> contradicão. Um abraco, Claudio.
[obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada)
Estou reenviando o e-mail pq acho q o Server da lista não o encaminhou já q estava com figura. Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de saber as respostas: Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é essa. Problema 1 Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos. Problema 3 A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem. Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima. Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos? image001.gif Description: Binary data
[obm-l] Re: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999
Problema 1: (Não sei se está certo, então peço que verifiquem e apontem
possíveis erros). Seja a = (ABC), por exemplo 725 = (725), A = 7, B = 2,
C=5.
Se (ABC) = A^3 + B^3 + C^3, e (AB(C+1)) = A^3 + B^3 + (C+1)^3, então, como
(AB(C+1)) - (ABC) = 1, 3C(C+1) = 0. Como C não pode ser negativo, C=0. Os
números terminam em 0, e os consecutivos, é claro, terminam em 1.
Como C = 0, então (AB0) = A^3 + B^3.
1^3 =1; 2^3 = 8; 3^3 = 27; 4^3 = 64; 5^3 = 125; 6^3 = 216; 7^3 = 343; 8^3 =
512; 9^3 = 729.
Quando A + B = 10, (AB0) é solução. O consecutivo será (AB1).
A solução é S = {(250,251), (280,281), (370,371), (520,521), (730,731)}, em
que ((ABC), (AB1)) são os pares pedidos.
Eu acho que é isso.
Abraços,
Bernardo
From: Rodrigo Maranhão <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: "OBM - Lista" <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999
Date: Wed, 10 Sep 2003 14:53:07 -0300
Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria
de saber as respostas:
Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos
consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta
é essa.
Problema 1
Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a
soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números
consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.
Problema 3
A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a
10, em ordem crescente.
A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer
ordem.
Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números
escritos nas casas acima.
Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os
algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos
distintos?
_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999
faça assim, seja n = 100a + 10b + c = a³ + b³ + c³ (a, b, c dígitos, a > 0) caso c <= 8 n + 1 = 100a + 10b + c + 1 = a³ + b³ + (c+1)³ <=> 3c² + 3c = 0 <=> c = 0 n = 100a + 10b, 10 | (a³ + b³ ) note que (1³, 2³, 3³, ..., 9³) = (1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9) mod 10 ou seja, se fixarmos um valor para b, só há um valor que possa satisfazer a congruência módulo 10, então precisamos testar não mais do que dez pares de valores a, b... um ex. pra vc pegar a idéia: se testarmos b = 2, então a = 8, pois 8³ + 2³ = 0 mod 10, mas 820 != 8³ + 2³ ... já b = 7 nos força a = 3 e 370 = 3³ + 7³. para o caso c = 9 devemos ter: b < 9, se não a³ + b³ + c³ > 2*9³ > 1000 logo n = 100a + 10b + 9 = a³ + b³ + 9³ e n + 1 = 100a + 10(b + 1) = a³ + (b + 1)³ = n - 9³ + 3b² + 3b + 1 <=> 3b² + 3b = 9³, mas 3b² + 3b < 330 < 9³, logo não há pares consecutivos tricúbicos aqui... [ ]'s Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de saber as respostas: Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é essa. Problema 1 Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos.
[obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999
Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de saber as respostas: Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é essa. Problema 1 Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos. Problema 3 A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente. A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem. Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima. Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos? image001.gif Description: Binary data
