[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora
Em > > > Talvez seja uma tradução um tanto infeliz de entire function, do Inglês. > No Inglês, entire em nada lembra integer. > > Em geral, eu chuto que um termo matemático usado antes do século XX > não vem do inglês; a França e a Alemanha eram os grandes centros > praticamente até a segunda guerra. > > > Mas será que é possível provar o teorema sem invocar Picard? > > Boa pergunta. Será que o resultado é equivalente a Picard? Acho > pouco provável, mas talvez valha a pena tentar... > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > A minha prova é: Como a função identicamente nula é a única simultaneamente constante e > ímpar, f não é constante. Logo, se for polinomial, pelo T. Fundamental da > Álgebra, f é sobrejetora. > Suponhamos agora que f não seja polinomial. Sendo inteira, se não for sobrejetora, por Picard em seu conjunto imagem falta precisamente um complexo w. Como f é ímpar e definida em todo o C, f(0) = 0, de modo que f assume 0 e, portanto, w <> 0 e -w <> w. Logo, existe z com f(z) = -w. Como f é ímpar e definida em -z, segue-se que f(-z) = -f(z) = w, contradizendo o fato de que f não assume w. Logo, f é sobrejetora. Artur > > > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora
On Mon, Feb 10, 2020 at 10:12 PM Artur Costa Steiner wrote: > > Em seg, 10 de fev de 2020 21:13, Pedro Angelo > escreveu: >> >> Aparentemente, errei hehe. Achei engraçada essa explicação: funções >> holomorfas não-inteiras também têm "série de potências inteiras" em >> torno de cada ponto. Por que só as inteiras levam o nome? > > Acho que inteira é no sentido de global, completa. De fato. A primeira evidência vem do próprio Picard: "Nous donnerons, avec M. Weierstrass, le nom de fonctions entières d'une variable complexe z aux fonctions uniformes et continues dans toute l'étendue du plan; ce seront, par suite, des fonctions représentées par une série, toujours convergente, ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable." (Mémoire sur les fonctions entières, 1880, justamente onde ele demonstra os "teoremas de Picard", http://www.numdam.org/article/ASENS_1880_2_9__145_0.pdf). Depois, tem que ler em alemão alguém falando da história do Weierstrass (não achei o livro / artigo onde ele usa esta notação pela primeira vez). Eu achei o Felix Klein, em https://books.google.co.uk/books?id=XtunBgAAQBAJ&pg=PA286&lpg=PA286&dq=weierstrass+ganze+funktion&source=bl&ots=E5OhNVM3WW&sig=ACfU3U2ABjdB68sIwWisSpPCLJZf_8KdTQ&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwjYteu1lsnnAhXioVwKHWlDAGYQ6AEwAHoECAcQAQ#v=onepage&q=weierstrass%20ganze%20funktion&f=false, e de fato ele usa a mesma terminologia do Picard: ganzen Ebene (o plano inteiro) e Potenzreihe (série de potências). > Talvez seja uma tradução um tanto infeliz de entire function, do Inglês. No > Inglês, entire em nada lembra integer. Em geral, eu chuto que um termo matemático usado antes do século XX não vem do inglês; a França e a Alemanha eram os grandes centros praticamente até a segunda guerra. > Mas será que é possível provar o teorema sem invocar Picard? Boa pergunta. Será que o resultado é equivalente a Picard? Acho pouco provável, mas talvez valha a pena tentar... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora
Em seg, 10 de fev de 2020 21:13, Pedro Angelo
escreveu:
> Aparentemente, errei hehe. Achei engraçada essa explicação: funções
> holomorfas não-inteiras também têm "série de potências inteiras" em
> torno de cada ponto. Por que só as inteiras levam o nome?
>
Acho que inteira é no sentido de global, completa. Talvez seja uma tradução
um tanto infeliz de entire function, do Inglês. No Inglês, entire em nada
lembra integer.
Mas será que é possível provar o teorema sem invocar Picard?
Artur
>
> Le lun. 10 févr. 2020 à 20:52, Bernardo Freitas Paulo da Costa
> a écrit :
> >
> > On Mon, Feb 10, 2020 at 8:16 PM Artur Costa Steiner
> > wrote:
> > > O adjetivo inteira, em análise complexa, não tem nada a ver com o que
> ele sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
> >
> > Um chute: em francês, o termo "série inteira" (por oposição a série
> > fracionária) se refere às séries de potências (inteiras) da variável z
> > (por oposição às "séries de Puiseux" onde há expoentes fracionários).
> > E as funções inteiras têm expansão, convergente, como série de
> > potências (inteiras) da variável z, f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.
> >
> > Abraços,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
> >
> > =
> > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora
Aparentemente, errei hehe. Achei engraçada essa explicação: funções
holomorfas não-inteiras também têm "série de potências inteiras" em
torno de cada ponto. Por que só as inteiras levam o nome?
Le lun. 10 févr. 2020 à 20:52, Bernardo Freitas Paulo da Costa
a écrit :
>
> On Mon, Feb 10, 2020 at 8:16 PM Artur Costa Steiner
> wrote:
> > O adjetivo inteira, em análise complexa, não tem nada a ver com o que ele
> > sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
>
> Um chute: em francês, o termo "série inteira" (por oposição a série
> fracionária) se refere às séries de potências (inteiras) da variável z
> (por oposição às "séries de Puiseux" onde há expoentes fracionários).
