Bom, tente imaginar que o que está ao lado do '/' é um ideal gerado pelo polinômio x²+1, ou seja <x² + 1> = {(x²+1).f(x), f(x) pertencendo a R[X]}
R[x]/<x^2 + 1> é um anel de polinômios em x com coeficientes em R, por ser o quociente de anéis, temos que x²+1 é um elemento neutro, temos então uma classe de elementos, assim como teríamos tomando Zn (neste caso teríamos 1 = n+1 = 2n+1 = ...). no caso de polinômios temos por exemplo que x + 1 = x² + x + 2 = (x² + 1).g(x) + x + 1 = ... o que significa que as nossas classes de polinômio podem ser definidas de forma única pelos restos da divisão de polinômios de R[X] por x²+1. é bom explicar isso porque a '/' não é uma divisão de polinômios nem nada desse tipo, o conceito é mais geral e sutil. agora a mágica da coisa... tome o elemento x + <x² + 1> em R[x]/<x^2 + 1>, veja que esse elemento é raiz do polinômio x² + 1, pois (x + <x² + 1>)² = (x² + 1) + <x² + 1> = 0! então agora fica simples ver que o elemento x + <x² + 1> é o "i" dos complexos! o isomorfismo aparece daí, pois basta ver que os polinômios desse nosso anel (que na verdade é um corpo pois x²+1 é irredutível) são representados por polinômios de grau 1 em x, logo são da forma ax + b, sabendo que o x e o i são a mesma coisa, vemos que os elementos desse corpo são da forma ai + b, com a e b reais... preciso ser mais formal que isso? se os corpos são isomorfos então sua cardianlidade é a mesma, logo há infinitos elementos em C e em R[x]/<x^2+1>. obs: note que R[x]/<x^2 + 1> é corpo porque x²+1 é irredutível... espero ter ajudado mais do que complicado! [ ]'s ----- Original Message ----- From: "Carlos Maçaranduba" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Sunday, October 12, 2003 6:44 PM Subject: [obm-l] Interpretaçao do corpo R[x]/(x^2 + 1) Qual sao os elementos de R[x]/(x^2 + 1)???Sao todos os restos de polinomios de coeficientes reais que sao divididos por x^2 + 1???Entao esse resto poderá ser um polinomio???Pq se diz que ele é isomorfo ao corpo dos complexos???É pq a raiz de x^2 + 1 é i(unidade imaginaria)???Quantos elementos possui este corpo?? Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================