[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] polinômios

[Ralph Teixeira]

Pior que quando eu escrevei aquilo, eu pensei mesmo duas vezes se devia
explicar este detalhe... Mas, em vista de discussoes passadas (como esta
que voce citou), achei que podia passar batido e esperar alguem perguntar,
se fosse o caso... Tipo, recentemente, numa olimpiada dessas, houve uma
breve discussao desse tipo para fazer um criterio de correcao -- "vamos
tirar ponto se o cara nao argumentar porque o polinomio tem coeficientes
inteiros?" -- e lembro que a decisao foi: "nao, isso nao vale ponto no
criterio"... :D :D :D :D :D

(Tambem achei que alguem podia reclamar do "nao existem 4 inteiros
distintos cujo produto eh +-1, +-2"... mas essa eh bem mais engolivel,
acho.) :D

Abracos, Ralph. :D

2017-11-28 16:23 GMT-02:00 Carlos Nehab :

> Oi, Mateus et alli
>
> Eu cutuquei o Ralph porque há tempos ele colocou exatamente essa sua
> explicação "vindo em defesa" de uma solução que eu havia postado de outro
> problema". Rsrsr.
> Achei importante explicitar esse detalhe pra galera.
>
> Grande abraço
> Nehab
>
>
> Em 28 de novembro de 2017 12:07, Matheus Secco 
> escreveu:
>
>> Para ver que Q(x), basta ver que (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) tem coeficiente
>> lider 1 e ao fazer a divisão longa de P(x) por este polinomio com
>> coeficiente lider 1, não há riscos de introduzir frações.
>>
>> Abs,
>> Secco
>>
>> Em 28 de nov de 2017 11:58 AM, "Carlos Nehab" 
>> escreveu:
>>
>> Oi, Ralph
>>
>> E o detalhe que Q(x) tem coeficientes inteiros..., "exprica prá nóis"!
>>
>> Abraços
>> Nehab
>>
>> Em 27 de novembro de 2017 21:51, Ralph Teixeira 
>> escreveu:
>>
>>> Acho que eles queriam 4 raizes inteiras distintas.
>>>
>>> Neste caso, temos P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x) onde Q(x) tem
>>> coeficientes inteiros e a,b,c,d sao as 4 raizes inteiras distintas.
>>>
>>> Se P(x)=2 tivesse raiz inteira, digamos, x=n, entao teriamos
>>> P(n)=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)Q(n)=2. Mas entao n-a, n-b, n-c e n-d seriam 4
>>> inteiros distintos cujo produto seria +-1 ou +-2, o que nao eh possivel.
>>>
>>> Abraco, Ralph.
>>>
>>> 2017-11-27 20:09 GMT-02:00 André Lauer :
>>>
 Boa noite, preciso de ajuda no seguinte problema:
 Um polinômio P(x) tem coeficientes inteiros e admite quatro raízes
 inteiras. Prove que a equação P(x) = 2 não admite raízes inteiras.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

[Israel Meireles Chrisostomo]

Muito boa explicação Carlos Gomes, observações muito inteligentes

Em 25 de julho de 2017 23:01, Pedro Júnior 
escreveu:

> Obrigado, não havia percebido o deslize!
>
> Em 25 de jul de 2017 10:48 PM, "Carlos Gomes" 
> escreveu:
>
>
> Pelo teorema do resto,
>
> p(2)=p(3)=p(4)=r e p(1)=0
>
> Considerando o polinômio q(x)=p(x)-r, segue que q(2)=q(3)=q(4)=0. Assim,
>
> q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4), com A real. Portanto,
>
> p(x)-r=q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4) ==> p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+r.
>
> Ora, como p(1)=0, segue que 0=A(1-2)(1-3)(1-4)+r ==> r=6A
>
> Assim, p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+¨6A
>
> Variando o A nos reais (A não nulo) temos infinitos polinômios p cumprindo
> as condições requeridas.
>
> Cgomes.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>



-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios

[Pedro Júnior]

Obrigado, não havia percebido o deslize!

Em 25 de jul de 2017 10:48 PM, "Carlos Gomes" 
escreveu:


Pelo teorema do resto,

p(2)=p(3)=p(4)=r e p(1)=0

Considerando o polinômio q(x)=p(x)-r, segue que q(2)=q(3)=q(4)=0. Assim,

q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4), com A real. Portanto,

p(x)-r=q(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4) ==> p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+r.

Ora, como p(1)=0, segue que 0=A(1-2)(1-3)(1-4)+r ==> r=6A

Assim, p(x)=A.(x-2)(x-3)(x-4)+¨6A

Variando o A nos reais (A não nulo) temos infinitos polinômios p cumprindo
as condições requeridas.

