Em 14/01/08, Carlos Yuzo Shine<[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Bom, eu não enunciei o problema direitinho, então estava faltando P(k) = 8. > Reescrevendo: > > Determinar todos os polinômios P(x) de coeficientes inteiros tais que existem > a, b, c, k inteiros distintos tais P(a) = P(b) = P(c) = 5 e P(k) = 8. > > []'s > Shine > Os polinomios P(x) sao do tipo P(x) = Q(x)R(x) + 5 = (x-a)(x-b)(x-c)R(x) + 5 (@) Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c) com a,b,c inteiros distintos divisor de 3 e diferente de 0 (-3,-1,1,3).
Mas P(k) = 8, portanto (k-a)(k-b)(k-c)R(x) + 5 = 8 -> (k-a)(k-b)(k-c)R(x) = 3 OBS: - P(x) e' monico, logo R(x) = 1 <-> Q(k) = 3 - Q(x) = (x-a)(x-b)(x-c) = x^3 + (-a-b-c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc (i) Como a,b,c sao distintos, selecione um dos dois números negativos para a, depois um positivo para b e o outro positivo para c, portanto b = 3 e c = 1, logo bc = 3 e b+c = 4 (ii). Substituindo (ii) em (i): Q(x) = x^3 - (a + 4)x^2 + (4a + 3)x - 3a (iii) Com (iii), P(k) = 8 e R(x) = 1, podemos reescrever (@): 8 = (k-a)(k-b)(k-c) + 5 --> k^3 - (a + 4)k^2 + (4a + 3)k - 3a - 3 = 0 (a = -3 ou -1) Para a = -3: k^3 - (4 - 3)k^2 + (4*(-3) + 3)k - 3*(-3) - 3 = k^3 - k^2 - 9k + 6 = 0 nao existe k inteiro. Para a = -1: k^3 - (4 - 1)k^2 + (4(-1) + 3)k - 3(-1) - 3 = k^3 - 3k^2 - k = 0 onde k = 0 e' a unica solucao inteira. Como apresentado no email anterior, os valores 3, 1 e -1, sao os unicos valores para a, b e c que satisfazem o polinomio. Portanto o unico polinomio que atende as restricoes (f(a)=f(b)=f(c)=5, a,b,c inteiros distintos, f(k) = 8, k inteiro) é o polinomio: P(x) = (x-1)(x+1)(x-3) + 5 = x^3 - 3*x^2 - x + 5. Espero nao ter tropecado, ter sido coerente e nem ter errado a logica inteira :P Obrigado, Igor. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================