[obm-l] Re:[obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada)
De: [EMAIL PROTECTED] Para: "OBM - Lista" <[EMAIL PROTECTED]> Cópia: Data: Wed, 10 Sep 2003 20:30:11 -0300 Assunto: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada) Problema 3 A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem. Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima. Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos? Resposta: Não. Seja S(k) = soma dos últimosalgarismos da k-ésima linha (k = 1, 2, 3). Então S(1) = S(2) = 1 + 2 + ... + 9 + 10 = 55. Logo: S(1) = S(2) == 5 (mod 10) Além disso, vale S(3) == S(1) + S(2) (mod 10) == S(3) == 0 (mod 10). Mas, se os algarismos das unidades da 3a. linha forem todos distintos, então teremos também S(3) = 55 == 5 (mod 10) == contradicão. Um abraco, Claudio.
[obm-l] RE: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada)
Questão 1: Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos. 100x + 10y + z = x3 + y3 + z3 e 100x + 10y + (z+1) = x3 + y3 + (z+1)3 Subtraindo uma da outra e desenvolvendo, temos z2 + z=0, logo z = 0 (não pode ser negativo) Logo, x3 + y3 é divisível por 10. Analisando os cubos módulo 10 obtemos que y = x-10 Logo, 100x + 10*(x-10) = x3 + (x-10)^3 x^2 - 13x + 30=0 x = 3 ou x = 10 (não vale) logo, os únicos tricubicos consecutivos são 370 e 371 -Original Message- From: Rodrigo Maranhão [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, September 10, 2003 8:30 PM To: OBM - Lista Subject: [obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada) Estou reenviando o e-mail pq acho q o Server da lista não o encaminhou já q estava com figura. Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de saber as respostas: Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é essa. Problema 1 Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos. Problema 3 A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem. Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima. Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questões da Olimpíada de Maio de 1999 (reenviada)
Estou reenviando o e-mail pq acho q o Server da lista não o encaminhou já q estava com figura. Abaixo vão dois problemas da olimpíada de maio de 1999 que eu gostaria de saber as respostas: Obs: O problema 1 eu resolvi e achei apenas 1 par de tricúbicos consecutivos: 370 e 371. No entanto gostaria de confirmar se a resposta é essa. Problema 1 Um número natural de três algarismos é chamado de tricúbico se é igual a soma dos cubos dos seus dígitos. Encontre todos os pares de números consecutivos tais que ambos sejam tricúbicos. Problema 3 A primeira fileira da tabela abaixo se preenche com os números de 1 a 10, em ordem crescente. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] A segunda fileira se preenche com os números de 1 a 10, em qualquer ordem. Em cada casa da terceira fileira se escreve a soma dos dois números escritos nas casas acima. Existe alguma maneira de preencher a segunda fileira de modo que os algarismos das unidades dos números da terceira fileira sejam todos distintos? image001.gif Description: Binary data
