Re: [obm-l] Re: [obm-l] Enc: Problema (uma função)

[marcone augusto araújo borges]

Bacana.Obrigado!



De: owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de Carlos 
Gomes <cgomes...@gmail.com>
Enviado: quarta-feira, 25 de janeiro de 2017 17:25
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Enc: Problema (uma função)

Ola Marcone, (desculpe-me pela falta dos acentos...estou com um teclado 
estranho...)

Uma maneira para que ocorra f(f(x))=x eh eh q f seja igual a sua inversa. Ora, 
como f(x)=(ax+b)/(cx+d), segue que f^{-1}(x)=(-dx+b)/(cx-a).  para que f e sua 
inversa fosse iguais bastaria que d=-a, o que implicaria em
f(x)=(ax+b)/(cx-a). Assim,

f(19)=19  ==> 19=(a.19+b)/(c.19-a) ==> 19^2c-19a=19a+b
f(97)=97  ==> 97=(a.97+b)/(c.97-a) ==> 97^2c-97a=97a+b

subtraindo membro a membro, obtemos: a=58c

substituindo em 19^2c-19a=19a+b, segue que b=-1843c

Finalmente,

 f(x)=(ax+b)/(cx-a)=(58cx-1843c)/(cx-58c)=(58x-1843)/(x-58)


Por fim, o unico numero que nao pertencece a imagem da f eh o mesmo unico 
numero que nao esta no dominio da f^{-1} , visto que a imagem de uma funcao 
bijetiva eh igual ao dominio da sua inversa. Ora, como

f^{-1}(x)=f(x)=(58x-1843)/(x-58)

segue que o dominio da f^{-1}  e eh R-{58}, que pr sua vez eh igual ao conjunto 
imagen da f, relevando, pois que 58 eh o unico numero real que nao pertence ao 
conjunto imagem da funcao f.

Cgomes.



Em 25 de janeiro de 2017 17:12, marcone augusto araújo borges 
<marconeborge...@hotmail.com<mailto:marconeborge...@hotmail.com>> escreveu:




De: marcone augusto araújo borges 
<marconeborge...@hotmail.com<mailto:marconeborge...@hotmail.com>>
Enviado: quarta-feira, 25 de janeiro de 2017 00:59
Para: obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: Problema (uma função)


Seja f : R--> R - {- d/c} uma função definida por f(x) = (ax+b)/(cx+d), onde 
a,b,c,d  E  R - .

Sabendo que f(19) = 19, f(97) = 97 e f(f(x)) = x para todo x, determine o único 
número que

não pertence à imagem de f

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv?rus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Enc: Problema (uma função)

[Carlos Gomes]

Ola Marcone, (desculpe-me pela falta dos acentos...estou com um teclado
estranho...)

Uma maneira para que ocorra f(f(x))=x eh eh q f seja igual a sua inversa.
Ora, como f(x)=(ax+b)/(cx+d), segue que f^{-1}(x)=(-dx+b)/(cx-a).  para que
f e sua inversa fosse iguais bastaria que d=-a, o que implicaria em
f(x)=(ax+b)/(cx-a). Assim,

f(19)=19  ==> 19=(a.19+b)/(c.19-a) ==> 19^2c-19a=19a+b
f(97)=97  ==> 97=(a.97+b)/(c.97-a) ==> 97^2c-97a=97a+b

subtraindo membro a membro, obtemos: a=58c

substituindo em 19^2c-19a=19a+b, segue que b=-1843c

Finalmente,

 f(x)=(ax+b)/(cx-a)=(58cx-1843c)/(cx-58c)=(58x-1843)/(x-58)


Por fim, o unico numero que nao pertencece a imagem da f eh o mesmo unico
numero que nao esta no dominio da f^{-1} , visto que a imagem de uma funcao
bijetiva eh igual ao dominio da sua inversa. Ora, como

f^{-1}(x)=f(x)=(58x-1843)/(x-58)

segue que o dominio da f^{-1}  e eh R-{58}, que pr sua vez eh igual ao
conjunto imagen da f, relevando, pois que 58 eh o unico numero real que nao
pertence ao conjunto imagem da funcao f.

Cgomes.



Em 25 de janeiro de 2017 17:12, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

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> *De:* marcone augusto araújo borges 
> *Enviado:* quarta-feira, 25 de janeiro de 2017 00:59
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* Problema (uma função)
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> Seja f : R--> R - {- d/c} uma função definida por f(x) = (ax+b)/(cx+d),
> onde a,b,c,d  E  R - .
>
> Sabendo que f(19) = 19, f(97) = 97 e f(f(x)) = x para todo x, determine o
> único número que
>
> não pertence à imagem de f
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.