[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: não sei como fazer, tentei desigualdades de médias e não saiu
Oi, Daniel. Por que há duas opções: ou pq=k+1 e r=k-1, ou pq=k-1 e r=k+1, e subtraindo dá pq-r=+-2. Isso vem de pqr=(k+1)(k-1) e do fato de p,q,r serem primos, então não tem como você "separar" os fatores primos de p entre k-1 e k+1 (idem para q e r). Bom, para ser exato, eu esqueci de considerar outras opções: poderia ser pqr=k+1 e 1=k-1 (absurdo!) ou pqr=k-1 e 1=k+1 (mais absurdo!). Assim, dois dos primos p,q,r têm que corresponder a um dos fatores {k+1,k-1}, e o terceiro primo tem que ser sozinho o outro fator. Reordenando se necessário, eu posso supor que pq é um dos fatores e r é o outro, daí minha afirmação {pq,r}={k+1,k-1} (como igualdade de conjuntos). Abraço, Ralph. 2018-05-14 8:55 GMT-03:00 Daniel Quevedo: > Perfeito é essa a resposta. Só não entendi o passo pq-r =2 ou -2 . Não > deveria ser apenas um número da forma 2Q ou -2Q, ou seja par? Pq vc afirma > q é +-2? > > Em dom, 13 de mai de 2018 às 23:20, Ralph Teixeira > escreveu: > >> Ah, assim fica bem melhor. >> >> Temos pqr=(k+1)(k-1). Como p, q e r sao primos, entao (trocando a ordem >> de p,q,r se necessario) {pq,r}={k+1,k-1}. Ou seja, pq-r=2 ou -2. >> >> Entao p+q+(pq+-2)=2001, ou seja ((p+1)/2)((q+1)/2)=501 ou 500 >> >> As unicas fatoracoes de 501 em dois fatores sao 1.501 e 3.167, que >> rapidamente verificam-se inuteis. >> As unicas fatoracoes de 500 em dois fatores sao 1.500, 2.250, 4.125, >> 5.100, 10.50, 20.25. Verificando uma a uma para ver quais dao p, q primos, >> encontramos apenas >> (p,q)=(3,499), portanto r=2001-p-q=1499 (ok, tambem primo) e k=r-1=1498. >> Entao 22 eh a resposta? >> >> Abraco, Ralph. >> >> 2018-05-13 22:30 GMT-03:00 Daniel Quevedo : >> >>> >>> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores >>> escreveu: >>> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os >>> números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares. >>> Oi Daniel, Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos p+q+r=2001 , pqr+1= 100= (1000)^2. Ou seja, k=1000 ? Pacini Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu: - Mensagem encaminhada - De: Daniel Quevedo Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54 Assunto: Para: ob...@mat-puc.rio.br Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único valor possível para k é igual a: A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. >>> -- >>> Fiscal: Daniel Quevedo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Perfeito é essa a resposta. Só não entendi o passo pq-r =2 ou -2 . Não deveria ser apenas um número da forma 2Q ou -2Q, ou seja par? Pq vc afirma q é +-2? Em dom, 13 de mai de 2018 às 23:20, Ralph Teixeiraescreveu: > Ah, assim fica bem melhor. > > Temos pqr=(k+1)(k-1). Como p, q e r sao primos, entao (trocando a ordem de > p,q,r se necessario) {pq,r}={k+1,k-1}. Ou seja, pq-r=2 ou -2. > > Entao p+q+(pq+-2)=2001, ou seja ((p+1)/2)((q+1)/2)=501 ou 500 > > As unicas fatoracoes de 501 em dois fatores sao 1.501 e 3.167, que > rapidamente verificam-se inuteis. > As unicas fatoracoes de 500 em dois fatores sao 1.500, 2.250, 4.125, > 5.100, 10.50, 20.25. Verificando uma a uma para ver quais dao p, q primos, > encontramos apenas > (p,q)=(3,499), portanto r=2001-p-q=1499 (ok, tambem primo) e k=r-1=1498. > Entao 22 eh a resposta? > > Abraco, Ralph. > > 2018-05-13 22:30 GMT-03:00 Daniel Quevedo : > >> >> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores >> escreveu: >> >>> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os >> números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares. >> >>> Oi Daniel, >>> >>> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos p+q+r=2001 , pqr+1= >>> 100= (1000)^2. >>> >>> Ou seja, k=1000 ? >>> >>> Pacini >>> >>> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu: >>> >>> >>> >>> - Mensagem encaminhada - >>> De: Daniel Quevedo >>> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54 >>> Assunto: >>> Para: ob...@mat-puc.rio.br >>> >>> >>> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que >>> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único >>> valor possível para k é igual a: >>> A) 20 >>> B) 21 >>> C) 22 >>> D) 23 >>> E) 24 >>> -- >>> Fiscal: Daniel Quevedo >>> -- >>> Fiscal: Daniel Quevedo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Fiscal: Daniel Quevedo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Existem 85 triplas (p, q, r) com p> Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores> escreveu: > >> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os > números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares. > >> Oi Daniel, >> >> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos p+q+r=2001 , pqr+1= >> 100= (1000)^2. >> >> Ou seja, k=1000 ? >> >> Pacini >> >> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu: >> >> >> >> - Mensagem encaminhada - >> De: Daniel Quevedo >> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54 >> Assunto: >> Para: ob...@mat-puc.rio.br >> >> >> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que >> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único >> valor possível para k é igual a: >> A) 20 >> B) 21 >> C) 22 >> D) 23 >> E) 24 >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
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Ah, assim fica bem melhor. Temos pqr=(k+1)(k-1). Como p, q e r sao primos, entao (trocando a ordem de p,q,r se necessario) {pq,r}={k+1,k-1}. Ou seja, pq-r=2 ou -2. Entao p+q+(pq+-2)=2001, ou seja ((p+1)/2)((q+1)/2)=501 ou 500 As unicas fatoracoes de 501 em dois fatores sao 1.501 e 3.167, que rapidamente verificam-se inuteis. As unicas fatoracoes de 500 em dois fatores sao 1.500, 2.250, 4.125, 5.100, 10.50, 20.25. Verificando uma a uma para ver quais dao p, q primos, encontramos apenas (p,q)=(3,499), portanto r=2001-p-q=1499 (ok, tambem primo) e k=r-1=1498. Entao 22 eh a resposta? Abraco, Ralph. 2018-05-13 22:30 GMT-03:00 Daniel Quevedo: > > Em dom, 13 de mai de 2018 às 20:12, Pacini Bores > escreveu: > >> Desculpe-me esqueci d colocar um dado na questão na hora d escrever. Os > números p, q é r são primos ímpares. Havia colocado apenas ímpares. > >> Oi Daniel, >> >> Estranho, pois p=999, q= 1001 e r =1; teremos p+q+r=2001 , pqr+1= >> 100= (1000)^2. >> >> Ou seja, k=1000 ? >> >> Pacini >> >> Em 13/05/2018 2:56, Daniel Quevedo escreveu: >> >> >> >> - Mensagem encaminhada - >> De: Daniel Quevedo >> Data: dom, 13 de mai de 2018 às 02:54 >> Assunto: >> Para: ob...@mat-puc.rio.br >> >> >> Sabendo que p, q e r são números impares distintos com p+q+r= 2001 e que >> k é um inteiro positivo tal que pqr +1 =k^2, a soma dos algarismos do único >> valor possível para k é igual a: >> A) 20 >> B) 21 >> C) 22 >> D) 23 >> E) 24 >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> -- >> Fiscal: Daniel Quevedo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > -- > Fiscal: Daniel Quevedo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.