Oi grande Douglas !!
Como sempre postando bons problemas para a nossa comunidade.
Vamos lá :
Sejam M,N,R e Q os incentros dos triângulos ABP, BPC, CPD e APD
respectivamente.
Sejam S, T, U e V os incentros dos triângulos ABC,BCD, ACD e ABD
respectivamente.
1º) mostre que MNRQ é um losango. Mostre também que os raios dos círculos
inscritos em ABC e ADC são iguais; da mesma forma dos triângulos ABD e BCD.
2º) depois mostre que AM/MS = AQ/QU e que SN/NC = RU/RT .
3º) como consequência SU é paralelo a BD e que VT é paralelo a AC.
4º) mostre que mostre que MS/AM = UR/RC.
5º) mostre que o ângulo MSN = ângulo QUR ; da mesma forma ângulo NTR =
ângulo MVQ.
6º) conclua então que ASCU é um paralelogramo.
7º) conclua daí que pelo fato de PN = PQ e MP = PR , teremos S pertencente
a BD e V pertencente a AC.
8º) Como BP é bissetriz e intersecta AC no ponto médio, temos que AB=AC e
BP é perpendicular a BC.
9º) da mesma forma ACD é isósceles.
10º) ídem para BCD e ABD .
Conclusão : ABCD é um losango.. UFA .
Abraços
Carlos Victor
Em 30 de outubro de 2014 12:22, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:
Opa, eu tinha entendido círculos circunscritos... Foi mal.
Em 30 de outubro de 2014 11:02, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com
escreveu:
Em 29 de outubro de 2014 22:50, Douglas Oliveira de Lima
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:
*PROBLEMA 1 *
Seja *ABCD *um quadrilátero convexo e seja *P *a interseção das
diagonais *AC *e *BD*. Os raios dos círculos inscritos nos triângulos
*ABP*, *BCP*, *CDP *e *DAP *são iguais. Prove que *ABCD *é um losango.
Como poderíamos fazer esse problema?
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acredita-se estar livre de perigo.
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Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará
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