[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Potências
Eu também faria assim... 2^10 = 1024 (todo mundo sabe, né?), 3^8 = 81x81 = (80 + 1)^2 = 6400 + 160 + 1 = 6561, 4^8 = 2^16=65536 (bom, para quem programa é conhecido, senão, você faz 64x1024, dá um trabalhinho, mas sai), 5^5 = 25x25x5 = 25x125 = (20 + 5)(120 + 5) = 2400 + 600 + 100 + 25 = 3125 (e aí você descobre que sempre termina em 25), 7^3 = 343. Somando tudo, 1024 + 6561 + 65536 + 3125 + 343 = 76589 cuja soma dos algarismos é 35. Bom, agora resta pensar como chegar nesse resultado sem fazer todas essas contas. Uma idéia (vinda do Thiago) é ver que há uma periodicidade, mas infelizmente ela descamba a partir de um certo ponto, quando há muitas casas nas potências. O que é verdade é o quanto vale a soma dos algarismos módulo 9. (o que é invariante se você fizer isso mais de uma vez, o que ele fez, mas a questão não pedia isso!). Armados disso (e de phi(9) = 6), a gente vê a periodicidade máxima das potências, o que ajuda bastante, e podemos fazer as contas módulo 9. Isso ajuda um pouco. Com umas estimativas fáceis, acho que dá pra provar que o nosso número em questão é menor do que 20. (basta ver que 4^8 é o maior). Assim, o máximo da soma dos algarismos é 1+9+9+9+9+9 = 46. A gente já sabe o quanto vale módulo 9 essa soma, seria legal poder achar outro módulo... Ah, a minha resposta deu diferente da do Thiago (módulo 9) porque ele escreveu o período do 4^8 errado: é 1, 4, 7 :) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/2/14 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Um jeito alternativo é assim: Perceba que a soma dos algarismos dessas potências seguem um padrão: 2^0 = 1 Sa 1 2^1 = 2 Sa 2 2^2 = 4 Sa 4 2^3 = 8 Sa 8 2^4 = 16 Sa7 2^5 = 32 Sa 5 2^6 = 64 Sa 1 2^7 = 128 Sa 2 2^8 = 256 Sa 4 ... Ou seja, 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5, ... Para a0 = 1, a1 = 2, a3 = 4, contando até o a10 teremos 7. Já temos o primeiro termo da soma. Agora no 3; 3^0 = 1 Sa 1 3^1 = 3 Sa 3 3^2 = 9 Sa 9 3^3 = 27 Sa 9 3^4 = 81 Sa 9 ... E assim vai, então a soma dos termos de 3^8 = 9 Por enquanto, temos 7+9 Agora o 4. 4^0 = 1 Sa 1 4^1 = 4 Sa 4 4^2 = 16 Sa 5 4^3 = 64 Sa 1 ... 1, 4, 5, 1, 4, 5, 1, 4, 5 Contando, temos o 5. 7+9+5 Agora, vamos ao 5: 5^0 = 1 Sa 1 5^1 = 5 Sa 5 5^2 = 25 Sa 7 5^3 = 125 Sa 8 5^4 = 625 Sa 3 5^5 =3125 Sa 2 Bom, esse não achei nenhum padrão antes de chegar no 5^5 7+9+5+2 Falta apenas 7^3 7^0 = 1 1 7^1 = 7 7 7^2 = 49 4 7^3 =343 1 1, 7, 4, 1, 7, 4, 1... Bom, esse achamos o 1, então temos ao todo 7+9+5+2+1 16+7+1 7+8 15 6 A soma dos algarismos é 6! Date: Thu, 11 Feb 2010 01:51:32 -0800 From: jeffma...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Potências To: obm-l@mat.puc-rio.br Será que alguém pode me ajudar com esta questão: Qual a soma dos algarismos do número 2^10 + 3^8 + 4^8 + 5^5 + 7^3 ? Tentei achar algum modo diferente de fazer as contas, porém, não encontrei. Abs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Potências
Não era pra resposta ser 35? Soma dos algarismos é diferente de soma dos algarismos módulo 9. E você cometeu um errinho ao calcular o do 4^8... []'s Cesar 2010/2/14 Thiago Tarraf Varella thiago_...@hotmail.com Um jeito alternativo é assim: Perceba que a soma dos algarismos dessas potências seguem um padrão: 2^0 = 1 Sa 1 2^1 = 2 Sa 2 2^2 = 4 Sa 4 2^3 = 8 Sa 8 2^4 = 16 Sa7 2^5 = 32 Sa5 2^6 = 64 Sa1 2^7 = 128 Sa2 2^8 = 256 Sa4 ... Ou seja, 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5, ... Para a0 = 1, a1 = 2, a3 = 4, contando até o a10 teremos 7. Já temos o primeiro termo da soma. Agora no 3; 3^0 = 1 Sa 1 3^1 = 3 Sa 3 3^2 = 9 Sa 9 3^3 = 27 Sa 9 3^4 = 81 Sa 9 ... E assim vai, então a soma dos termos de 3^8 = 9 Por enquanto, temos 7+9 Agora o 4. 4^0 = 1 Sa 1 4^1 = 4 Sa 4 4^2 = 16 Sa 5 4^3 = 64 Sa 1 ... 1, 4, 5, 1, 4, 5, 1, 4, 5 Contando, temos o 5. 7+9+5 Agora, vamos ao 5: 5^0 = 1Sa 1 5^1 = 5Sa 5 5^2 = 25 Sa 7 5^3 = 125 Sa 8 5^4 = 625 Sa 3 5^5 =3125 Sa 2 Bom, esse não achei nenhum padrão antes de chegar no 5^5 7+9+5+2 Falta apenas 7^3 7^0 = 11 7^1 = 77 7^2 = 49 4 7^3 =343 1 1, 7, 4, 1, 7, 4, 1... Bom, esse achamos o 1, então temos ao todo 7+9+5+2+1 16+7+1 7+8 15 6 A soma dos algarismos é 6! -- Date: Thu, 11 Feb 2010 01:51:32 -0800 From: jeffma...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Potências To: obm-l@mat.puc-rio.br Será que alguém pode me ajudar com esta questão: Qual a soma dos algarismos do número 2^10 + 3^8 + 4^8 + 5^5 + 7^3 ? Tentei achar algum modo diferente de fazer as contas, porém, não encontrei. Abs -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/ -- Quer comprar na Internet com segurança? Instale grátis o Internet Explorer 8. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] Re: [obm-l] Potências
Na pior das hipóteses, se isso for numa olimpíada, vc smpre tem a possibilidade de fazer esse problema na mao. Me espantaria, entretanto, um problema olímpico assim, pq em geral eles são feitos pra não dar pra fazer na mão (como ^^, ou o famoso (ano)^(ano-1)^(ano-2), onde ano = o ano da competição. -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +33 (0)6 28 43 42 16 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2010/2/11 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br Será que alguém pode me ajudar com esta questão: Qual a soma dos algarismos do número 2^10 + 3^8 + 4^8 + 5^5 + 7^3 ? Tentei achar algum modo diferente de fazer as contas, porém, não encontrei. Abs -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