> E as funções inteiras têm expansão, convergente, como série de
> potências (inteiras) da variável z, f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora
Eu gosto de pensar o "inteira" como significando que a série de potências f(z) = a_0 + a_1 z + ... converge no plano *inteiro*. Le lun. 10 févr. 2020 à 20:16, Artur Costa Steiner a écrit : > > > > Em seg, 10 de fev de 2020 17:28, Anderson Torres > escreveu: >> >> Em dom., 9 de fev. de 2020 às 21:50, Artur Costa Steiner >> escreveu: >> > >> > Nunca vi este curioso fato ser citado em lugar nenhum.É fácil de provar >> > recorrendo-se ao teorema de Picard. Será que há uma prova simples (ou uma >> > qualquer) que não recorra a este teorema? >> > >> > Se a não identicamente nula f for inteira e ímpar, então f é sobrejetora. >> > >> >> O que é função inteira? >> >> Se f é uma função definida em um aberto V do plano complexo C, dizemos que f >> é holomorfa em V se f for diferenciável em cada elemento de V. > > > Se V = C, dizemos que f é inteira. Assim, uma função de C em C é inteira > se for diferenciável em todo o C. É holomorfa em C. > > O adjetivo inteira, em análise complexa, não tem nada a ver com o que ele > sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada. > > Artur > > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora
On Mon, Feb 10, 2020 at 8:16 PM Artur Costa Steiner
wrote:
> O adjetivo inteira, em análise complexa, não tem nada a ver com o que ele
> sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada.
Um chute: em francês, o termo "série inteira" (por oposição a série
fracionária) se refere às séries de potências (inteiras) da variável z
(por oposição às "séries de Puiseux" onde há expoentes fracionários).
E as funções inteiras têm expansão, convergente, como série de
potências (inteiras) da variável z, f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora
Em seg, 10 de fev de 2020 17:28, Anderson Torres < torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em dom., 9 de fev. de 2020 às 21:50, Artur Costa Steiner > escreveu: > > > > Nunca vi este curioso fato ser citado em lugar nenhum.É fácil de provar > recorrendo-se ao teorema de Picard. Será que há uma prova simples (ou uma > qualquer) que não recorra a este teorema? > > > > Se a não identicamente nula f for inteira e ímpar, então f é sobrejetora. > > > > O que é função inteira? > > Se f é uma função definida em um aberto V do plano complexo C, dizemos que > f é holomorfa em V se f for diferenciável em cada elemento de V. Se V = C, dizemos que f é inteira. Assim, uma função de C em C é inteira se for diferenciável em todo o C. É holomorfa em C. O adjetivo inteira, em análise complexa, não tem nada a ver com o que ele sugere. Acho uma terminologia infeliz, mas é consagrada. Artur -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Análise complexa - mostrar que f é sobrejetora
Em dom., 9 de fev. de 2020 às 21:50, Artur Costa Steiner escreveu: > > Nunca vi este curioso fato ser citado em lugar nenhum.É fácil de provar > recorrendo-se ao teorema de Picard. Será que há uma prova simples (ou uma > qualquer) que não recorra a este teorema? > > Se a não identicamente nula f for inteira e ímpar, então f é sobrejetora. > O que é função inteira? > Abraços > Artur > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Complexa
Acho que o Teorema de Liouville é, de fato, uma das formas de provar isto. Suponhamos que esta f exista. Então, para todo z, |fz| > |z| >= 0, do que deduzimos que f nunca se anula. Existe, então, a função g: C --> C dada por g(z) = z/f(z). Em virtude da desigualdade dada e do fato de f ser inteira, temos, para todo complexo z, que: |g(z)| = |z/f(z)| = |z|/|f(z)| < 1, do que deduzimos que g é limitada por 1 em todo o C. Como f nunca se anula, g'(z) = (f(z) - z f'(z))/(f(z))^2, do que deduzimos que g é diferenciável em C e que é, portanto, uma função inteira. Como g é inteira é limitada, segue-se do teorema de Liouville que g é constante, havendo assim uma constante complexa k tal que g(z) = z/f(z) = k. Como isto vale para todo z, temos necessariamente que k não é nulo, decorrendo portanto que f(z) = z/k para todo complexo z. Mas isto implica que f(0) = 0 e que |f(0)| = |0|, contrariando a hipótese de que |f(z| > |z| para todo z. Logo, esta f não existe. Artur -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: quarta-feira, 17 de novembro de 2010 11:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Complexa 2010/11/17 Merryl M : > Estou com dificuldade nisto, podem ajudar? > > Mostre que não existe nenhuma função inteira f tal que |f(z)| > |z| para > todo complexo z. Você já viu Liouville? A demonstração (por complexos) de que os polinômios sempre têm uma raiz? Eu acho que deve sair por aí... > Obrigada. > > Amanda abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Análise Complexa
2010/11/17 Merryl M : > Estou com dificuldade nisto, podem ajudar? > > Mostre que não existe nenhuma função inteira f tal que |f(z)| > |z| para > todo complexo z. Você já viu Liouville? A demonstração (por complexos) de que os polinômios sempre têm uma raiz? Eu acho que deve sair por aí... > Obrigada. > > Amanda abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
