Lema 1) x + y + z = raiz (3 . (xy + yz + zx)) para quaisquer x, y e z
positivos.
Prova:
Sabemos que: (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 [*a igualdade ocorre se
somente se x=y=z*]. Desenvolvendo, teremos: 2.(x^2 + y^2 + z^2) - 2xy - 2yz
- 2zx = 0 - x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx= 3xy + 3yz + 3zx - (x +
y + z)^2 = 3xy + 3yz + 3zx - x + y + z = raiz (3 . (xy + yz + zx)).
Já que xy + yz + zx = 1, teremos, necessariamente: x + y + z = raiz(3) [a
igualdade ocorrendo quando z=y=z=raiz(3)/3].
Lema 2) raiz ((xy + yz + zx)/3) = raiz(3) (xyz) para quaisquer x, y e z
positivos [raiz(3) quer dizer raiz cúbica].
Prova:
Da desigualdade das médias, temos: (xy + yz + zx)/3 = raiz(3) (x^2y^2z^2) [
*a igualdade ocorre se somente se x=y=z*] - raiz((xy + yz + zx)/3) =
raiz(raiz(3) (x^2y^2z^2)) = raiz(3) (xyz).
Já que xy + yz + zx = 1, teremos, necessariamente: raiz(3) (xyz) = 1 -
xyz = 1 [a igualdade ocorrendo quando z=y=z=1].
Então, nossa resposta é: x + y + z = raiz (3) e xyz = 1!
Em 16 de julho de 2013 00:01, João Maldonado
joao_maldona...@hotmail.comescreveu:
(x-y)² + (y-z)² +(z-x)² = 2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = 0
(x²+y²+z²-xy-yz-zx) =0
(x+y+z)² =3(xy+yz+zx)=3
(x+y+z)=3^(1/2)
O valor máximo diverge, já que podemos ter x infinitamente grande
satisfazendo o sistema, ex:
x = 10^k, y=10^-k e z = 10^-k satisfaz para k0, faça k tender ao infinito
e (x+y+z) tende ao infinito
Divida por xyz:
3/xyz = 1/x + 1/y + 1/z = 3/(xyz)^(1/3) (desigualdade das médias)
Daonde vem que xyz=1
O limite inferior é zero: mais uma vez, com a solução acima mencionada
teríamos xyz = 10^-k, faça k tende ao infinito xyz tende a 0
--
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdade das médias
Date: Tue, 16 Jul 2013 01:18:33 +
Sejam x,y,z números positivos tais que 1 = xy + xz + yz = 3.Determine
o conjunto dos valores de xyz e de x+y+z.Peço ajuda e ja
agradeço.
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