[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única
Olá! Sim, veja a minha mensagem « A Conjectura de Catalan ». Albert Bouskela <mailto:bousk...@gmail.com> bousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de luiz silva Enviada em: quinta-feira, 30 de agosto de 2012 09:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única Este problema não é um caso específico do problema que ficou 150 anos para ser resolvido (esqueci o nome dele, mas acho que enviaram para cá) ? Mas se não me engano, o enunciado geral era Mostrar que a única solução inteira para equação x^p - y^q = 1 é (x=3, p=2, y=2, q=3). Abs Felipe De: Ralph Teixeira Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 29 de Agosto de 2012 10:33 Assunto: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de novo, para ver se ganho os R$50. -- Forwarded message -- From: Ralph Teixeira Date: 2012/8/28 Subject: Re: [obm-l] Solução única To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm Veja se voce conhece este fato: FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x>=1) que tende para e^r quando x->+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x < e^r sempre que x>=1. Agora sim! i) Nao ha solucao com b>a>=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem: a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) > a^a.(a^r-e^r) > a^a.(a-e) > 3^3.(0.2) > 1 onde usei que r>=1 para sumir com r (note que (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh >=1), e que a>=3 e que e=2.781828... no finzinho. ii) Nao ha solucao com 3<=be e r>=1. Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2: -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta. -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato (a,b)=(2,1) serve. -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima. -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e a+1=4. Assim, a=3. Cade meus 50 reais? ;) Abraco, Ralph 2012/8/28 João Maldonado Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber como se resolve isso! Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para a e b naturais maiores de 0. []'s João
[obm-l] Re: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única
Este problema não é um caso específico do problema que ficou 150 anos para ser resolvido (esqueci o nome dele, mas acho que enviaram para cá) ? Mas se não me engano, o enunciado geral era Mostrar que a única solução inteira para equação x^p - y^q = 1 é (x=3, p=2, y=2, q=3). Abs Felipe De: Ralph Teixeira Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 29 de Agosto de 2012 10:33 Assunto: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de novo, para ver se ganho os R$50. -- Forwarded message -- From: Ralph Teixeira Date: 2012/8/28 Subject: Re: [obm-l] Solução única To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm Veja se voce conhece este fato: FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x>=1) que tende para e^r quando x->+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x < e^r sempre que x>=1. Agora sim! i) Nao ha solucao com b>a>=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem: a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) > a^a.(a^r-e^r) > a^a.(a-e) > 3^3.(0.2) > 1 onde usei que r>=1 para sumir com r (note que (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh >=1), e que a>=3 e que e=2.781828... no finzinho. ii) Nao ha solucao com 3<=be e r>=1. Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2: -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta. -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato (a,b)=(2,1) serve. -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima. -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e a+1=4. Assim, a=3. Cade meus 50 reais? ;) Abraco, Ralph 2012/8/28 João Maldonado Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. >Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) > >A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber >como se resolve isso! >Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço > >Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para >a e b naturais maiores de 0. > > >[]'s >João > >
[obm-l] Re: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única
A mensagem tinha aparecido sim, acho q nao devem ter visto. Em 29 de agosto de 2012 10:33, Ralph Teixeira escreveu: > Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de > novo, para ver se ganho os R$50. > > > -- Forwarded message -- > From: Ralph Teixeira > Date: 2012/8/28 > Subject: Re: [obm-l] Solução única > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > > Hmmm Veja se voce conhece este fato: > > FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x>=1) que tende para > e^r quando x->+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x < e^r sempre que x>=1. > > Agora sim! > > i) Nao ha solucao com b>a>=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem: > > a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) > a^a.(a^r-e^r) > a^a.(a-e) > 3^3.(0.2) > 1 > > onde usei que r>=1 para sumir com r (note que > (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh >=1), e > que a>=3 e que e=2.781828... no finzinho. > > ii) Nao ha solucao com 3<=b > a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) < b^b.(e^r-b^r) < 0 pois b>e e r>=1. > > Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis > solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh > analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2: > > -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta. > -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, > b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato > (a,b)=(2,1) serve. > -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima. > -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 > e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e > a+1=4. Assim, a=3. > > Cade meus 50 reais? ;) > > Abraco, > Ralph > > 2012/8/28 João Maldonado > >> Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até >> ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. >> Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) >> >> A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito >> saber como se resolve isso! >> Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço >> >> Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), >> para a e b naturais maiores de 0. >> >> >> []'s >> João >> >> > > >
