Não estou decorando fórmulas, encontrei as duas fórmulas fechadas para os somatórios utilizando o binômio cúbico, se bem que o 4 multiplicado é muito mais simples. Obrigado pela demonstração anterior.
2011/3/3 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>: > > > > Henrique, pessoalmente eu acho o meu método (não sei se você já recebeu), > mais fácil do que ficar decorando fórmulas, mas se você quiser fazer do > seu jeito, tente para n par e n ímpar 2 casos distintos, e além disso o > n' da segunda expressão seria n/2 ou (n-1)/2, já que a > fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 é a soma até 2n, repare que: > 2² + 4² +... +(2n)² = 4.(1² + 2² +...+n²) = 4 (n) (n+1)(2n +1)/6 = > 2(n)(n+1(2n+1)/3 > > []'s > João > >> Date: Thu, 3 Mar 2011 14:01:59 -0300 >> Subject: [obm-l] Demonstração de somatório >> From: henrique.re...@gmail.com >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> Como a seguinte igualdade pode ser demonstrada? >> >> 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + [(-1)^(n+1)]n^2 = [(-1)^(n+1)]n(n+1)/2 (1) >> >> Pensei em escrever a soma como 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... - 2(2^2 + 4^2 >> + ...). Encontrei a fórmula 2n(n+1)(2n+1)/3 para a soma 2^2 + 4^2 + >> ... + (2n)^2 e a fórmula n(n+1)(2n+1)/6 para 1^2 + 2^2 + 3^2 + ..., >> mas não sei como juntar as duas, pois variando n = 1, 2, 3, ... nas >> duas fórmulas, representam termos diferentes. Por exemplo: >> >> Fórmula: n(n+1)(2n+1)/6 (2) >> >> n: 1, soma: 1^2 >> n: 2, soma: 1^2 + 2^2 >> n: 3, soma: 1^2 + 2^2 + 3^2 >> ... >> >> Fórmula: 2n(n+1)(2n+1)/3 (3) >> >> n: 1, soma: 2^2 >> n: 2, soma: 2^2 + 4^2 >> n: 3, soma: 2^2 + 4^2 + 6^2 >> ... >> >> Ou seja, os termos variam diferentemente com o n para cada fórmula. Em >> (1), quando n = 5, a soma seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 ou 1^2 + >> 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 - 2(2^2 + 4^2). Assim, em (2), para n = 5, a >> soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 seria representada corretamente, mas >> em (3), para n = 5, a soma seria 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 + 10^2, e para >> aplicar em (1) é necessário apenas 2^2 + 4^2. Como as fórmulas (2) e >> (3) poderiam ser utilizadas para o cálculo de (1). Caso n seja par ou >> ímpar, a quantidade de termos também é afetada, pois para n = 4, a >> soma (1) seria 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 ou 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 - 2(2^2 >> + 4^2). A quantidade de termos em (2) segue n, mas em (3) não. >> >> -- >> Henrique >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > -- Henrique ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
