[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Sobrejetiva

[Jeferson Almir]

Peço ajuda na seguinte questão:

Seja f: R -> Z tal que f(x) = [ x ∙ {x} ]

a) Mostre que f(x) é sobrejetiva

b) Resolva a equação [ x ∙ {x} ]= [ x ∙ [x] ]
onde [ x ] é a parte inteira e { x } é a parte fracionária

Em 17 de setembro de 2015 13:04, Esdras Muniz 
escreveu:

> Cara, vc pode fazer isso, pega duas sequências x_n e y_n, com
> lim f(x_n)=+infinito elim f(y_n)=-infinito, e lim(x_n)=+infinito e
> lim(y_n)=-infinito.
> Daí tu usa que f é contínua.
> vc pode pegar x_n=2kpi+pi/2 e y_n=-2kpi-pi/2.
>
> Em 17 de setembro de 2015 12:27, Jeferson Almir 
> escreveu:
>
>> 1. Provar que a função f( x ) = (x^3)sen( x ) é Sobrejetiva.
>>
>> A ideia que penso e que peço ajuda é que todo x real pode ser
>> representado da forma x = 2kpi + 2/pi isso é válido ??? Caso seja, o
>> problema está resolvido!!!
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função Sobrejetiva

[Esdras Muniz]

Cara, vc pode fazer isso, pega duas sequências x_n e y_n, com
lim f(x_n)=+infinito elim f(y_n)=-infinito, e lim(x_n)=+infinito e
lim(y_n)=-infinito.
Daí tu usa que f é contínua.
vc pode pegar x_n=2kpi+pi/2 e y_n=-2kpi-pi/2.

Em 17 de setembro de 2015 12:27, Jeferson Almir 
escreveu:

> 1. Provar que a função f( x ) = (x^3)sen( x ) é Sobrejetiva.
>
> A ideia que penso e que peço ajuda é que todo x real pode ser representado
> da forma x = 2kpi + 2/pi isso é válido ??? Caso seja, o problema está
> resolvido!!!
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




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Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Função sobrejetiva...

[João Luís]

Para se provar que a função é sobrejetiva, deve-se mostar que todo y do 
contradomínio (CD) é imagem de algum x do domínio (D). Quando ele isola o x 
na expressão x=(y+1)/(y-1), a intenção é justamente fazer isso. Com essa 
expressão, fica fácil ver que, para todo y real, excetuando-se o 1, haverá um x 
correspondente. Escolha, por exemplo, y=0. Tem-se x=-1. Isso mostrou que y=0 é 
imagem de algum x (mostrou até mais, mostrou que ele é imagem do x=-1).

Então, o conjunto imagem da função dada é |R - {1}. Como o CD definido para a 
função coincide com o conjunto imagem, essa função é sobrejetiva.

Um detalhe: a expressão x=(y+1)/(y-1), não é, como você disse, a FUNÇÃO inversa 
de f(x). Ela é apenas a expressão que permite calcular o valor da variável 
independente, dado o valor de sua imagem pela função f. Não sabemos ainda se 
essa função possui inversa, pois ainda não sabemos se ela é bijetiva (falta 
mostrar a injetividade).

Caso ela seja injetiva também, aí sim ela possuirá uma inversa, e essa inversa 
será f*: R - {1} -- R - {1} / x = f*(y) = (y+1)/(y-1).

Espero ter sido claro e esclarecido sua dúvida.

Um abraço,

João Luís.
  - Original Message - 
  From: ruy de oliveira souza 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, August 16, 2008 2:48 PM
  Subject: [obm-l] Função sobrejetiva...


  Uma questão do Ita de 2005 tem o seguinte enunciado...Seja 
f:lR-{1}lR-{1}, definida por f(x)=(x+1)/(x-1). Um dos itens  questiona se 
ela é sobrejetiva ou não. Dá pra se provar facilmente fazendo o gráfico que ela 
é. Pode-se também calcular os limites da função fazendo x tender a mais e menos 
infinito, além dos limites laterais quando x tende a 1. O que me chama a 
atenção nessa questão foi a resolução feita por um cursinho famoso de SP. 
Gostaria de saber se vocês concordam com essa resolução que está na internet. 
Eles resolvem da seguinte maneira: fazem f(x)=y. Dai tem a equação 
y=(x+1)/(x-1). Isolam x e obtem x=(y+1)/(y-1). Argumentam que para todo y 
pertencente a lR-{1} existe x pertencente a lR-{1} tal que y=f(x). Mas isso é a 
função inversa, obtida a partir do fato de se saber que a função é bijetora. Ou 
seja, posso fazer dessa maneira se souber de antemão se ela é bijetora. Então , 
na verdade não estou provando sobrejetividade alguma. O que vocês acham? 
Corrijam-me se eu estiver enganado.
Abraços