Olá,
Nossa obrigado mesmo. Sabia que ele era difícil, mas não imaginei que era
tanto. São bastantes passos que não são nada imediatos.
Abraços,Samuel.
From: bened...@ufrnet.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Corpos x³=x
Date: Tue, 21 Aug 2012 10:23:05 -0300
Samuel,
Realmente esse problema não é tão simples. Ele está proposto no livro
“Topics in Algebra” de I. N. Herstein, com um asterisco, o que significa que
não
é imediato.
Uma sugestão seria:
(i) Passo 1 – Mostre que neste anel se x^2 = 0, então x = 0.
(Se x está em R, então x = x^3 = x^2.x = 0)
(ii) Passo 2 – Tome a um elemento qualquer do anel R e
A = a^2 + a. Mostre que 2A^2 = A.
(Nesse anel R temos, A = a^2 + a = (a^2 +
a)^3 = (a^2 + a)^2 . (a^2 + a) =
etc. = 2A^2.
Passo 3 – Mostre que 2 A x A . A x = 0, onde A = a^2 +
a.
Passo (4) – (2 A x A . x A)^2 = 0
Passo (5) – 2 A x A = x A
Passo 6 – Conclua que A = a^2 + a está no centro do
anel, Z(R), para todo a no anel R.
Passo 7 – Se para todo elemento a do anel R, a^2
+ a está no centro do anel, então R é comutativo.
Portanto, R é comutativo.
É isso.
Benedito
From: Samuel Wainer
Sent: Monday, August 20, 2012 4:44 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Corpos x³=x
Seja R um anel associativo. Tal que x³=x para todo x em R. Mostre
que R é um anel comutativo.
Já tinha visto com x²=x. Mas com x³=x é bem
difícil, tentei várias relações e não consegui nenhuma.
Alguém tem alguma
ideia?
