[obm-l] Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez
2) Vejamos o caso o caso a^p - a. Temos que o primo p>= 5 eh impar, e desta forma p-1 eh par. Assim, p-1 = 2p' para algum inteiro positivo p'. Temos que a^p - a = a(a^(p-1) -1) = a(a^(2p') - 1) = a(a^p' + 1)(a^p' - 1). Se a for par, entao eh imediato que a^p - a eh par. Se a for impar, entao a^p'eh impar e os numeros (a^p' + 1) e (a^p' - 1) sao ambos pares. Logo, tambem neste caso a^p - a eh par, sendo inclusive multiplo de 4. Se a for multiplo de 3, entao eh imediato que a^p - a eh tambem multiplo de 3. Se a nao for multiplo de 3, temos 2 casos: se a for par, a^p' eh par. Logo, um dos numeros (a^p' + 1) ou (a^p -1) eh multiplo de 3 (para todo numero par n que nao seja multiplo de 3, n-1 ou n +1 eh multiplo de 3). Isto nos mostra que a^p - a eh multiplo de 3. Se a nao for multiplo de 3 e for impar, entao a^p' eh um impar nao multiplo de 3. Entao, dentre os numeros pares (a^p' + 1) e (a^p' - 1) um deles eh necessariamente multiplo de 3 (se n eh um impar nao multiplo de 3, entao um dos pares n-1 e n+1 eh sempre multiplo de 3). Chegamos assim aa conclusao de que, nas condicoes dadas, a^p - a eh sempre par e multiplo de 3, logo eh multiplo de 6. Pelo pequeno teorema de Fermat, temos ainda que a^p = a (mod p). Logo a^p - a eh multiplo de p. E como para o primo p temos p >3, segue-se, em virtude da conclusao anterior, que a^p - a eh multiplo de 6p, ou seja, 6p divide a^p - p, conforme afirmado. O outro deve ter um saida semelhante, depois vemos se dah pra sair. De uma conferida, meu conhecimento de teoria dos numeros eh muito limitado. Artur > > Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: > > > > 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca > > entre pares de primos > > gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 > > divisores. > > > > 2) Seja p> 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- > > b^p . a são divisíveis > > por 6p, para todos a>0, com a>b. > > > > 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode > > escrever p = y^2 - x^2, com x > > e y positivos, de modo único. > > > > Obrigado = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez
Desculpe Artur, já encontrei a mensagem From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez Date: Sun, 30 Apr 2006 23:55:37 -0700 (PDT) 1) Suponhamos que m = n^2 - 1 = (n+1)(n-1) possua 4 divisores. Temos que n>=3. Se n for impar, entao n- 1 e n+1 sao ambos pares, implicando que m seja multiplo de 4. Se n =3, entao m =8 tem 4 divisores, mas isto nao leva ainda aa correspondencia desejada. Se n>=5 for impar, entao os numeros pares n-1 >=4 e n+1 sao divisores de m. Alem disto, m tem como divisores os numeros 1 , 2 e m, de modo que para n>=5, impar, m tem pelo menos 5 divisores, contraraiamente aa hipotese. Assim, valore impares de n nao implicam a correspondencia de4sejada. Se n>=4 for par, entao n-1>=3 e n+1 sao ambos divisores impares de m. Alem disto, m tem por divisores os numeros 1 e o proprio m. Dado que m tem exatamente 4 divisores, segue-se que n-1 e n+1 sao ambos primos, pois, se ao menos um deles fosse composto, m teria pelo menos um divisor a mais do que os citados, contrariamente aa hipotese basica. Concluimos assim que, a cada valor par de n para o qual n-1 e n+1 sejam primos - logo primos gemeos - corresponde o par (n-1 , n+1) de primos gemeos. Por outro lado, se n-1 e n+1 sao pimos gemeos, entao m = n^2 -1 = (n-1)(n+1) tem por fatores primos unica e exclusivamente n-1 e n+1 (teorema fundamental da aritmetica). Como, alem disto, 1 e m sao divisores de m, segue-se que m tem exatamente 4 divisores. Isto eh, a cada par de primos gemeos, corresponde um numero da forma n^2 -1. Concluimos, assim, que a correspondencia entre o conjunto dos pares de primos gemeos e os numeros da forma n^2 -1 eh ,de fato, biunivica, hah uma bijecao entre os 2 conjuntos. A questao 3 jah foi discutida na lista, de forma mais geral, hah