Cgomes.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios

[Esdras Muniz]

Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n
pelas equações de Girard, a soma das raizers é dada por menos o coeficiente
de y^(n-1), ou seja, -1.



Em 25 de setembro de 2013 21:14, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Por que r1+r2+...+rn = -1?

 --
 From: esdrasmunizm...@gmail.com
 Date: Wed, 25 Sep 2013 13:28:35 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos:
 Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n
 sendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1,
 R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri  (note que an é diferente de
 zero, então Q não possui raiz nula)
 Então:
 r1+r2+...+rn=-1;
 (soma sobre ij)(ri*rj)=1;
 então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre ij)(ri*rj)= -1
 - 2*1=-3.
 Então não podemos ter todas as raízes reais.


 Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1?
 E por que ´´para n par...´´?




 --
 From: joao_maldona...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
 Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300


 Sendo cp = 1/ap
 a1a2...an =  +-1/an
 a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) =   -+1/an
 a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =   +-1/an

 Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1
 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1
 x=c1+c2+ ... +cn = -1
 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1

 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1,
 absurdo, logo para n par temos  que pelo menos 2 raízes são complexas

 []'s
 João


 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Polinômios
 Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 +

 Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 +
 x^2 + x + 1 com
 coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios

[Esdras Muniz]

Obs: eu estou mostrando que as raizes de Q não podem ser todas reais, então
as de P tambem não podem.


Em 26 de setembro de 2013 11:29, Esdras Muniz
esdrasmunizm...@gmail.comescreveu:

 Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n
 pelas equações de Girard, a soma das raizers é dada por menos o
 coeficiente de y^(n-1), ou seja, -1.



 Em 25 de setembro de 2013 21:14, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

  Por que r1+r2+...+rn = -1?

 --
 From: esdrasmunizm...@gmail.com
 Date: Wed, 25 Sep 2013 13:28:35 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos:
 Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n
 sendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1,
 R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri  (note que an é diferente de
 zero, então Q não possui raiz nula)
 Então:
 r1+r2+...+rn=-1;
 (soma sobre ij)(ri*rj)=1;
 então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre ij)(ri*rj)=
 -1 - 2*1=-3.
 Então não podemos ter todas as raízes reais.


 Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a
 1?
 E por que ´´para n par...´´?




 --
 From: joao_maldona...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
 Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300


 Sendo cp = 1/ap
 a1a2...an =  +-1/an
 a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) =   -+1/an
 a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =   +-1/an

 Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1
 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1
 x=c1+c2+ ... +cn = -1
 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1

 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1,
 absurdo, logo para n par temos  que pelo menos 2 raízes são complexas

 []'s
 João


 --
 From: marconeborge...@hotmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: [obm-l] Polinômios
 Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 +

 Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 +
 x^2 + x + 1 com
 coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esdras Muniz Mota
 Graduando em Matemática Bacharelado
 Universidade Federal do Ceará

 Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto




-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios

[marcone augusto araújo borges]

Sim,-1,claro.Enfim,acabei entendendo tudo.Valeu!

From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 26 Sep 2013 11:31:55 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] 
Polinômios
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obs: eu estou mostrando que as raizes de Q não podem ser todas reais, então as 
de P tambem não podem.

Em 26 de setembro de 2013 11:29, Esdras Muniz esdrasmunizm...@gmail.com 
escreveu:


Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n


pelas equações de Girard, a soma das raizers é dada por menos o coeficiente de 
y^(n-1), ou seja, -1.



Em 25 de setembro de 2013 21:14, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:






Por que r1+r2+...+rn = -1?

From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Wed, 25 Sep 2013 13:28:35 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios



To: obm-l@mat.puc-rio.br

Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos:Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ 
a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n


sendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1, 
R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri  (note que an é diferente de zero, 
então Q não possui raiz nula)




Então: r1+r2+...+rn=-1;(soma sobre ij)(ri*rj)=1;




então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre ij)(ri*rj)= -1 - 
2*1=-3.




Então não podemos ter todas as raízes reais.

Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:








As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1?E 
por que ´´para n par...´´? 
 



From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios





Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300




Sendo cp = 1/ap
a1a2...an =  +-1/an
a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) =   -+1/an
a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =   +-1/an

Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1
(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1





x=c1+c2+ ... +cn = -1
y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1

c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, 
logo para n par temos  que pelo menos 2 raízes são complexas

[]'s
João







From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Polinômios 





Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 +




Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x 
+ 1 com



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais.
  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará



--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto



-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto


--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.