2014-03-09 9:53 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>: > Os vértices de um quadrilátero estão sobre os lados de um quadrado cujo lado > mede 1.Se as medidas dos lados do quadrilátero são a,b,c e d,mostre que > 2 < = a^2+b^2+c^2+d^2 < = 4 > > O quadrado fica repartido em quatro triângulos retângulos e o quadrilátero > citado > Sejam x,(1-x),y,(1-y),z,(1-z),w,(1-w) as medidas dos os catetos desses > triângulos.Temos que a media aritmetica das > medidas desses catetos é 1/2.Usando MA < = MQ temos que: > 1/2 < = [ (a^2+b^2+c^2+d^2)/8 ]^1/2 => (aqui eu agrupei dois a dois e usei o > teorema de Pitágoras) > 1/4 < = (a^2+b^2+c^2+d^2)/8 => > 2 < = a^2+b^2+c^2+d^2 > A outra parte da questão tento e não consigo
Você mostrou que a^2 + ... + d^2 = x^2 + ... + w^2 + (1-x)^2 + ... + (1-w)^2. Agora estude a função t^2 + (1-t)^2. O mínimo dela é 1/2 (em t = 1/2, como você demonstrou usando MA <= MQ) e o máximo dela é 1 (em t = 0 ou em t = 1). Isso mostra as duas desigualdades. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