alguns dias, sob o titulo Diferenca de 2 quadrados. Basta fazer y = (p+1)/2 e x = (p-1)/2. A questao 2 parece mais complicada, vamos tentar outra hora. Artur --- Ricardo Khawge <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: > > 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca > entre pares de primos > gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 > divisores. > > 2) Seja p> 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- > b^p . a são divisíveis > por 6p, para todos a>0, com a>b. > > 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode > escrever p = y^2 - x^2, com x > e y positivos, de modo único. > > Obrigado > > _ > Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você > precisa com Windows > Desktop Search. Instale agora em > http://desktop.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Ligações gratuitas de PC-para-PC para qualquer lugar do Brasil e do mundo com o MSN Messenger. Saiba mais em http://imagine-msn.com/messenger/default2.aspx?locale=pt-br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez
Olá Artur, procurei a mensagem "Diferença de 2 quadrados" no arquivo, mas não encontrei. Obrigado pelas soluções From: Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Questões do Livro do Hefez Date: Sun, 30 Apr 2006 23:55:37 -0700 (PDT) 1) Suponhamos que m = n^2 - 1 = (n+1)(n-1) possua 4 divisores. Temos que n>=3. Se n for impar, entao n- 1 e n+1 sao ambos pares, implicando que m seja multiplo de 4. Se n =3, entao m =8 tem 4 divisores, mas isto nao leva ainda aa correspondencia desejada. Se n>=5 for impar, entao os numeros pares n-1 >=4 e n+1 sao divisores de m. Alem disto, m tem como divisores os numeros 1 , 2 e m, de modo que para n>=5, impar, m tem pelo menos 5 divisores, contraraiamente aa hipotese. Assim, valore impares de n nao implicam a correspondencia de4sejada. Se n>=4 for par, entao n-1>=3 e n+1 sao ambos divisores impares de m. Alem disto, m tem por divisores os numeros 1 e o proprio m. Dado que m tem exatamente 4 divisores, segue-se que n-1 e n+1 sao ambos primos, pois, se ao menos um deles fosse composto, m teria pelo menos um divisor a mais do que os citados, contrariamente aa hipotese basica. Concluimos assim que, a cada valor par de n para o qual n-1 e n+1 sejam primos - logo primos gemeos - corresponde o par (n-1 , n+1) de primos gemeos. Por outro lado, se n-1 e n+1 sao pimos gemeos, entao m = n^2 -1 = (n-1)(n+1) tem por fatores primos unica e exclusivamente n-1 e n+1 (teorema fundamental da aritmetica). Como, alem disto, 1 e m sao divisores de m, segue-se que m tem exatamente 4 divisores. Isto eh, a cada par de primos gemeos, corresponde um numero da forma n^2 -1. Concluimos, assim, que a correspondencia entre o conjunto dos pares de primos gemeos e os numeros da forma n^2 -1 eh ,de fato, biunivica, hah uma bijecao entre os 2 conjuntos. A questao 3 jah foi discutida na lista, de forma mais geral, hah alguns dias, sob o titulo Diferenca de 2 quadrados. Basta fazer y = (p+1)/2 e x = (p-1)/2. A questao 2 parece mais complicada, vamos tentar outra hora. Artur --- Ricardo Khawge <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Agradeço qualquer ajuda nas seguintes questões: > > 1) Mostre que existe uma correspondência biunívoca > entre pares de primos > gêmeos e números n tais que n^2 -1 possui 4 > divisores. > > 2) Seja p> 3 um primo. Mostre que a^p - a e a^p. b- > b^p . a são divisíveis > por 6p, para todos a>0, com a>b. > > 3) seja p um primo ímpar. Mostre que se pode > escrever p = y^2 - x^2, com x > e y positivos, de modo único. > > Obrigado > > _ > Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você > precisa com Windows > Desktop Search. Instale agora em > http://desktop.msn.com.br > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ COPA 2006: Enfeite o seu MSN Messenger de verde e amarelo! http://copa.br.msn.com/extra/emoticons/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
