Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução.
Douglas Oliveira
Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara
escreveu:
> Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) *
> x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus
> no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos.
> z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z
> Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0
> Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1 (multiplicar os coeficientes
> por -1 não altera as raízes).
> f(-1) = 4*raiz(2) > 0
> f(0) = -1 < 0
> f(raiz(2)) = -5 < 0
> f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma
> entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2.
> Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z
> < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que
> estas são as únicas raízes reais de f.
> Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no
> sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta
> Im(z) = -Re(z).
> Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva,
> isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o
> quadrante.
>
> Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a
> segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no
> 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0.
> Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0.
>
> Chame as outras duas raízes da equação original de a e b.
> Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um
> ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z) (1)
> Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo
> imaginário negativo
> A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números
> complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) =
> -Re(z) (2)
> (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R
>
> (2) também implica que, sobre a e b:
> OU ambos pertencem ao 2o quadrante
> OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante
> OU ambos pertencem ao 4o quadrante.
>
> De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que
> a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso.
>
> Resta eliminar a 1a alternativa.
> Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante.
>
> Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 >
> 2*R^2
> E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2
>
> Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==>
> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==>
> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==>
> 1/q - q + 2p^2 = 0
> 1/q - q + 2R^2 < 0 ==>
> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem
> ao 2o quadrante.
>
> Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma
> pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da
>> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e
>> percebi que existe uma em cada quadrante.
>>
>> Mas não consigo achar uma saída.
>>
>> Obrigado.
>> Douglas Oliveira
>>
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>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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