[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989
Caro Luís Lopes, Tem a solução dessa prova no site do rumo_ao_ita fornecida pelo Colegio ETAPA (eu deveria ter colocado a fonte na mensagem anterior - obrigado por me lembrar). Abraco, sergio 2013/7/1 Luís Lopes > Sauda,c~oes, oi Sergio, > > No google triangle construction given H_a,W_a,O aparecem outras > soluções e comentários. > > Qual a fonte da sua construção ? > > Abs, > Luis > > -- > Date: Mon, 1 Jul 2013 09:58:53 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica > (triângulos) ITA 1989 > From: sergi...@smt.ufrj.br > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Caros, > > Complementando entao a resposta do Luís Lopes, > aqui vai a solução do problema: > > > ANÁLISE DO PROBLEMA: > > Seja M a projeção de O na reta suporte de DH. > Supondo a solução do problema conhecida, > seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita. > > Por uma análise angular "simples" é possível concluir que > AOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2 > [ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A > no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'. > > No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1 > a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades > que nos permitem determinar o ponto P1: > > (i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD). > Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de > diâmetro OD. > > (ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralela > a AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1 > pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto > médio > de HM. > > > CONSTRUÇÂO > > (i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto > médio de OD, > determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte > de DH. > (ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH, > determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2). > (iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH > por H. > (o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A). > (iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao > triângulo, > determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH. > > OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A, > dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1. > > OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados. > > Abracos, > sergio > > > 2013/6/26 Luís Lopes > > Sauda,c~oes, oi Sergio, > > Sim, continuo na lista. > > Caiu no ITA, foi? Bom saber. > > Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais > um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego. > > === > Eu não consegui, mas obtive a solução na internet > (a qual envio numa próxima mensagem). > === > Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? > > Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado > fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo > HaAO. > > Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta > (Ha , Sa). > > Ultima dica: pense num circulo e numa reta "espertos" . > > Valeu Sergio pelo problema. > > Abs, > Luis > > > -- > Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300 > Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 > From: sergi...@smt.ufrj.br > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner > (não sei se ainda acompanham a lista): > > Construa o triângulo ABC dados em posição: > . o pé "Ha" da altura do vértice A em relação ao lado BC. > . a interseção "Sa" da bissetriz do ângulo A com o lado BC. > . o circuncentro "O" do triângulo. > > Eu não consegui, mas obtive a solução na internet > (a qual envio numa próxima mensagem). > > Abraço, > sergio > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
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Sauda,c~oes, oi Sergio, No google triangle construction given H_a,W_a,O aparecem outras soluções e comentários. Qual a fonte da sua construção ? Abs, Luis Date: Mon, 1 Jul 2013 09:58:53 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 From: sergi...@smt.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Caros, Complementando entao a resposta do Luís Lopes,aqui vai a solução do problema: ANÁLISE DO PROBLEMA: Seja M a projeção de O na reta suporte de DH.Supondo a solução do problema conhecida,seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita. Por uma análise angular "simples" é possível concluir queAOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2[ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'. No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades que nos permitem determinar o ponto P1: (i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD).Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de diâmetro OD. (ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralelaa AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto médio de HM. CONSTRUÇÂO (i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto médio de OD,determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte de DH. (ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH,determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2).(iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH por H. (o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A).(iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao triângulo,determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH. OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A,dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1. OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados. Abracos,sergio 2013/6/26 Luís Lopes Sauda,c~oes, oi Sergio, Sim, continuo na lista. Caiu no ITA, foi? Bom saber. Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego. ===Eu não consegui, mas obtive a solução na internet(a qual envio numa próxima mensagem). ===Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo HaAO. Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta (Ha , Sa). Ultima dica: pense num circulo e numa reta "espertos" . Valeu Sergio pelo problema. Abs, Luis Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300 Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 From: sergi...@smt.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner (não sei se ainda acompanham a lista): Construa o triângulo ABC dados em posição:. o pé "Ha" da altura do vértice A em relação ao lado BC. . a interseção "Sa" da bissetriz do ângulo A com o lado BC.. o circuncentro "O" do triângulo. Eu não consegui, mas obtive a solução na internet (a qual envio numa próxima mensagem). Abraço,sergio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
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Caros, Complementando entao a resposta do Luís Lopes, aqui vai a solução do problema: ANÁLISE DO PROBLEMA: Seja M a projeção de O na reta suporte de DH. Supondo a solução do problema conhecida, seja M´ a interseção de OM com a circunferência circunscrita. Por uma análise angular "simples" é possível concluir que AOM' = (A + 2B) [ou (A + 2C)], de modo que OAM' = OM'A = (C-B)/2 [ou (B-C)/2]. Assim, AM' é a própria bissetriz interna do ângulo A no triângulo desejado ABC, e, por isso mesmo, D pertence a AM'. No triângulo AOM', com OA = OM', seja P1 a altura do vértice O relativa ao lado AM'. Assim, temos duas propriedades que nos permitem determinar o ponto P1: (i) Como AOM' é isósceles, OP1 é perpendicular a AM' (e a AD). Assim, OP1D = 90 graus, de modo que P1 pertence à circunferência de diâmetro OD. (ii) Como AOM' é isósceles, P1 é o ponto médio de AM'. Como OM' é paralela a AH (ambas são perpendiculares à reta suporte de DH), P1 pertence à reta paralela a essas duas retas (OM' e AH) passando pelo ponto médio de HM. CONSTRUÇÂO (i) trace a circunferência C1 de centro O1 e raio OO1, onde O1 é o ponto médio de OD, determinando a interseção M (ponto médio do lado BC) sobre a reta suporte de DH. (ii) trace a perpencidular p à reta suporte de DH pelo ponto médio P de MH, determinando sobre C1 a(s) interseção(ões) P1 (e P2). (iii) prolongue DP1, determinando o vértice A sobre a perpendicular a DH por H. (o prolongamento de DP2 gera uma outra solução para o vértice A). (iv) trace a circunferência de centro O e raio OA circunscrita ao triângulo, determinando os outros dois vértices B e C sobre a reta suporte de DH. OBS 1: É possível ter 0/1/2 solução(ões) para o vértice A, dependendo se a reta p não-intercepta/tangencia/é-secante a C1. OBS 2: Os vértices B e C podem ser intercambiados. Abracos, sergio 2013/6/26 Luís Lopes > Sauda,c~oes, oi Sergio, > > Sim, continuo na lista. > > Caiu no ITA, foi? Bom saber. > > Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais > um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego. > > === > Eu não consegui, mas obtive a solução na internet > (a qual envio numa próxima mensagem). > === > Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? > > Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado > fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo > HaAO. > > Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta > (Ha , Sa). > > Ultima dica: pense num circulo e numa reta "espertos" . > > Valeu Sergio pelo problema. > > Abs, > Luis > > > -- > Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300 > Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 > From: sergi...@smt.ufrj.br > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner > (não sei se ainda acompanham a lista): > > Construa o triângulo ABC dados em posição: > . o pé "Ha" da altura do vértice A em relação ao lado BC. > . a interseção "Sa" da bissetriz do ângulo A com o lado BC. > . o circuncentro "O" do triângulo. > > Eu não consegui, mas obtive a solução na internet > (a qual envio numa próxima mensagem). > > Abraço, > sergio > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989
Sauda,c~oes, oi Sergio, Sim, continuo na lista. Caiu no ITA, foi? Bom saber. Gosto mesmo destes problemas. Vou mandar em seguida mais um, que acabo de conhecer. Problema (presente) de grego. ===Eu não consegui, mas obtive a solução na internet(a qual envio numa próxima mensagem).===Fico curioso. Conseguir como? Com o Google?? E e e ??? Para construir o triângulo, precisamos conhecer um resultado fundamental: a bissetriz ASa é bissetriz também do ângulo HaAO. Outro fato, esse elementar: a reta (A , Ha) é perpendicular â reta (Ha , Sa). Ultima dica: pense num circulo e numa reta "espertos" . Valeu Sergio pelo problema. Abs, Luis Date: Wed, 26 Jun 2013 08:01:02 -0300 Subject: [obm-l] Construção Geométrica (triângulos) ITA 1989 From: sergi...@smt.ufrj.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Essa é em homenagem ao Luís Lopes e ao E. Wagner(não sei se ainda acompanham a lista): Construa o triângulo ABC dados em posição:. o pé "Ha" da altura do vértice A em relação ao lado BC. . a interseção "Sa" da bissetriz do ângulo A com o lado BC.. o circuncentro "O" do triângulo. Eu não consegui, mas obtive a solução na internet (a qual envio numa próxima mensagem). Abraço,sergio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
